LA MEDIDA       

...una pulgada, la cual tomada 12 veces hace una pieza, y tomada 44 veces da una onza. d'Alembert

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l'Orne en Normandie

 Representar las relaciones de longitud con la ayuda de los naturales
          La noción de común medida
          El método de coincidencia para la común medida
          El accidente
De la común medida a las medidas decimales
           con convertidor de longitudes
          La Disme de Stevin
La promulgación de las medidas decimales
           con convertidor de volúmenes y capacidades
          La historia del metro
Bibliografía

            

 

 

 

 

  

 Representar las relaciones de longitudes con la ayuda de los naturales
La noción de común medida
Consideremos dos tamaños desiguales correspondientes, para fijar las ideas, a objetos largos, digamos dos canillas de pan; Se quiere compararlos; La primera idea que se nos ocurre es de ver cuántas veces la pequeña va en la grande. O en otras palabras, si la pequeña multiplicada por un natural m bien escogido es equivalente a la grande. Si se encuentra ese entero n, se dirá que la pequeña va n veces en la grande, o que ellas son entre ellas como 1 es a n. Se dice también que los dos tamaños son entre ellos en la proporción de 1 a n. Si por otro lado la pequeña no corresponde a un número entero de veces en la grande, una buena idea es buscar una tercera canilla que iría un número entero de m veces en la pequeña, y un número n de veces en la grande. Se tiene la impresión que siempre se puede encontrar una tercera canilla que tenga esa propiedad, así haya que escogerla muy pequeña, si se encuentra esa tercera canilla, entonces se dirá que la pequeña canilla del principio es con respecto a la grande como m es a n. La tercera canilla o en realidad su tamaño, se llama la medida común de las otras dos.

El método de coincidencia para la medida común
Buscar una medida común entre dos objetos (o dos tamaños). Para practicar el método llamado de coincidencia, Hay que tener un número de copias de dos objetos a comparar. Se le agrega por un lado las copias del primer objeto, y por otro lado las copias del segundo, hasta que las dos sumas sean equivalentes (si eso es posible); Por ejemplo, si se trata de canillas, se alínean copias de la primera y de la segunda hasta obtener segmentos de la misma longitud. 

El accidente
En contra de lo que la intuición podría hacernos creer, a veces no hay una medida común para dos tamaños. Trata de encontrar una medida común entre el lado de un cuadrado y su diagonal. En realidad casi se logra y se obtiene sin calculadora una linda manera de aproximar el número raiz de 2. 

 

De la medida común a las medidas decimales  
Vimos que a veces existía una medida común para dos tamaños de la misma naturaleza. La existencia de una medida común es muy cómoda ya que ella lleva la comparación de dos tamaños a la comparación de dos números naturales. Pero ella tiene como inconveniente, por un lado, que no siempre existe y, por otro lado, de sólo poder utilizarse con dos tamaños aislados. Efectivamente, nos damos cuenta rápidamente que es difícil comparar tres, cuatro, cien tamaños entre ellos, buscando una medida común.

Es por eso que apareció la idea de escoger al principio un tamaño de referencia llamado unidad de medida, a la cual se comparan todos los otros tamaños de la misma naturaleza. El inconveniente es que la unidad no está realmente contenida en un número entero de veces en un tamaño cualquiera que se debe medir, y que hay un resto. Este resto se expresa cuando es posible por una fracción de la unidad. Ahora las fracciones son objetos matemáticos que estorban, tienen reglas de cálculo más númerosas o más complicadas que los enteros naturales.

A esta etapa una observación de tipo práctico es necesaria; Escoger al principio una unidad de medida, es verdad, es un gran progreso, pero queda todavía el problema de cual unidad. Una unidad de peso que es cómoda para un farmaceuta no lo es para una persona de la siderurgia; Una unidad de longitud que es cómoda para un astrónomo no lo es para un carpintero. Es por eso que apareció muy temprano en la historia la práctica de las unidades, unas dentro de las otras.

Los sistemas ingleses de unidades nos dan algunos ejemplos. Consideremos las medidas inglesas de longitudes, que vemos a continuación en orden creciente:

      La pulgada (inch) vale 2,54 cm y se subdivide en 16;
      El pie (foot) vale 12 pulgadas ;
      La yarda (yard) vale 3 pies;
      La braza (fathom) vale 2 pies ;
      La cadena (chain) vale 22 yardas ;
      Le furlong (furlong) vale 10 chains;
      La milla (mile) vale 1760 yardos o 80 chains.

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El inconveniente de un tal sistema es que las relaciones entre unidades sucesivas no obedecen a ninguna regla clara y en particular no están coordinadas al sistema de numeración decimal. Es por eso que hay la necesidad de manipular las fracciones cada vez que hay un problema de conversión de unidades. Y como hay que estar más formado para utilizar las fracciones que para utilizar los decimales, un tal sistema de unidades es poco democrático. Es muy sorprendente que todavía no haya desaparecido en los Estados Unidos y en Inglaterra, dos siglos después de la adopción del sistema decimal de medidas en una gran mayoría de naciones.

Ocupémenos de ese sistema :
Ya sea a medir un poste en el sistema decimal: Se comienza determinando el número de veces que el metro está contenido dentro del poste, digamos 12 veces. Supongamos que queda un pedazo inferior a un metro; Se busca el número de veces que el decímetro está contenido en ese resto: ese numéro está entre 0 y 9, digamos 7. Se continúa si es necesario con el centímetro, luego el milímetro, etc.
O un tal proceso llega a su final después de un número finito de etapas, o se prolonga sin parar. En todos esos casos, se para ya sea cuando llegamos a una precisión suficiente con respecto a lo que queremos medir, ya sea porque ya no somos capaces de diferenciar las sub-unidades, porque ellas son demasiado pequeñas. Sin embargo es importante saber que sobre el plano teórico el proceso de medida puede nunca acabarse. Se obtiene entonces medidas que se expresan por una serie infinita de resultados.
Es por eso que hay nuevos fenómenos matemáticos…los números periódicos con cifras que se representan indefinidamente :

6/11 = 0,454545…
o
0,999…. = 1 ¡Claro que sí!

Hasta el siglo XVI, los racionales no enteros se escribían como fracciones si eran más pequeños que uno, poniendo la parte entera en decimales y una fracción en el caso contrario.

Ejemplo: 42,375 se escribía 42 3/8.

Los cálculos de fracciones complicadas no eran accesibles a todo el mundo y se ajustaban a las dificultades normales del artesano y del comerciante.  

La Disme de Stevin

Simon Stevin nació en Brujas (Holanda) en 1548 y murió en La Haya en 1620, gran ingeniero y matemático propuso en 1585 privilegiar las fracciones decimales y escribir los racionales no enteros en una forma muy parecida a nuestros números con coma.
La ventaja decisiva de ésta representación de números es que ella elimina los difíciles cálculos de fracciones y que lleva las reglas de operaciones de la aritmética a las reglas que conocemos para los números naturales, con una pequeña diferencia para aprender a ubicar correctamente la coma.

La proposición de Stévin apareció en 1585 como un opúsculo llamado en flamenco Thiende e inmediatamente traducido al francés con el título La Disme. El éxito de de la Disme fue considerable y la práctica del cálculo decimal se regó en toda Europa en una decena de años.
 La evolución del sistema de medidas fue mucho más lenta, las antiguas unidades, locales e incoherentes resistieron hasta el siglo diecinueve y hasta nuestros días en los países anglo-sajones...

 

La promulgación de las medidas decimales
Es al final del Siglo de las Luces que fue utilizado, por la revolución francesa, la idea de un sistema de medidas basado científicamente y destinado a reemplazar todas las antiguas medidas.


El litro, el gramo, el metro.

Los cálculos eran complicados y los errores frecuentes.
La confusión existente favorizaba los fraudes, en donde era el pueblo que sufría (particularmente en la época de las hambrunas que acompañaron la Revolución).

Bajo la proposición de Talleyrand, la Asamblea Nacional Francesa decidió desde 1790 la constitución de un sistema unificado de peso y medida, empresa que durará unos diez años. Se le pidió un estudio a la Academia de Ciencias, a una commisión que reunía sabios muy conocidos: Borda, Lagrange, Lavoisier, Tillet y Condorcet, y más tarde Laplace y Monge.
El punto de partida era la unidad de longitud. Fue definida como la diez-millonada parte del cuarto del meridiano terrestre. La mayor dificultad era medir ese meridiano (o al menos un arco del meridiano suficientemente largo para obtener una gran precisión , trabajo de muchos años que fue confiado a Delambre y Méchain y se logró la fabricación de un metro patrón. ( Eratostene)

En 1795, el 18 germinal año III del calendario republicano, todas las unidades de medida de longitud son reemplazadas por el metro, sus múltiplos y sus sub-múltiplos.

El área, la moneda, el estéreo (medida para la madera).

En 1840, la utilización del sistema métrico es obligatorio y nuestro sistema de cálculo decimal fue impuesto en Francia en las escuelas. A partir del metro, los científicos definieron el sistema métrico, que permite medir:

Las longitudes : la unidad principal es el metro.
Las surfaces : la unidad principal es el metro cuadrado: área de un cuadrado de un metro de lado.
Los volúmenes : la unidad principal es el metro cubo: volumen de un cubo de un metro de lado.
Las capacidades : la unidad principal es el litro.

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 Durante los siglos XIX y XX, sistemas de unidades y de patrones mejorados fueron construídos y divulgados por las Conferencias y Convenciones Internacionales, sin poner en duda el sistema decimal.
La unidad de peso (la noción de masa no fue utilizada en los documentos oficiales de la época) fue derivada de la unidad de longitud: el kilo, adoptado por la primera vez en Francia en 1799, fue definido como el peso de un decímetro cubo de agua destilada a 4° centígrados.

 Las unidades de tiempo y ángulo no fueron incluídas en ese movimiento de reforma, porque la naturaleza da por sus tamaños patrones todavía facilmente accesibles: para el tiempo el día solar dividido en 86.400 segundos, y para el ángulo la vuelta entera, la media vuelta, el ángulo recto. las subdivisiones decimales de esas últimas unidades no despertaron de hecho mucho interés.

La historia del metro

Sin medir, no hay ciencia posible. El patrón de las longitudes es sin duda el más conocido, el más útil; En diferentes comarcas se empleó en otros tiempos el pie, la pulgada, la línea, la brasada, el codo, etc. Según los lugares una misma palabra representaba muchas veces varias medidas y resultaba una gran confusión. Los proyectos de unificación aparecieron bajo Philippe el bello, Louis XI, François Iero y Louis XIV, pero sin tener éxito.

Era necesario primero ponerse de acuerdo sobre la unidad de longitud. Nuestro metro conoció algunas fluctuaciones. Después que Picard, en 1670, propuso la longitud del péndulo que bate el segundo sexagecimal, se tomó (La Contamine en 1766) la medida de un grado meridiano en Perú. En 1790, Talleyrand propuso el péndulo que bate el segundo a la latitud de 45° al nivel del mar. Luego, con la ley francesa del 26 de marzo 1791 volvió la medida del meridiano y toma el nombre de "metro" para designar la diez-milésima parte de la distancia del ecuador al polo. El decreto del 1ero de 1793 fija la longitud de ese metro a 3 pies 11 líneas y 44 céntimos. 

La ley del 7 abril de 1795 instituye en Francia el sistema métrico decimal, creación francesa que será adoptada primero en Europa y luego en la mayoría de los países de mundo. Desde febrero 1796 a diciembre 1797, la Convención hizo en Paris dieciséis metros-patrones grabados en mármol para familiarizar al pueblo con la nueva medida. Quedan sólo dos: una está en 36 de la rue de Vaugirard, a la derecha de la entrada; la otra puesta de nuevo en 1848, está en 13 de la place Vendôme, a la izquierda de la entrada del Ministerio de la Justicia Francesa.

El 22 de junio de 1799, una comisión convierte un metro a 3 pies y 11 líneas y 296 milésimos; Una regla de platino para medir de cabo a cabo se convierte en el patrón oficial, luego transformado en Sèvres el 10 de diciembre. Fue necesario llegar al 1ero de enero de 1840 para que el sistema métrico fuera oficialmente adoptado en Francia.
En 1872 fue creada la la Convención internacional del metro.

En 1889, la 1era Conferencia Internacional de Pesos y Medidas propone un nuevo patrón metro. Es una barra de platino irradiada (90% de iridium) de más de un metro de largo, a sección en X.

La longitud oficial del metro es la que separa, a una temperatura de 0°C, dos trazas finas a y b, trazas en el surco central.

De éste patrón internacional, Francia posée la copia N°8, que está en el Conservatorio de Artes y Profesiones (Conservatoire des Arts et Métiers) de París.

La 7ma. Conferencia de Pesos y Medidas, de 1927, observó que los patrones materiales se prestaban a deformaciones y decidió fijar un patrón natural de longitud como testigo ; Determinaron a un diez-milésimo de error, la relación de la longitud del metro a la longitud de la onda de la raya roja del cadnium que vale (en el aire seco y a 15°C bajo presión normal) 0,64384696 mm (1 milésimo de milímetro). 

Pero después de 1945, se sabe producir, gracias a la separación de los isótopos, radiaciones ópticas más finas y más simples que la más simple de la raya roja del cadnium ; lo que dió origen a una nueva definición en octubre 1960 durante la 11ava Conferencia General de Pesos Medidas en París : el metro vale 1650 763,73 de longitud de la onda, en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de krypton 86.

El metro no se relaciona más a un objeto perecedero sino a un fenómeno físico inmutable.
Mejorando todavía la precisión, la Conferencia de el 20 de octubre de 1983 una última definición del metro (que es posible por laser, desconocido en 1960),
es la longitud de la trayectoria que recorre la luz en el vacio en 1/299 792 458 avos de segundos.

Esta definición está entonces relacionada a la del segundo definida en 1967 por una transcisión atómica :
el segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transcisión entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de césium 123.

 

 Bibliografía

NICOLAS ROUCHE Le sens de la mesure de Hatier
ANDRE. JOUETTE Le secret des nombres
de Albin Michel
ANNE-MARIE MARCHETTI Nombres & Formes
de du Choix
LOUIS MARQUET, ALBERT LE BOUCH, YVES ROUSSEL
Le système métrique, hier et aujourd'hui ed A.D.C.S 1996
A.MARIJON, R.MASSERON, E.DELAUNAY Arithmétique Géométrie
de Hatier 1947
Elem-Math VIII A.P.M.E.P (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) 1986
LAROUSSE Chronique de la révolution  de Jacques legrand S.A., Paris 1989.