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Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Mínimo común múltiplo de dos o más números

El mínimo común múltiplo de dos números es el más pequeño de los múltiplos comunes a ambos.

Múltiplos de 2:
2,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,.....

Múltiplos de 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,.....

Observa que los números 6, 12,  y18 se repiten en ambos casos y son al mismo tiempo, múltiplos del 2 y del 3.

El más pequeño de estos múltiplos comunes es el número 6, entonces se dice que 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 3, y lo escribimos así: m.c.m. (2 y 3) = 6.


Existe una manera mas práctica y fácil para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata de números muy altos.

Consiste en descomponer cada número en factores primos y el mínimo común múltiplo será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Para descomponer un número en sus factores primos se sigue el siguiente procedimiento

Se divide el número entre el número primo más pequeño que lo divida exactamente.

Se divide el cociente de la división anterior entre el siguiente número primo que dé división exacta.

Se continúan efectuando cálculos hasta llegar  a un cociente igual a uno.

El número que se descompuso en sus factores primos dede ser igual al producto de todos los divisores resultantes.

 

Veamos un ejemplo:

Procedemos a descomponer al número 60

60 es divisible por varios números primos (o factores primos): 2, 3, 5

Tomemos el factor primo 2 para usarlo  como divisor de 60.



El resultado es 12, como 12 se puede seguir dividiendo...



Observa que 60 se descompone en sus factores primos de la siguiente manera:

60 = 2 x 2 x 3 x 5 => 60 = 2 x 3 x 5

Ahora se continua la división del residuo que se obtuvo, el 12, por el siguiente factor primo que corresponde, el 3. Observa el residuo es 4 y 4 puede ser de nuevo divisible, se divide entre 2 hasta llegar a un número que no admita mas divisores.

Observa otro ejemplo:

Calcular el mínimo común múltiplo entre los números  2, 5 y 10.





Observa el siguiente:

Máximo común divisor de dos o más números

Para hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de varios números, se procede de la misma manera que para el m.c.m., con la diferencia de que luego de descomponer las cantidades dadas en sus factores primos, se toman de ellos, el producto de los factores comunes con su menor exponente.

 

 
 
   
 
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