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Los Números Naturales y algunas propiedades básicas del sistema decimal


Algunos aspectos de la Historia de los Números.

Después de haber aprendido alguien a usar los números en muchas situaciones de la vida cotidiana, y de haber aprendido desde los primeros años de escolaridad a realizar las operaciones básicas entre ellos, como lo son: suma, resta, multiplicación y división, podría hacerse esta persona la pregunta: ¿desde cuándo utiliza los números la Humanidad?
¿Desde hace 100 años? ¿1.000 años? ¿5.000 años?

Y ¿siempre se efectuaron las operaciones de la misma manera en que se realizan ahora?
En realidad, no se sabe con certeza cuándo se comenzó a utilizar el número como símbolo para representar la cantidad de objetos en una colección cualquiera.


La idea de número, como muchas ideas matemáticas, fue evolucionando poco a poco. Es difícil saber cómo fue que se llegó a la idea de número y el símbolo que la representa, así como es difícil explicar la manera en que un niño pequeño aprende las primeras palabras. Hace unos 30.000 años, los hombres nómadas que vivían en cavernas, dejaron huellas de una actividad que parece ser la de contar. Por ejemplo, sobre huesos se han encontrado ciertas marcas sencillas (pequeñas rayas) que pudieron servir para llevar alguna cuenta. 

Vivían en la época conocida como la PREHISTORIA

La época anterior a la escritura. La palabra escrita es la que permite conocer algo de lo que pensaban aquellos antepasados, así es que no queda otra alternativa que imaginar lo que pensaban los hombres prehistóricos con la ayuda de otras señales que dejaron. Se puede ayudar también a la imaginación si se observa a los pueblos que no conocen la escritura y que aún habitan en la Tierra.


En algunos pueblos existe una palabra para expresar "tres niños" y otra diferente para "tres animales", pero una palabra como la palabra tres, que pueda usarse para señalar la cantidad de elementos que hay en ambos grupos, no existe. En otros pueblos, existe una palabra que significa "uno", otra que significa "dos", luego otra que significa "muchos", y éstas son las únicas palabras que necesitan estos grupos humanos para su vida cotidiana, en cuanto a conteo se refiere. En Venezuela, por ejemplo, algunas poblaciones entre los indígenas Yanomamis, no usan números.

Yanomami

Es interesante observar también que en ciertas poblaciones donde no se usan los números, una persona es capaz de determinar si le falta una gallina en el corral, aunque sean muchas y muy parecidas entre sí, con sólo mirar el montón. Hoy en día existen especialistas de la disciplina llamada Etnomatemática, que se ocupan de estudiar, entre otras cosas, los mecanismos que permiten tener una idea precisa de la cantidad, sin el uso del número, habilidad que se encuentra presente en algunas comunidades indígenas de América.
La necesidad de contar parece aumentar a medida que el hombre transforma su vida de nómada, dedicado a la caza, la pesca y la recolección, en una vida sedentaria, dedicado a la agricultura y el pastoreo. Es probable que después de mucho utilizar marcas o piedritas para contar, surgió la idea del número como algo que tienen en común diferentes grupos de objetos, animales o piedritas: la cantidad.


Los pueblos que comenzaron a utilizar los números dieron así un paso muy importante en el desarrollo de su capacidad para pensar en las situaciones de la vida cotidiana en forma organizada. Las diferentes situaciones de la vida humana plantean a veces problemas que, si se piensan con un poco de orden, su solución se facilita. Los números, y en general las Matemáticas, han ayudado muchísimo en la tarea de desarrollar una manera de pensar ordenada.

Se conocen ejemplos que muestran de qué manera se facilita la resolución de problemas con el uso de las Matemáticas.

Muchos han presenciado la riña de dos hermanos por los caramelos que le tocaron a cada uno en una piñata. Muchas veces riñen sin haberlos contado aún, o sin saber si los caramelos son realmente tan sabrosos, pero el caso es que una buena manera de apaciguar los ánimos podría ser el simple hecho de contar el total de caramelos que tienen entre los dos y repartirlos de manera que a cada uno le toque la mitad del total.
Así mismo, entre los pueblos antiguos surgirían discusiones y peleas por las cosas que poseían, los rebaños de animales, los productos de la siembra, y quién sabe cuántas cosas más. El uso de las matemáticas representó seguramente una manera de resolver estas disputas de manera sencilla e imparcial.

El desarrollo del comercio, sin duda alguna, impulsó el desarrollo de las Matemáticas. Puede imaginarse la enorme dificultad que representaría pasarse un día en un mercado vendiendo algún producto como arroz, lentejas o naranjas sin utilizar los números y  las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.
Entre los primeros pueblos que crearon una escritura, algunos también crearon símbolos para representar a los números.



Se puede observar entre los ejemplos anteriores, que los únicos que tenían un símbolo para el cero eran los mayas, pueblo que vivió en Centroamérica desde mucho antes de la llegada de los españoles a América. Se podría pensar que, en vista de que el cero no vale nada, no resulta muy importante tener un símbolo especial para representarlo.
La verdad es que, como pronto se verá, esa idea aparentemente simple de inventar un símbolo para representar lo que es NADA, resultó tener consecuencias muy importantes en nuestra forma de escribir los números y de sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Los mayas desarrollaron las Matemáticas y la Astronomía de manera notable.

Estos primeros símbolos fueron creados para representar a los números que se usaban para contar, y que ahora son llamados números NATURALES.

Se puede observar que cada número se podía escribir de varias maneras. El valor de cada símbolo no cambiaba al variarse su posición.



Para reflexionar:  ¿Crees que hubiera sido posible para los egipcios multiplicar dos de estos números de la manera en que lo hacemos nosotros?
¿Qué razones puedes dar para tu respuesta?
 



Mirando este ejemplo resulta claro que hay diferencias importantes entre la manera de realizar las operaciones básicas que se usa hoy en día en la escuela y las de algunos pueblos antiguos.

En este caso, las diferencias se deben principalmente a la forma distinta de escribir los números.

El sistema de los egipcios, como se ha visto, no era posicional como el decimal. En el sistema egipcio, el valor de cualquiera de los símbolos es siempre el mismo, independientemente de su posición.  Además, para escribir números grandes, se necesitaban muchos símbolos diferentes.

Pero los símbolos usados en el sistema decimal sí cambian su valor al cambiar su posición

En el número 25 el símbolo 5 representa: 5 unidades
En el número 52, el símbolo 5 representa: 50 unidades, o 5 decenas.

La idea de escribir los números de esta manera se debe a los matemáticos hindúes, quienes crearon los símbolos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Este sistema tiene una gran ventaja sobre otros sistemas más antiguos: no se necesitan más que 10 símbolos diferentes para representar a cualquier número, y hay que recordar que hay una infinidad de números. ¡Sólo 10 símbolos para escribir una infinidad de números!

Es fundamental darse cuenta de la importancia que tiene la introducción del cero como símbolo para representar la nada.

Continuando con este breve recorrido por la historia de los números, hay que decir que los árabes, cuando invadieron la región del Mediterráneo, introdujeron en esos pueblos, además de mercancías, costumbres y música, muchas ideas, y entre las más interesantes están las ideas matemáticas.
Una de esas ideas era precisamente la de escribir los números a la manera de los hindúes. Un gran matemático árabe llamado al- Khowarizmi, impresionado por la manera ventajosa y muy inteligente de escribir los números que tenían los hindúes, escribió en el siglo IX un libro que llamó "Sobre el arte hindú de calcular".
En Europa en aquella época se usaba la escritura romana de los números, la cual todavía se usa para algunas cosas, como por ejemplo, los números de los siglos. El libro de al-Khowarizmi resultó ser la puerta de entrada del sistema de numeración decimal a estas regiones. Naturalmente, este sistema al conocerse, desplazó al romano por ser más práctico, fácil y eficiente a la hora de hacer cálculos. El sistema romano de numeración tampoco es posicional y esto hace que los cálculos sean complicados cuando se trata de números grandes, si no se dispone de un ábaco, que es un objeto que se usaba y todavía se usa en algunos países para calcular.

Por ejemplo, imagínate lo difícil que puede ser multiplicar 125 x 32
usando la numeración romana:


CXXV multiplicado por XXXII


Claro, en aquella época en Europa había calculistas profesionales, a quienes la gente común pagaba para que les hicieran cálculos complicados de compras y ventas, préstamos, deudas, rentas, etc.
Estos profesionales al principio se oponían a que se usara el sistema decimal. Decían que los símbolos usados se parecían mucho entre sí y la gente iba a cometer muchos errores al usarlos. La verdad es que temían quedarse sin empleo por el hecho de que ya nadie los iba a necesitar, pues el arte de calcular estaría ya al alcance de todos.
La gente prefiere hacer las cosas de la manera que le resulte más fácil, y las matemáticas que hoy se aprenden en la escuela son el resultado de la escogencia entre varias maneras distintas de escribir los números y de calcular.
Una de las principales ventajas del sistema decimal, que también se conoce como indo-arábigo por el hecho de haber sido engendrado en la India y transmitido por los árabes a Europa, es, como ya se ha dicho, la de la facilidad que ofrece para los cálculos. 
 

La suma en el Sistema Decimal.

Para sumar, por ejemplo, 236 + 178, no hay que preocuparse por lo altas que sean esas cifras, pues basta con saber sumar los números del 0 al 9. Eso sí, hay que ubicar unidades bajo unidades, decenas bajo decenas, y centenas bajo centenas:

     236
   +178

 


Bibliografía utlizada:
Guedj, D. (1.997). Numbers. The Universal Language. New York: Harry N. Abrams, Inc.
Guelli, O. (1.992). Contando a Historia da Matematica. Sao Paulo: Editora Atica.

Bibliografía recomendada
Sotelo, M. (1.987) Historia de los Números. Caracas: Editorial Algoritmo

Fuentes de fotografias
http://www.naya.org.ar/img/secciones/yanomami.jpg

 
 
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