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Ecuaciones en 

El tratado de al-Khowarizmi sobre resolución de ecuaciones fue traducido al latín varias veces por matemáticos europeos de la Edad Media, quienes aprendieron la lengua árabe especialmente con el fin de aprender acerca de los avances que los árabes habían logrado en Matemáticas.

En particular, esta obra de al-Khowarizmi influyó mucho en la ciencia europea de aquella época.

El término "algoritmo'' se deriva del nombre del matemático al-Khowarizmi, considerado uno de los más grandes matemáticos árabes de todos los tiempos.

La palabra "algoritmo'' se usa en Matemáticas para nombrar una serie de pasos ordenados que conducen a la solución de algún problema o ejercicio matemático.


La resolución de ecuaciones no es siempre posible si se admiten sólo soluciones que sean números naturales; por ejemplo, la ecuación:
 

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no tiene solución entre los números naturales, pues cualquier número natural sumado a 4 dará un número mayor que 4, y en este caso la solución de la ecuación, sumada a 4, debe dar igual a 1.

Cuando se conocen bien los números negativos, puede encontrarse una solución para esa ecuación.

Para resolverla, puede usarse el método de tanteo ó un razonamiento sencillo, para concluir que la solución es:
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También puede usarse el método algebraico:

La ecuación original x+4=1 se va transformando en ecuaciones equivalentes, realizando operaciones idénticas en ambos lados de la igualdad, hasta lograr despejar a la x.
 

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Una vez que se conocen los números negativos, se tiene la posibilidad de resolver muchísimas ecuaciones que, viviendo sólo con los números naturales, no se podrían resolver.

Debe tenerse cuidado, por supuesto, con las operaciones que se realizan, respetando las "reglas del juego" que impone el trabajo con números enteros. Por ejemplo, en la ecuación:
 

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se comienza por restar 24 a ambos miembros de la igualdad:
 

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y, como 16-24 es igual a -8, se obtiene la siguiente ecuación equivalente a la original:
 

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Ahora se suma 3x en ambos miembros y se obtiene:
 

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El último paso será dividir ambos miembros entre 8, y así queda:
 

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Recordando que la división de un número entre otro de distinto signo da como resultado un número negativo, se tiene:

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Es decir, la solución es x = -1, lo cual significa que si se sustituye a la x por -1 en la ecuación original, se obtiene una igualdad verdadera.


Hay muchas maneras de resolver una misma ecuación. Por ejemplo, a continuación se resolverá una ecuación cuya incógnita está multiplicada por un número negativo.
 

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Se dice que el número -3 es el coeficiente de la x.

En este caso, en primer lugar, restamos 1 (ó sumamos -1) a ambos miembros de la ecuación:
 

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ahora, se dividen ambos miembros por el coeficiente de x, es decir, -3 en este caso:
 

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como se sabe que (-3x)/(-3) = (-3/-3)x = 1· x = x, entonces se obtiene x = -3 como solución a la ecuación dada.

Pero también se puede resolver así: -3x = 9, y por lo tanto sumando 3x a ambos miembros, se obtiene 0 = 3x+9, es decir, -9 = 3x, y ahora, se dividen ambos miembros entre 3 y se obtiene           -9/3=x, es decir, -3 = x.

Como se puede ver, las "reglas del juego" que mencionamos antes deben conocerse muy bien; principalmente en este caso, las siguientes:

El producto y la división de dos números enteros de signos iguales es un número positivo.

El producto y la división de dos números enteros de signos contrarios es un número negativo.



A continuación, se muestra un ejemplo de una ecuación en la cual deben hacerse operaciones de suma o resta con la incógnita:
 

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como el objetivo final es despejar la incógnita, debe ubicarse la x en un solo lado de la ecuación. Para esto, basta con sumar en ambos miembros la x, para comenzar:
 

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Hay que saber que
 

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y por otro lado, que
 

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puesto que, si se recuerda que la x representa un número desconocido, pero un número al fin, se puede aplicar la propiedad distributiva en este caso:
 

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Aquí se ha aplicado esta propiedad en sentido inverso al que se ha usado hasta ahora.

Por eso es que -6x+x=-5x.

Con la práctica, ya el estudiante puede observar que, en general, si a y b son dos números enteros cualesquiera,
 

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Volviendo al ejemplo que se está resolviendo, se tiene que la ecuación original:
 

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es equivalente a

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dividiendo ambos miembros entre -5, que es el coeficiente de la x, se obtiene:
 

displaymath225
ó
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se resolverán otros ejemplos de ecuaciones a continuación, aplicando las técnicas ya explicadas.
 

displaymath227
 

Se comienza por aplicar la propiedad distributiva en el lado derecho de la ecuación:
 

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y esto equivale a
 

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ahora puede sumarse 7x a ambos miembros de la igualdad, aunque también podría optarse por restar 3x en ambos miembros:
 

displaymath230
 

en el lado derecho se obtiene:
 

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Así, la ecuación dada es equivalente a:
 

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o sea
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Sumando en ambos miembros 14, se obtiene:
 

displaymath234
 

es decir,
 

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ahora, dividiendo ambos miembros entre 10, resulta que la ecuación original es equivalente a
 

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ó
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Otro ejemplo:
 

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se aplica la distributividad del producto respecto a la suma en el miembro izquierdo:
 

displaymath239
 

aquíse observa que -2(3x)=(-2)(3)x, es decir, -2(3x)=-6x. Luego, la ecuación dada es equivalente a la siguiente:
 

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como -6x+(-5x)=-11x, se obtiene:
 

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Sumando 11x en ambos miembros:
 

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es decir,
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y esto equivale a
 

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ó
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por lo tanto
 

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y
displaymath247
 



Si has encontrado todas las soluciones de estos ejercicios, felicitaciones, y continúa descubriendo los sencillos secretos que encierra la Matemática. Si no has encontrado alguna solución o se te ha dificultado mucho algún ejercicio, vuelve a leer cuidadosamente lo ejemplos mostrados, para que así identifiques la fuente de tus dificultades y logres superarlas.

Bibliografía utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998). Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Bibliografía recomendada:
Paredes, B. y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.

Direcciones web recomendadas:
http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/655/655.html


 
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