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Fracciones. Nociones Básicas


Alrededor de 3.000 años antes de Cristo, los egipcios crearon una manera de escribir algunos de los números que hoy llamamos fraccionarios. Sólo escribían números fraccionarios de la forma

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Fue para ellos necesario crear estos símbolos, pues en el trabajo cotidiano, especialmente en las mediciones de los terrenos, aparecían cantidades que no eran enteras.

La medición de los terrenos de los agricultores que cultivaban la tierra ubicada a las márgenes del río Nilo tenía gran importancia en Egipto, puesto que anualmente, cuando el río crecía, inundaba la mayor parte de estos terrenos y borraba sus linderos. Después de la crecida, cuando el río volvía a su nivel usual, los funcionarios del gobierno hacían las mediciones necesarias para restablecer los linderos de cada parcela, y en este oficio de medir hacía falta conocer muy bien los números, incluyendo las fracciones.

 

Una fracción en el lenguaje común significa una porción o parte de un todo. En Matemáticas se usa también el término fracción para nombrar números que son una parte de la unidad o también aquellos números que sean iguales a un número entero más una parte de la unidad, escritos de la forma

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con a y b números enteros, y tex2html_wrap_inline1709. En el lenguaje común se usa la idea de fracción constantemente, por ejemplo, cuando se dice:

"Tengo sólo MEDIA hora para resolver este examen''.

"Para hacer la torta con tu receta, necesito TRES CUARTOS de taza
de leche''.

"La TERCERA parte de los estudiantes aprobó con 20 el examen de Matemáticas''.

"Te daré la CUARTA parte del dinero que gane por este trabajo''.

Para reflexionar:

¿Sabes exactamente lo que cada una de estas expresiones significa?

¿Podrías escribir esas mismas oraciones usando fracciones?


Cuando una fracción es una parte de la unidad, se dice que la fracción es propia. Por ejemplo, las fracciones siguientes son propias:
 

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Más adelante se verá por qué todas estas fracciones son propias, es decir, son una parte de la unidad.

En toda fracción distinguimos al numerador, que es el número de arriba, del denominador, el número de abajo.

El denominador indica cuál es el número de partes en que se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas partes se toman.

 

Por ejemplo:

En la fracción tex2html_wrap_inline1711 , el denominador es el número 3, e indica en cuántos pedazos iguales se divide la unidad, y el número 1 es el numerador, que nos indica cuántos de estos pedazos constituyen dicha fracción.

En la fracción tex2html_wrap_inline1717 , se divide la unidad en 7 partes iguales, y se toman 2 de esas partes.

Puede ocurrir que el numerador sea igual 0, y en ese caso, la fracción total es igual a 0. Por ejemplo:

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Es decir, cuando se habla, en la definición anterior, de "parte de la unidad'', se incluye la posibilidad del 0, y cuando se habla de "un número entero más una parte de la unidad'', si esa parte se hace igual a 0, entonces la fracción en ese caso es un número entero.

En otras palabras, los números enteros se pueden escribir como fracciones, y el 0 también. Por ejemplo:

displaymath1646

Cuando en el denominador está el número 1, esto indica que la unidad no se ha dividido, sino que se toma completa, y en este caso, el numerador indica cuántas unidades se toman. Por ejemplo: tex2html_wrap_inline1735 unidades, tex2html_wrap_inline1737 unidades. Es decir, cualquier número natural n se puede escribir como:
displaymath1647

Podría preguntarse qué ocurre cuando el denominador es 0. Tal como se han entendido las fracciones, una fracción como tex2html_wrap_inline1743 simplemente no tiene sentido. Por eso, dicen los matemáticos que una fracción con el número 0 en el denominador NO ESTÁ DEFINIDA. Esto quiere decir que una expresión como tex2html_wrap_inline1747 no tiene ningún significado matemático. Las Matemáticas utilizan una gran cantidad de símbolos que tienen un significado preciso, de la misma manera como las palabras del castellano, tienen un significado preciso. Pero con las mismas letras que se usan para escribir en castellano, se pueden construir palabras sin significado. Por ejemplo, así como se reconoce que ``vrgunpldit'' es sólo un conjunto de letras agrupadas que no tienen sentido en castellano, así ven los matemáticos ciertas expresiones extrañas como tex2html_wrap_inline1749 , por ejemplo.


Fracciones impropias:

A toda fracción que sea igual a un número natural más una parte de la unidad se le llama fracción impropia.

Por ejemplo: displaymath1648


¿Qué tienen en común todas estas fracciones?

El numerador es mayor que el denominador en todas ellas.

En la fracción displaymath1649

El denominador es 4 (unidad dividida en 4 partes iguales)

El numerador es 5 (se toman 5 partes).

Como 5 es mayor que 4 y son 4 las partes que componen la unidad, naturalmente tex2html_wrap_inline1757 es un número mayor que la unidad, como se ve claramente en la figura de la derecha.


displaymath1650    Con frecuencia, se escribe:
   displaymath1651

Puede ahora concluirse que si el numerador de una fracción es menor que el denominador, esa fracción es propia, es decir, es menor que la unidad. Por ejemplo

displaymath1652

¿Puedes explicar por qué estas fracciones son propias?

Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a 1. Por ejemplo:

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¿Puedes explicar por qué estas fracciones son iguales a 1?


Fracciones Equivalentes

Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:

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10/14 y 5/7 son, entonces fracciones equivalentes, pues, como se ve en el dibujo, representan la misma cantidad y por eso, se escribe:

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Si ahora se subdivide cada séptima parte en 3 partes iguales, el rectángulo quedará dividido en 21 partes:



Si se considera displaymath1656
se estarán tomando 5 partes, cada una

de ellas igual a  tex2html_wrap_inline1765 . Con la nueva división de la unidad en 21 partes, esto es lo mismo que tomar 15/21, pues tex2html_wrap_inline1769 es el número de partes más pequeñas que tomamos (3 por cada una de las 5 partes grandes que teníamos al principio).


Es decir, si el denominador se multiplica por 3, el numerador debe multiplicarse también por 3 para que las dos fracciones sean equivalentes:

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En general, si se tiene una fracción cualquiera, y se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número se obtiene otra fracción que es equivalente a la primera.


Otro ejemplo:

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se puede ver que tex2html_wrap_inline1779 es equivalente a tex2html_wrap_inline1781, de la manera siguiente:

Al subdividir en dos cada sector que representa tex2html_wrap_inline1783 del círculo

se obtienen dos sectores que equivalen, cada uno, a tex2html_wrap_inline1785 del círculo.

Se aprecia claramente que tex2html_wrap_inline1781 del círculo es lo mismo que tex2html_wrap_inline1779 del mismo círculo

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Para reflexionar

¿Podrías decir cuántas fracciones equivalentes a tex2html_wrap_inline1781 existen?


Fracciones Irreducibles:

se ha visto que es posible encontrar una fracción equivalente a otra dada, multiplicando numerador y denominador de esa fracción dada por un mismo número:

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Si la fracción dada fuera tex2html_wrap_inline1797 y se quisiera encontrar una fracción equivalente a ella, puede obtenerse dividiendo el numerador y el denominador por 3:

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En este caso, ya se sabía que dividir por 3 numerador y denominador produciría una fracción equivalente a 6/9, pues sólo se realizó el proceso inverso al anterior.

En general, para poder encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número, es necesario que numerador y denominador sean múltiplos de ese número. Por ejemplo:

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En este caso, 4 y 6 son ambos múltiplos de 2. Si se considera esta otra fracción:

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En este caso, no existe ningún número mayor que 1 que sea divisor de 5 y 8 a la vez.

No es posible, entonces, encontrar fracciones equivalentes a  tex2html_wrap_inline1803 dividiendo numerador y denominador por el mismo número. Cuando esto ocurre, se dice que la fracción es irreducible. El proceso de encontrar fracciones equivalentes a una dada, dividiendo numerador y denominador por el mismo número, se llama simplificación de fracciones.

De nuevo se considerarán las fracciones impropias. Se ha visto que una fracción impropia representa una cantidad que es mayor o igual que la unidad. También se sabe que en toda fracción impropia, el numerador es mayor o igual que el denominador.

Para realizar ciertas operaciones, es conveniente escribir una fracción impropia como un número natural más una fracción propia, como por ejemplo:

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En este caso es fácil ver por qué es cierta esa igualdad.

Se sabe que cada 3/3 equivale a la unidad y al tomar 8/3 se está tomando dos veces 3/3, es decir, 2 unidades y quedan 2/3 más.

En otras palabras, se usa el hecho de que  tex2html_wrap_inline1815  con resto 2.

Por eso,
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Para escribir la fracción impropia tex2html_wrap_inline1819 como un número natural más una fracción propia, se hace lo siguiente:

se divide
displaymath1666

se obtiene un cociente igual a 7 y resto igual a 6, lo cual quiere decir que

displaymath1667

Esto se hace porque una fracción cualquiera también representa una división:

displaymath1668

Cuando se piensa que una fracción representa también una división se hace más clara la razón por la cual dos fracciones como 3/5 y 18/30 son equivalentes.

Para algunos resulta un poco extraño el hecho de que 3/5 = 18/30, siendo 3 distinto de 18 y 5 distinto de 30.

Lo que ocurre es que si se divide 3/5 el resultado será igual al que se obtiene al dividir 18/30, sencillamente porque 18/30 = [(3)(6)] / [(5)(6)].

En toda división de un número entre otro, si se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número, el resultado de la división no se altera.

Algo parecido ocurre con la resta: 14 - 6 = 8
se suma 7 al minuendo y al sustraendo:

(14+7) - (6+7) = 8 La diferencia no se altera.




 

Bibliografía:

Guelli, O. (1992). Contando a Historia da Matemática. Sao Paulo: Editora Atica.
García, V., Villaseñor, R., Waldegg, G. (1998). Matemáticas en Contexto. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. de C. V.
Bibliografía recomendada:
Paredes, B., Salcedo, A. (1997). Matemáticas 7º. Caracas: Santillana.


 
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