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Sumas y restas de fracciones


La idea del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tarde por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una verdadera filosofía del número.

Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban a los números no sólo como cantidades sino como los elementos que regían al Universo.

Los números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y el Universo era concebido en términos de relaciones matemáticas.


Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que representan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de partes, o en el caso de fracciones impropias, números naturales más una fracción de la unidad también dividida en el mismo número de partes. Por ejemplo:



En ambos casos, sumar estas fracciones resulta muy sencillo, pues basta con sumar los numeradores (que indican cuántas partes tomamos) y copiar el mismo denominador, pues la división de la unidad sigue siendo la misma.

Si se quiere restar:
displaymath1323

se puede representar gráficamente la situación así:



Al sustraer o retirar tex2html_wrap_inline1383 del área sombreada en el primer rectángulo, evidentemente quedan tex2html_wrap_inline1385 ; es decir   displaymath1325



y de nuevo este resultado se obtiene restando los numeradores y copiando el denominador.

Para reflexionar: si alguien te dijera que la siguiente operación es correcta:
5/9 + 3/9 = 8/18, ¿qué explicación le darías para convencerle de que está equivocado?

Ahora, se procederá a sumar dos fracciones con distinto denominador:

displaymath1326

Lo primero que se intentará es encontrar fracciones equivalentes a tex2html_wrap_inline1391  y a  tex2html_wrap_inline1393  que tengan el mismo denominador: tex2html_wrap_inline1395tex2html_wrap_inline1397.

ahora, en lugar de sumar tex2html_wrap_inline1399, se suman las fracciones equivalentes a éstas:

displaymath1327

Gráficamente el proceso anterior se representa así:


al escoger fracciones equivalentes a tex2html_wrap_inline1391 y a tex2html_wrap_inline1393 que tengan denominador igual a 12, se está dividiendo el rectángulo en 12 partes iguales. Esto se puede lograr subdividiendo cada cuarta parte del primer rectángulo en 3 partes, y subdividiendo cada sexta parte del segundo rectángulo en 2 partes:



ahora, se añaden las dos partes sombreadas del segundo rectángulo al primero y se obtiene:


Esto se puede hacer porque 12 es múltiplo de 4 y es múltiplo de 6:

 

tex2html_wrap_inline1405

tex2html_wrap_inline1407

Además,

3 = número de subdivisiones que se hacen en cada cuarta parte.

2 = número de subdivisiones que se hacen en cada sexta parte.

 


Cuando se efectúa la suma de dos fracciones que tienen distinto denominador, se tienen que sumar fracciones equivalentes a ellas, que tengan igual denominador. Como se puede observar, ese denominador debe ser múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.

Se sabe ya que hay infinitas fracciones equivalentes a cualquier fracción. Pero para simplificar los cálculos, es conveniente sumar las fracciones más sencillas posibles.

 


En el primer caso, cuando se escoge al número 12 como denominador para las fracciones equivalentes a  tex2html_wrap_inline1391   y a  tex2html_wrap_inline1437   es porque 12 = m.c.m.(4,6).

Recuérdese que esto significa que 12 es el menor de todos los números que son múltiplos de 4 y de 6 a la vez. Es el número que más conviene escoger como denominador común de ambas fracciones.

Así, dadas 2 ó más fracciones con distinto denominador, si se quiere sumarlas, se debe hacer lo siguiente:

1) Encontrar el m.c.m. de todos los denominadores.

2) Hallar las fracciones equivalentes a las dadas con denominador igual al m.c.m. encontrado en 1).

3) Sumar esas fracciones encontradas, que son equivalentes a las dadas.

Todo esto es útil porque se facilitan las operaciones con fracciones cuando están en su forma irreducible, y al sumar dos fracciones siguiendo estos pasos, se obtiene una fracción que está más cerca de ser irreducible que si se tomara un denominador que no fuera el m.c.m. de todos los denominadores.


Ejemplo:
para sumar

displaymath1336

Primero se halla el m.c.m.(9,6); para ello se descomponen ambos números en sus factores primos:

tex2html_wrap_inline1451

tex2html_wrap_inline1453

m.c.m.tex2html_wrap_inline1455. Las fracciones equivalentes a las dadas son:

displaymath1337

y

displaymath1338

ahora se suman:

displaymath1339

en forma abreviada, se puede proceder así:

displaymath1340
Aquí se obtiene el 8 así:

tex2html_wrap_inline1459

Análogamente, el 21 se obtiene así:

tex2html_wrap_inline1463


Ejercicio:
Realiza la siguiente suma de dos maneras diferentes, es decir, escogiendo como denominador común un número diferente cada vez.
5/6 + 3/10

¿Crees que es necesario, para sumar fracciones con distinto denominador, expresarlas antes como fracciones con el mismo denominador? ¿por qué?


Fracciones negativas y restas de fracciones

Al estudiar la resta de números enteros debe haber quedado claro que esta operación se puede considerar como la suma de un número más su opuesto. Por ejemplo:

displaymath1341

Igualmente, se puede considerar la resta de fracciones como la suma de una fracción más su opuesta:

displaymath1342

Obsérvese que la fracción opuesta a una fracción dada es la que se obtiene cambiándole el signo al numerador. Por ejemplo, la fracción opuesta a tex2html_wrap_inline1391 es tex2html_wrap_inline1467. al anteponer un signo "-" a un número entero o una expresión completa, se está hablando del opuesto a ese número o expresión. En el caso de que esa expresión sea una fracción, se tiene exactamente lo mismo: el opuesto de tex2html_wrap_inline1391 es tex2html_wrap_inline1473, y por lo que se acaba de decir, se tiene que
displaymath1343

De hecho, si a 3/4 se le suma -3/4 se obtiene:


3/4 + (-3)/4 = (3 + (-3)) / 4 = 0/4 = 0.


También se ha visto que la división de un número entre otro da un número negativo si los números tienen signos opuestos, y da positivo si los números tienen signos iguales. Como las fracciones se pueden interpretar también como divisiones, se tiene lo siguiente:

displaymath1344

Para reflexionar: ¿Puedes explicar por qué son iguales las fracciones anteriores?

por otra parte, se tiene:
displaymath1345

Para reflexionar: ¿puedes explicar por qué? Si no puedes, tal vez no has comprendido bien lo que acabamos de recordar sobre divisiones de enteros, y debes repasar este punto antes de continuar. Este es un punto muy importante que no debes olvidar si quieres operar correctamente con fracciones con signos.

De manera que aprender a restar fracciones no significa en realidad aprender algo totalmente nuevo, si ya se saben sumar fracciones, puesto que restar una fracción a otra es lo mismo que sumarle a la fracción minuendo el opuesto de la fracción sustraendo. Por ejemplo:
displaymath1346

displaymath1347




Si  has realizado la mayoría de estas operaciones con éxito, felicitaciones, has logrado aprender a trabajar con fracciones positivas y negativas. Si has tenido muchos errores revisa de nuevo los ejemplos que se han dado y estudia bien los procedimientos indicados. Son realmente sencillos, pero requieren de mucha atención, ¡como todo trabajo interesante!


Bibliografía:
Guelli, O. (1992). Contando a Historia da Matemática. Sao Paulo: Editora Atica.
García, V., Villaseñor, R., Waldegg, G. (1998). Matemáticas en Contexto. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. de C. V.

Bibliografía recomendada:
Paredes, B., Salcedo, A. (1997).Matemáticas 7º. Caracas: Santillana.


 
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