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Multiplicación y División de Fracciones


El Papiro de Rhind contiene 85 problemas resueltos y algunos de ellos incluyen fracciones, sólo aquellas con numerador 1, con excepción de tex2html_wrap_inline1434 .

Para escribir las fracciones unitarias, los egipcios usaban el signo de un óvalo sobre el número que designaba el denominador. Por ejemplo:


Papiro de Rhind

 




Los egipcios representaban el número uno mediante el símbolo  |  y el número 10 mediante el símbolo tex2html_wrap_inline1438 .

Es bien sabido que multiplicar tex2html_wrap_inline1440 significa sumar al 4 consigo mismo 7 veces. Así, puede también multiplicarse tex2html_wrap_inline1446 y el resultado es igual a lo que se obtiene al sumar
displaymath1376
Y esto se obtiene también así:

displaymath1377

En realidad, siempre puede escribirse cualquier número entero de la manera en que se ha escrito el 3 en la multiplicación anterior:

displaymath1378

Ahora, ¿cómo podría interpretarse la multiplicación? :

displaymath1379

Gráficamente se representan las dos fracciones:




Si se dibuja ahora el pedazo que representa tex2html_wrap_inline1450 , y tomamos las dos terceras partes de ese pedazo, se obtiene:


¿Qué parte del rectángulo mayor representa el área sombreada? se observa que, si se dividiera cada quinta parte en tres partes iguales, se obtendrían en total 15 partes iguales. Entonces, los pedacitos obtenidos representan tex2html_wrap_inline1454 cada uno. Como el área sombreada está formada por 2 de estos pedacitos, se tiene que esa área es igual a tex2html_wrap_inline1458 .

Esto es, en definitiva, lo que se obtiene al multiplicar tex2html_wrap_inline1460 : las dos terceras partes de tex2html_wrap_inline1450 , que son exactamente tex2html_wrap_inline1458 del total. Es decir,
displaymath1380

Este resultado se ha obtenido a partir de las figuras, para comprender mejor en qué consiste multiplicar dos fracciones, pero ya se sabe que para multiplicar estas dos fracciones, basta con hacer lo siguiente:

displaymath1381

Es importante observar algunos casos muy sencillos de multiplicación de fracciones, para aprender el significado del producto. Por ejemplo:

displaymath1382

Cuando se multiplica tex2html_wrap_inline1466 por 10, se obtiene 5, que es la mitad de 10.

Al multiplicar cualquier número por tex2html_wrap_inline1466 se obtiene la mitad de ese número.

En particular, si se multiplica

displaymath1383

se obtiene tex2html_wrap_inline1470 , que es la mitad de tex2html_wrap_inline1472 .

Análogamente, si se quiere calcular la tercera parte de cualquier número, simplemente se le multiplica por tex2html_wrap_inline1474 . Por ejemplo, la tercera parte de 210.000 es

displaymath1384

y la tercera parte de tex2html_wrap_inline1476 es

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Supóngase ahora que alguien recibió una herencia que consiste en las tres quintas partes de la cantidad de 10.000.000 de bolívares. Para determinar esta cantidad, sencillamente se multiplica tex2html_wrap_inline1480 por 10.000.000. Como tex2html_wrap_inline1484 , se tiene:
 

displaymath1386

Si el heredero sabe manejar bien las operaciones con fracciones, no se dejará engañar y sabrá exactamente lo que le corresponde. Mucha gente es engañada por no conocer operaciones tan sencillas como la que se acaba de realizar.

Supóngase ahora que la herencia que deja un hacendado a sus cuatro hijos es una hacienda de 60.000 hectáreas. Su última voluntad fue que se repartiera en partes iguales entre los cuatro. Resulta que uno de los hijos, Juan, quiere repartir de inmediato lo que ha heredado entre su esposa y su hijo. A la esposa, Sofía dejará un tercio de su herencia y a su hijo Pedro, los dos tercios restantes. ¿Qué cantidad de hectáreas le tocarán a Pedro y qué cantidad a su madre?


Podría buscarse la respuesta a la pregunta planteada por dos vías:

1) se sabe que Juan recibirá tex2html_wrap_inline1488 del total de la hacienda, y por otra parte, su hijo Pedro recibirá tex2html_wrap_inline1434 de lo que heredó su padre. Por lo tanto, la fracción de la hacienda que recibirá Pedro es igual a:

displaymath1387

por ser el total de hectáreas igual a 60.000, tenemos que la cantidad de hectáreas que Pedro recibirá es exactamente

displaymath1388

por otra parte, la madre de Pedro recibirá tex2html_wrap_inline1474 de lo que recibió su esposo. Por lo tanto, la fracción de la hacienda que ella recibirá es

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ahora, tex2html_wrap_inline1470 de 60.000 es igual a

displaymath1390

La madre de Pedro recibirá, entonces, 5.000 hectáreas.

2) Podría también calcularse directamente la cantidad de hectáreas que heredó Juan:

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ahora, de esa cantidad, Pedro recibirá dos terceras partes, y para calcular esto, basta con multiplicar:

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para calcular la cantidad de hectáreas que le tocaron a la esposa de Juan, como se sabe que a ella le toca una tercera parte de lo que heredó Juan, se multiplica:

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Se ve que por ambas vías se obtienen los mismos resultados. Es muy importante comprender bien el por qué se realizan las operaciones en cada caso.

Ahora se examinará otro ejemplo:

Mariela va para una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. El resto de la torta la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. Mariela se preguntaba, al picar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos, si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos. ¿Podría Mariela tener una respuesta a esa pregunta?
¿Serán las Matemáticas, o será la torta lo que captura el interés de Mariela?

Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano (si es que Mariela no hace trampa):

Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa, que es un cuarto del total. Por lo tanto, comerán la siguiente fracción de la torta completa:

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Comerán tex2html_wrap_inline1470 , es decir la doceava parte de la torta.



por otra parte, de las tres cuartas partes que
quedaron para los que estaban en la fiesta,
Mariela se comió una novena parte, es decir, la fracción de la torta completa que ella comió, fue:

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De manera que lo que Mariela comió es igual a lo que comieron sus hermanos, si es que el interés de ella por las Matemáticas y la justicia no es menor que el que tiene por la torta.

Se estudiará ahora la multiplicación de fracciones con signos. Al observar que la multiplicación de dos fracciones se realiza multiplicando números enteros (los que están en los numeradores por un lado, y los que están en los denominadores por otro), se comprende que las leyes que gobiernan el producto de números enteros, siguen siendo válidas en el producto de fracciones.

Si se multiplican fracciones con signos distintos, se obtiene una fracción negativa como resultado. Por ejemplo:

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Si se multiplican dos fracciones con igual signo (ambas positivas o ambas negativas) entonces el resultado es positivo. Por ejemplo:

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Ejercicio: toma una hoja de tu cuaderno y efectúa los siguientes productos de fracciones, y simplifica, si es posible, la fracción que obtienes como resultado:
 

tabular1134


Debes haber observado algo curioso en los ejercicios 2) y 8) anteriores. En ambos, el resultado es igual a 1. ¿ Podrías decir por qué ocurre esto?

En general, siempre que el producto de dos fracciones da como resultado el número 1, se dice que son inversas, o que una de ellas es la inversa de la otra. Por ejemplo, la inversa de tex2html_wrap_inline1534 es  , y la inversa de tex2html_wrap_inline1538 es tex2html_wrap_inline1540 . En muchos casos la inversa de una fracción es un número entero, por ejemplo: la inversa de tex2html_wrap_inline1542 es tex2html_wrap_inline1544 .

Ejercicio: escribe en tu cuaderno la inversa de cada una de las siguientes fracciones: tex2html_wrap_inline1546  , tex2html_wrap_inline1548 ,   tex2html_wrap_inline1550 ytex2html_wrap_inline1552

División

Se sabe que la división es una operación inversa a la multiplicación, pues cuando se multiplica al número 5, por ejemplo, por el número 3 se obtiene el 15, y si se divide el 15 entre 3, se vuelve a obtener al 5. Ahora, cuando se va a dividir una fracción entre otra, simplemente se hace como en el ejemplo siguiente:

displaymath1400

En la operación anterior, se ha multiplicado al dividendo (tex2html_wrap_inline1566 ) por el inverso del divisor. En este caso, el divisor es tex2html_wrap_inline1480 y su inverso, por supuesto, es tex2html_wrap_inline1570 .

De manera que, si se ha aprendido bien a multiplicar fracciones, la división no resultará nada difícil.

Otros ejemplos:

displaymath1401

displaymath1402

se puede realizar la división de fracciones directamente haciendo lo que algunos llaman "multiplicación en cruz". Como se ha visto que para dividir, por ejemplo:

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debe invertirse la fracción tex2html_wrap_inline1572 , y luego multiplicarla por tex2html_wrap_inline1574 , la multiplicación en cruz lo que hace es dejar las dos fracciones tal como están y multiplicar así:

displaymath1404

Puede escogerse la manera de dividir fracciones que se prefiera. Lo importante es tener siempre muy claro que las dos formas son equivalentes y hay un sólo resultado correcto.




Bibliografía:
Villaseñor, R., García, V. y Waldegg, G. (1998), Matemáticas en contexto - segundo curso. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de CV

Bibliografía recomendada:
Paredes, B., Salcedo, A. (1997) .Matemáticas 7º. Caracas: Santillana

Fuentes de fotografias
http://www.terra.es/personal/arey42/pa_rhind.jpg

 
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