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Orden en los números racionales. Potenciación con base en Q y exponente en Z

Es interesante observar que los matemáticos egipcios, al no tener una manera de escribir fracciones como, por ejemplo tex2html_wrap_inline2594  , con numerador distinto de 1, las expresaban como suma de otras con numerador igual a 1.

En el caso de tex2html_wrap_inline2594 , esta fracción era expresada como la suma:

displaymath2500

En efecto,

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Para los matemáticos modernos no queda muy claro por qué usaban, para expresar tex2html_wrap_inline2594 , la suma

displaymath2500

y no la más evidente

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Orden en los Números Racionales

El conjunto de todos los números fraccionarios, sean positivos o negativos, es llamado el conjunto de los Números Racionales, y se representa con la letra Q. En vista de que los enteros se pueden escribir como fracciones, el conjunto de los números racionales contiene a todos los naturales y a los enteros negativos.

Hay una manera de representar sobre una recta horizontal los números enteros, positivos y negativos:



Sobre esa recta es posible también representar a los números racionales. Por ejemplo, se sabe que tex2html_wrap_inline2602 es la mitad de 1, por lo tanto está ubicado justo en el punto medio del segmento que une al 0 con el 1:



El número tex2html_wrap_inline2610 está ubicado a la izquierda del 0, y a la misma distancia del 0 que tex2html_wrap_inline2602 :


Si se quisiera ubicar en esta recta a cualquier otro número racional positivo, debe saberse, en primer lugar, si está entre 0 y 1, es decir, si es una fracción propia. En caso de no serlo, tendría que escribirse ese número como un número entero más una fracción propia. Por ejemplo, el número racional tex2html_wrap_inline2594 está entre 0 y 1, porque es una fracción propia, pero tex2html_wrap_inline2628 no es propia, y es conveniente escribirlo así:

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Ahora se sabe que tex2html_wrap_inline2628 está entre 5 y 6, porque es igual a 5 más un número que es menor que 1.

Pero, ¿cómo saber si tex2html_wrap_inline2594 es menor o mayor que tex2html_wrap_inline2602 ? Una manera es la siguiente: se escriben fracciones equivalentes a las dadas y que tengan el mismo denominador. En este caso, se tiene:

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se han escogido las fracciones con denominador 10 porque 10 es el m.c.m.(5,2).

ahora, se comparan:

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Esto se sabe porque 5<6. Así, regresando a las fracciones originales, se tiene que:

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Todo está basado en la certeza siguiente:

Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo denominador, la mayor de ambas es la que tenga el mayor numerador.


Ejemplo:

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Por otra parte, es bueno saber también lo siguiente:

Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo numerador, la mayor de ambas es la que tenga el menor denominador. Ejemplo:

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para reflexionar: ¿Podrías explicar por qué son ciertas las afirmaciones anteriores?

Otro ejemplo:

se establecerá en qué orden están tex2html_wrap_inline2650   y  tex2html_wrap_inline2652 .

El m.c.m.(7,3) es 21. Las fracciones equivalentes a las dadas, y con denominador igual a 21, son: tex2html_wrap_inline2656   y tex2html_wrap_inline2658 . Inmediatamente se comparan los numeradores y se ve que 14<15, por lo tanto  tex2html_wrap_inline2662 , entonces:
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Si lograste ordenar correctamente los números dados, continúa, pues lo que sigue será fácil de comprender para ti. Si no lo lograste, lee con cuidado lo que se explicó antes y detecta tu error antes de proseguir con tu lectura.


Sea ha visto que, si entre dos números enteros positivos cualesquiera a y b, se tiene que a <b, entonces -a >-b . Por ejemplo:

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Lo mismo ocurre con los números racionales. El número racional tex2html_wrap_inline2678   está más lejos del 0 ( y a su derecha) que tex2html_wrap_inline2682 , pues
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por lo tanto, el opuesto a tex2html_wrap_inline2678, que es tex2html_wrap_inline2686, está más lejos del 0 (y a su izquierda) que tex2html_wrap_inline2690. Por eso,

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Ocurre algo interesante con la multiplicación de números racionales, que la diferencia de la multiplicación de los naturales. Al multiplicar un número entero positivo por otro, el resultado siempre es mayor que cada uno de los números que se han multiplicado:

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No es siempre así cuando se trata de racionales. Por ejemplo:

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en este caso, ambos factores son mayores que el producto. Pero puede ocurrir de otra manera también:

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Aquí tenemos que tex2html_wrap_inline2692 , mientras que tex2html_wrap_inline2694 .

es decir, uno de los factores es menor que el producto (tex2html_wrap_inline2696 ), y el otro es mayor que el producto ( tex2html_wrap_inline2694 ).

por otra parte, se puede también dar un ejemplo en el cual ambos factores son menores que el producto:

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en este caso, tex2html_wrap_inline2700 y también tex2html_wrap_inline2702 .

Obsérvese con cuidado cada uno de los tres ejemplos.

En el primero, tex2html_wrap_inline2704 , ambos factores son fracciones propias, es decir, números menores que 1 y mayores que cero.

En el segundo,

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se tiene que tex2html_wrap_inline2706tex2html_wrap_inline2708 .

en el tercer caso,

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ambos factores son mayores que 1.



Potenciación con base en Q y exponente en Z

Después de haber estudiado la suma, la resta, la multiplicación y la división en Q, se estudiará la potenciación con base en Q y exponente en Z.

Potencias como

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serán estudiadas ahora y se verá que el resultado de esa operación no es un número entero, sino un número fraccionario.

Al multiplicar

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se obtiene tex2html_wrap_inline2740 , y eso se ha obtenido aplicando las leyes de la potenciación.

De manera que tex2html_wrap_inline2744 es el inverso de tex2html_wrap_inline2746 , puesto que al multiplicar estos dos números se obtiene la unidad como resultado. Entonces, no queda otra alternativa que escribir:

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puesto que tex2html_wrap_inline2748 , y ya se sabe que el inverso de toda fracción se obtiene al intercambiar numerador por denominador en la fracción original.

Así, por ejemplo

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en general, cuando se eleva un número racional tex2html_wrap_inline2750 a un exponente entero n, sea éste positivo o negativo, se tiene

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por ejemplo:

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ahora, si el exponente es negativo:

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esto es lo que se esperaría que ocurriera si deben cumplirse las leyes de la potenciación en N, para potencias con números racionales en la base .

Así , para cualquier número racional tex2html_wrap_inline2750 y cualquier entero positivo n se cumple que:

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Puesto que

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Las leyes de potenciación que valen en N y Z siguen siendo válidas:

Pero ahora se debe agregar la siguiente:

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Un ejemplo donde se usa esta última propiedad, es el siguiente
 

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Otro caso podría ser:

displaymath2541

Esta última propiedad es muy útil para simplificar ciertos cálculos. Por ejemplo, si se quiere dividir tex2html_wrap_inline2764 , y no hay calculadora a la mano, se escriben el dividendo y el divisor como producto de sus factores primos:

displaymath2542

Luego,

displaymath2543
 

 


 

Bibliografía:
Villaseñor, R., García, V. y Waldegg, G. (1998), Matemáticas en contexto - segundo curso. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.


Bibliografía recomendada
Paredes, B., Salcedo, A. (1997) .Matemáticas 7º. Caracas: Santillana.


 
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