Es interesante observar que los matemáticos egipcios, al no tener una manera de escribir fracciones como, por ejemplo  , con numerador distinto de 1, las expresaban como suma de otras con numerador igual a 1.

En el caso de  , esta fracción era expresada como la suma:

En efecto,

Para los matemáticos modernos no queda muy claro por qué usaban, para expresar  , la suma

y no la más evidente

Orden en los Números Racionales

El conjunto de todos los números fraccionarios, sean positivos o negativos, es llamado el conjunto de los Números Racionales, y se representa con la letra Q. En vista de que los enteros se pueden escribir como fracciones, el conjunto de los números racionales contiene a todos los naturales y a los enteros negativos.

Hay una manera de representar sobre una recta horizontal los números enteros, positivos y negativos:

Sobre esa recta es posible también representar a los números racionales. Por ejemplo, se sabe que  es la mitad de 1, por lo tanto está ubicado justo en el punto medio del segmento que une al 0 con el 1:

El número  está ubicado a la izquierda del 0, y a la misma distancia del 0 que  :

Si se quisiera ubicar en esta recta a cualquier otro número racional positivo, debe saberse, en primer lugar, si está entre 0 y 1, es decir, si es una fracción propia. En caso de no serlo, tendría que escribirse ese número como un número entero más una fracción propia. Por ejemplo, el número racional  está entre 0 y 1, porque es una fracción propia, pero  no es propia, y es conveniente escribirlo así:

Ahora se sabe que  está entre 5 y 6, porque es igual a 5 más un número que es menor que 1.

Pero, ¿cómo saber si  es menor o mayor que  ? Una manera es la siguiente: se escriben fracciones equivalentes a las dadas y que tengan el mismo denominador. En este caso, se tiene:

se han escogido las fracciones con denominador 10 porque 10 es el m.c.m.(5,2).

ahora, se comparan:

Esto se sabe porque 5<6. Así, regresando a las fracciones originales, se tiene que:

Todo está basado en la certeza siguiente:

Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo denominador, la mayor de ambas es la que tenga el mayor numerador.

Ejemplo:

Por otra parte, es bueno saber también lo siguiente:

Entre dos fracciones positivas que tengan el mismo numerador, la mayor de ambas es la que tenga el menor denominador. Ejemplo:

para reflexionar: ¿Podrías explicar por qué son ciertas las afirmaciones anteriores?

Otro ejemplo:

se establecerá en qué orden están    y   .

El m.c.m.(7,3) es 21. Las fracciones equivalentes a las dadas, y con denominador igual a 21, son:    y  . Inmediatamente se comparan los numeradores y se ve que 14<15, por lo tanto   , entonces:

Si lograste ordenar correctamente los números dados, continúa, pues lo que sigue será fácil de comprender para ti. Si no lo lograste, lee con cuidado lo que se explicó antes y detecta tu error antes de proseguir con tu lectura.

Sea ha visto que, si entre dos números enteros positivos cualesquiera a y b, se tiene que a <b, entonces -a >-b . Por ejemplo:

Lo mismo ocurre con los números racionales. El número racional    está más lejos del 0 ( y a su derecha) que  , pues

por lo tanto, el opuesto a , que es , está más lejos del 0 (y a su izquierda) que . Por eso,

Potenciación con base en Q y exponente en Z

Después de haber estudiado la suma, la resta, la multiplicación y la división en Q, se estudiará la potenciación con base en Q y exponente en Z.

Potencias como

serán estudiadas ahora y se verá que el resultado de esa operación no es un número entero, sino un número fraccionario.

Al multiplicar

se obtiene  , y eso se ha obtenido aplicando las leyes de la potenciación.

De manera que  es el inverso de  , puesto que al multiplicar estos dos números se obtiene la unidad como resultado. Entonces, no queda otra alternativa que escribir:

puesto que  , y ya se sabe que el inverso de toda fracción se obtiene al intercambiar numerador por denominador en la fracción original.

Así, por ejemplo

en general, cuando se eleva un número racional  a un exponente entero n, sea éste positivo o negativo, se tiene

por ejemplo:

ahora, si el exponente es negativo:

esto es lo que se esperaría que ocurriera si deben cumplirse las leyes de la potenciación en N, para potencias con números racionales en la base .

Así , para cualquier número racional  y cualquier entero positivo n se cumple que:

Puesto que

Las leyes de potenciación que valen en N y Z siguen siendo válidas:

Pero ahora se debe agregar la siguiente:

Un ejemplo donde se usa esta última propiedad, es el siguiente
 

Otro caso podría ser:

Esta última propiedad es muy útil para simplificar ciertos cálculos. Por ejemplo, si se quiere dividir  , y no hay calculadora a la mano, se escriben el dividendo y el divisor como producto de sus factores primos:

Luego,