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Ecuaciones en Q

Los métodos para resolver ecuaciones han variado a lo largo de la Historia. Particularmente interesante era el método que usaban los egipcios para resolver ecuaciones como la siguiente:

Una cantidad, su mitad, sus dos tercios, todos juntos son 26. Díganme: ¿cuál es la cantidad?

Usando los símbolos que actualmente se aprenden en la escuela, el problema se escribiría así:

displaymath921

La manera de resolverla, según los egipcios, era la siguiente:

Le daban un valor cualquiera a la x, un falso valor, por ejemplo, 18. Realizaban las operaciones que indicaba la ecuación con este valor:

displaymath922

El valor falso (18) y el resultado obtenido (39) se usaban ahora para establecer una regla de tres

displaymath923

y se obtenía tex2html_wrap_inline987 .

Puede comprobarse que el método funciona, independientemente del valor falso que se escoja para comenzar. Este método fue llamado "la Regla de la Falsa Posición". 


Hay una explicación (pero no sólo una) para el hecho de que la Regla de la Falsa Posición sea una vía para encontrar la solución de una ecuación como la anterior. En el tema de Proporciones se encuentra una clave para una posible explicación. También necesitas estudiar bien este tema completo para poder encontrarla. Intenta dar una explicación cuando finalices el estudio de este tema y el de Proporciones.



Después de haber aprendido a resolver ecuaciones con números enteros, se hace claro al observar algunas ecuaciones, que existe la necesidad de incluir los números racionales también en el trabajo matemático. Veamos un ejemplo:

A Tomás se le asigna la tarea de vender 6 paqueticos de uvas. Él sabe que cada kilogramo de uvas se debe vender a Bs. 1.500, pero no sabe cuánto pesa cada paquete. Otro dato que tiene Tomás es el siguiente: los 6 paquetes más tex2html_wrap_inline997 kilo de uvas pesan en total 2 kilos. ¿Qué hacer para ponerle el precio justo a cada paquete?

Primero que todo, se plantea la siguiente ecuación, la cual refleja la información que se tiene sobre el peso de 6 paquetes más tex2html_wrap_inline997 kilo de uvas: si se llama x a los kilos que pesa cada paquete, se escribe:

displaymath924

(En esta ecuación, los números expresan kilos, no bolívares).

Procediendo de manera similar a la utilizada para resolver ecuaciones en N y Z ,




Si se recuerda que tex2html_wrap_inline1013 ,  se obtiene

displaymath925

es decir,

eqnarray645


Es decir, que cada paquete pesa exactamente tex2html_wrap_inline1015 de kilo, y por lo tanto, como cada kilo se debe vender a Bs. 1.500, cada paquete se debe vender a Bs. 375, pues tex2html_wrap_inline1021 .


Otros ejemplos de ecuaciones en las cuales aparecen números racionales, y sus soluciones, se muestran a continuación:

displaymath926

Como siempre, interesa despejar a la incógnita, es decir, tener una igualdad equivalente a la anterior, en la cual la "x'' esté sola de un lado de la igualdad. A diferencia del caso anterior, en el cual se tenía tex2html_wrap_inline1025 , la incógnita ahora está DENTRO de una fracción, es parte del numerador, y hay que proceder con cuidado.

En primer lugar, se multiplican ambos miembros por 2 para eliminar el 2 del denominador al lado izquierdo de la ecuación, y así se obtiene:
 

eqnarray667

Y ahora se tiene una ecuación más sencilla, en la cual se despeja la x de la manera usual:
eqnarray675
es conveniente comprobar que el valor obtenido para x es la solución de la ecuación planteada.


Para reflexionar:

¿Por qué sería incorrecto proceder de la siguiente manera?:

eqnarray686

es muy importante identificar el error cometido en los pasos seguidos arriba, para no cometerlo nunca.

Lo que ocurre en realidad, es que muchos estudiantes, cuando comienzan a estudiar ecuaciones, creen que las siguientes expresiones son iguales:

displaymath927
 

displaymath928

Esto NO es cierto. Si se quiere escribir una expresión igual a tex2html_wrap_inline1033 , debe recordarse que
displaymath929

se trata de una resta de fracciones con denominador común (en este caso 2), que se puede escribir de esas dos formas. Así, podría resolverse la ecuación planteada de esta manera:

eqnarray715


Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.

Se resolverán a continuación otras ecuaciones que exigen un conocimiento adecuado acerca de las operaciones en Q, para su apropiada resolución.

Como se ha visto antes, no hay una única vía correcta para resolver estas ecuaciones, pero sí una única solución correcta.


1)
displaymath1039

en primer lugar, se buscará sumar todos los términos de la ecuación que contienen a la incógnita, y para eso, se comienza por multiplicar ambos miembros de la ecuación por 3, para eliminar el denominador del lado izquierdo de la ecuación.

displaymath930


Esto equivale a

displaymath931

Pero  tex2html_wrap_inline1041 ,  y por lo tanto la ecuación se transforma en

displaymath932

Sumando ahora 6x en ambos miembros de la ecuación, se obtiene

displaymath933

es decir,

displaymath934

por lo tanto  

eqnarray761

Dividiendo ambos miembros entre 10,
eqnarray763
Simplificando, se obtiene
displaymath935

Para reflexionar: encuentra un error en la siguiente manera de resolver la ecuación anterior:

cuando se escribe que $\displaystyle \frac{4x+7}{3}+2x = 1$ es equivalente a $\displaystyle 
\frac{6x+7}{3}=1$ se comete un grave error porque

\begin{displaymath}
\frac{4x+7}{3}+2x = \frac{4x}{3}+\frac{7}{3}+2x =
\left(\frac{4}{3}+2\right)x+7 = \frac{10}{3}x+7
\end{displaymath}


2)

displaymath1045

Multiplicamos ambos miembros por 2:

en el lado derecho, se obtiene


displaymath936


pues tex2html_wrap_inline1047

Entonces la ecuación original se transforma en:
 

eqnarray782

Sumando 24x en ambos miembros se obtiene:
eqnarray784


simplificando la fracción del lado izquierdo de la ecuación, se obtiene:


displaymath937


 

3)
displaymath1051

Multiplicando por 3 en ambos miembros, se obtiene

displaymath938

Aplicando la distributividad en ambos miembros, resulta:

displaymath939

Restando 2x en ambos miembros, se obtiene:


displaymath940


es decir,

displaymath941

pues 3x-2x=x. Así, la solución es

displaymath942
  


Si no has acertado en tu respuesta, encuentra el error cometido y corrígelo. Esa es la mejor manera de aprender bien: corrigiendo nuestros propios errores.

Si has resuelto correctamente la ecuación, sigue adelante. Los próximos ejemplos te mostrarán situaciones nuevas, que también aprenderás a manejar, si lees con mucha atención.

 

4)
displaymath1057

en esta ecuación hay denominadores en ambos miembros de la igualdad, y se procederá a eliminarlos. Se puede comenzar por multiplicar a ambos miembros por 5:

displaymath943

y se obtiene

displaymath944


Ahora se multiplican ambos miembros por 4


displaymath945

y se obtiene  

eqnarray812


dividiendo ambos miembros entre 3, resulta:

displaymath946  

en las ecuaciones planteadas y resueltas hasta ahora no se han encontrado situaciones como la siguiente:

displaymath947

Pero en estos casos, simplemente se suman las dos fracciones con la incógnita del lado izquierdo de la ecuación, igual que se suman fracciones comunes. Sabiendo que el m.c.m.(2,3) es 6, se escribe:


eqnarray822


es fácil comprobar que x=6 es la solución de la ecuación tex2html_wrap_inline1063 .

se sustituye la x por 6:

eqnarray841


como esta igualdad es verdadera, la solución es, en efecto, 6.



 

Bibliografía:
García, V. ,Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1998), Matemáticas en contexto - segundo curso. México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.
Guelli, O. ( 1992). Contando a Historia da Matemática Sao Paulo: Edit. Atica.
 
Bibliografía recomendada
Paredes, B., Salcedo, A. (1997) .Matemáticas 7º. Caracas: Santillana.


 
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