Los métodos para resolver ecuaciones han variado a lo largo de la Historia. Particularmente interesante era el método que usaban los egipcios para resolver ecuaciones como la siguiente:

Una cantidad, su mitad, sus dos tercios, todos juntos son 26. Díganme: ¿cuál es la cantidad?

Usando los símbolos que actualmente se aprenden en la escuela, el problema se escribiría así:

La manera de resolverla, según los egipcios, era la siguiente:

Le daban un valor cualquiera a la x, un falso valor, por ejemplo, 18. Realizaban las operaciones que indicaba la ecuación con este valor:

El valor falso (18) y el resultado obtenido (39) se usaban ahora para establecer una regla de tres

y se obtenía  .

Puede comprobarse que el método funciona, independientemente del valor falso que se escoja para comenzar. Este método fue llamado "la Regla de la Falsa Posición". 

Hay una explicación (pero no sólo una) para el hecho de que la Regla de la Falsa Posición sea una vía para encontrar la solución de una ecuación como la anterior. En el tema de Proporciones se encuentra una clave para una posible explicación. También necesitas estudiar bien este tema completo para poder encontrarla. Intenta dar una explicación cuando finalices el estudio de este tema y el de Proporciones.

Después de haber aprendido a resolver ecuaciones con números enteros, se hace claro al observar algunas ecuaciones, que existe la necesidad de incluir los números racionales también en el trabajo matemático. Veamos un ejemplo:

A Tomás se le asigna la tarea de vender 6 paqueticos de uvas. Él sabe que cada kilogramo de uvas se debe vender a Bs. 1.500, pero no sabe cuánto pesa cada paquete. Otro dato que tiene Tomás es el siguiente: los 6 paquetes más  kilo de uvas pesan en total 2 kilos. ¿Qué hacer para ponerle el precio justo a cada paquete?

Primero que todo, se plantea la siguiente ecuación, la cual refleja la información que se tiene sobre el peso de 6 paquetes más  kilo de uvas: si se llama x a los kilos que pesa cada paquete, se escribe:

(En esta ecuación, los números expresan kilos, no bolívares).

Procediendo de manera similar a la utilizada para resolver ecuaciones en N y Z ,

Si se recuerda que  ,  se obtiene

es decir,

Otros ejemplos de ecuaciones en las cuales aparecen números racionales, y sus soluciones, se muestran a continuación:

Como siempre, interesa despejar a la incógnita, es decir, tener una igualdad equivalente a la anterior, en la cual la "x'' esté sola de un lado de la igualdad. A diferencia del caso anterior, en el cual se tenía  , la incógnita ahora está DENTRO de una fracción, es parte del numerador, y hay que proceder con cuidado.

En primer lugar, se multiplican ambos miembros por 2 para eliminar el 2 del denominador al lado izquierdo de la ecuación, y así se obtiene:
 

Para reflexionar:

¿Por qué sería incorrecto proceder de la siguiente manera?:

es muy importante identificar el error cometido en los pasos seguidos arriba, para no cometerlo nunca.

Lo que ocurre en realidad, es que muchos estudiantes, cuando comienzan a estudiar ecuaciones, creen que las siguientes expresiones son iguales:

Esto NO es cierto. Si se quiere escribir una expresión igual a  , debe recordarse que

se trata de una resta de fracciones con denominador común (en este caso 2), que se puede escribir de esas dos formas. Así, podría resolverse la ecuación planteada de esta manera:

Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.

Se resolverán a continuación otras ecuaciones que exigen un conocimiento adecuado acerca de las operaciones en Q, para su apropiada resolución.

Como se ha visto antes, no hay una única vía correcta para resolver estas ecuaciones, pero sí una única solución correcta.

1)

en primer lugar, se buscará sumar todos los términos de la ecuación que contienen a la incógnita, y para eso, se comienza por multiplicar ambos miembros de la ecuación por 3, para eliminar el denominador del lado izquierdo de la ecuación.

Esto equivale a

Pero  ,  y por lo tanto la ecuación se transforma en

Sumando ahora 6x en ambos miembros de la ecuación, se obtiene

es decir,

por lo tanto  

Para reflexionar: encuentra un error en la siguiente manera de resolver la ecuación anterior:

cuando se escribe que es equivalente a se comete un grave error porque

simplificando la fracción del lado izquierdo de la ecuación, se obtiene:

3)

Multiplicando por 3 en ambos miembros, se obtiene

Aplicando la distributividad en ambos miembros, resulta:

Restando 2x en ambos miembros, se obtiene:

es decir,

pues 3x-2x=x. Así, la solución es

Si no has acertado en tu respuesta, encuentra el error cometido y corrígelo. Esa es la mejor manera de aprender bien: corrigiendo nuestros propios errores.

Si has resuelto correctamente la ecuación, sigue adelante. Los próximos ejemplos te mostrarán situaciones nuevas, que también aprenderás a manejar, si lees con mucha atención.

dividiendo ambos miembros entre 3, resulta:

en las ecuaciones planteadas y resueltas hasta ahora no se han encontrado situaciones como la siguiente:

Pero en estos casos, simplemente se suman las dos fracciones con la incógnita del lado izquierdo de la ecuación, igual que se suman fracciones comunes. Sabiendo que el m.c.m.(2,3) es 6, se escribe:

es fácil comprobar que x=6 es la solución de la ecuación  .

se sustituye la x por 6: