Por ejemplo, los segmentos EG y FG guardan entre ellos la proporción áurea, porque 

Es decir:

En el lenguaje común se expresa la idea de proporción con cierta frecuencia. Por ejemplo:

1) "La proporción de agua requerida para la preparación de un jugo a partir de un concentrado está especificada en las instrucciones de preparación del producto''.

2) "La reacción de Carlitos ante mi crítica fue desproporcionada''.

3) "El diseño de este edificio guarda proporciones armoniosas''.

4) "El sueldo mensual de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja''.

En el ejemplo 1), se usa la palabra "proporción'' para señalar la cantidad de agua que debe usarse para diluir cada lata o cartón de jugo concentrado en la preparación de jugo para el consumo. Por ejemplo, en las instrucciones podría leerse: "Mezcle 4 vasos de agua por cada lata de jugo concentrado".

La idea de proporción, en este caso, se refiere a la relación que debe mantenerse entre la cantidad de jugo concentrado y la cantidad de agua que se usará para diluirlo. Se están comparando dos cantidades: la de jugo concentrado con la de agua necesaria para su preparación.

Si se desea preparar jugo con 2 latas de concentrado, ¿cuántos vasos de agua se usarían?

En el ejemplo 2), se está comparando una crítica a Carlitos con su reacción. Al decir que ésta fue "desproporcionada'', generalmente se quiere expresar que la reacción fue mucho más violenta que la crítica que la generó. De nuevo, se están comparando dos magnitudes o cantidades: la "cantidad'' de ira, violencia o severidad que hubo en la crítica, con la que hubo en la reacción.

En el ejemplo 3), se habla de "proporciones armoniosas'' en una edificación. Una vez más, la palabra "proporción'' se refiere aquí a una relación o comparación entre las medidas del edificio. Podría ser la relación entre la altura y el ancho de la fachada principal, entre la altura y el ancho de las ventanas, etc.

Es muy importante notar que una misma proporción puede darse entre las medidas de un rectángulo pequeño así como entre las medidas de otro mucho más grande. Así, por ejemplo, la proporción entre el lado menor y el lado mayor en los siguientes rectángulos es .

En el ejemplo 4), se dice que el sueldo de cada trabajador es proporcional al número de horas semanales que trabaja. Supongamos que un trabajador labora 20 horas semanales. ¿Qué dato sería necesario conocer para determinar el sueldo mensual del trabajador?

Se observa en los cuatro ejemplos anteriores que el significado de la palabra PROPORCIÓN tiene que ver con la comparación de dos cantidades.

Cuando se comparan dos cantidades, puede intentarse precisar qué tanto mayor es una que la otra diciendo, por ejemplo, que una de ellas es es el doble de la otra. En este caso, se está estableciendo una proporción entre las dos cantidades.

Por ejemplo, si se dice que un grupo de jóvenes hay tres veces más muchachas que muchachos, se está expresando la proporción entre muchachas y muchachos que hay.

Si en ese grupo hay 14 varones, entonces habrá el triple de chicas, es decir, el número de chicas es: 

Si en otro grupo de jóvenes hay 5 varones y la proporción es la misma que antes, se concluye que hay muchachas.

Se tienen entonces, dos grupos distintos de jóvenes, con distinto número de personas, pero ambos con la misma proporción entre chicos y chicas. Esa proporción se expresa mediante la fracción 

como se ha dicho que por cada chico habrá 3 chicas, con el número 1 del numerador se está expresando la cantidad de muchachos, y con el 3 del denominador, la cantidad de muchachas que habrá por la cantidad de chicos en el numerador. Esto se escribe así porque se habló de proporción entre chicos y chicas (al nombrar primero a los varones, el número que corresponde a estos va en el numerador).

Para cada uno de los grupos mencionados arriba, se escribirá en una fracción las cantidades de chicos y chicas en el numerador y el denominador respectivamente:

Primer grupo:

Segundo grupo:

Obsérvese ahora que

y

es decir, son fracciones equivalentes.

Otro ejemplo:

para preparar una cierta masa, se sabe que la proporción entre agua y harina (atención al orden en que se nombran) es de . Eso significa que para cada 5 tazas de harina deben agregarse 2 tazas de agua. Si se quiere preparar masa con otra medida, por ejemplo, con cucharadas, también debe mantenerse la proporción de 2 cucharadas de agua por cada 5 cucharadas de harina.

Si se quiere preparar masa con 15 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua habrá que agregar?

Usando el método del planteamiento de la ecuación, se obtiene: 

como en la fracción el numerador representa la cantidad de agua y el denominador, la cantidad de harina, de la misma manera debe ubicarse en , el denominador 15, que es la cantidad de harina, y el numerador x, que es la cantidad de agua que se quiere determinar.

Resolviendo,

se necesitan 6 tazas de agua para amasar 15 tazas de harina, manteniendo la proporción dada.

Usando la Regla de Tres: 

Ahora, se resuelve: 

Puede verse ahora que la "Regla de Tres" no es más que una manera de resolver ecuaciones surgidas de problemas relativos a PROPORCIONES.

Si has acertado en tus respuestas, continúa tu lectura. Si no, revisa de nuevo los razonamientos empleados por ti para que detectes el error cometido. Puede ser necesario que leas de nuevo las ideas básicas en torno a proporciones, que han sido expuestas hasta aquí.

En algunos casos se da la proporción de una PARTE en relación a la TOTALIDAD. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, la proporción entre vinagre y agua es de , se tiene que:

Esta es, entonces, otra manera de resolver la ecuación original, que también es correcta.

Se resolverán a continuación otras ecuaciones que exigen un conocimiento adecuado acerca de las operaciones en Q, para su apropiada resolución.

Como se ha visto antes, no hay una única vía correcta para resolver estas ecuaciones, pero sí una única solución correcta.