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Números decimales

En el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo:

displaymath446

Naturalmente, para sumar las fracciones anteriores basta con tomar
10.000 como denominador común y se obtiene 

displaymath447


Este tipo de fracción se llama fracción decimal.

Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía


tex2html_wrap_inline506
como
tex2html_wrap_inline508
como
tex2html_wrap_inline510
tex2html_wrap_inline512
como
tex2html_wrap_inline514

Al sumar estos números, obtenía 

displaymath448


Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra manera de escribir las fracciones decimales.

Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera: 

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Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

displaymath450

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displaymath452

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales.

 

Sabiendo que el origen de la escritura de los números decimales está vinculado a la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal.

La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones, pues al escribir, por ejemplo, tex2html_wrap_inline516 en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en realidad esta operación requiere sólo que se multipliquen los números enteros
displaymath453

y luego se le coloca la coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la derecha de la coma, y se escribe entonces 

displaymath454

Es importante saber que, en los tiempos en que esta idea surgió, no existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los científicos en la realización de cálculos complicados. En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo, los cálculos complicados requerían de mucha precisión.

Los números decimales se usaron finalmente, no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general.

Por ejemplo, sabemos que tex2html_wrap_inline520 , lo cual se puede obtener escribiendo tex2html_wrap_inline522 como fracción decimal, de la siguiente manera:

se multiplican numerador y denominador por 5, en este caso, pues se sabe que tex2html_wrap_inline524 y esa operación permitirá encontrar la fracción equivalente a tex2html_wrap_inline522 que tiene denominador igual a 10:
displaymath455

Otra manera de obtener esto, es la siguiente: 

displaymath456

La serie de operaciones mostradas equivale a la división tex2html_wrap_inline528 , que se realiza multiplicando el dividendo por 10, por ser menor éste que el divisor: 

displaymath457

El paso final de colocar la coma en el sitio correcto equivale a la multiplicación por tex2html_wrap_inline530 , en este caso:
displaymath458

De esta manera, es posible encontrar la expresión decimal que corresponde a una fracción cualquiera.

Si la fracción es impropia, se realiza la división del numerador entre el denominador, de la manera usual, y se obtiene la expresión decimal de la fracción.


Por ejemplo: 

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Ocurre con algunas fracciones algo curioso: cuando se realiza la división del numerador entre el denominador, se obtienen cifras decimales que se repiten indefinidamente, como en el caso de tex2html_wrap_inline532 .

al efectuar la división, en cada paso se obtiene resto igual a 2 y así, la expresión decimal en cuestión es: 

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Los puntos suspensivos indican que la sucesión de 6 ¡no tiene fin!

Esta expresión se llama expresión decimal periódica y también se escribe así: 

displaymath461

El número que se repite, en este caso, el 6, es llamado el período de la expresión decimal.

En algunos casos, el período tiene más de una cifra, por ejemplo: 

displaymath462
Ciertamente, es interesante la existencia de estas expresiones decimales para números cuya expresión fraccionaria es tan sencilla como tex2html_wrap_inline538 .

El período de la expresión decimal periódica de tex2html_wrap_inline538 es 142857.

Hay casos en los que la expresión decimal periódica tiene esta forma: 

displaymath463

en este ejemplo, el período comienza después de las cifras decimales: 01. Estas dos cifras constituyen el anteperíodo de la expresión decimal.

Como se ha visto, toda fracción se puede expresar como número decimal, bien sea con una cantidad finita, limitada, de cifras decimales, o bien con una cierta cantidad de cifras decimales que se repiten de manera periódica infinitas veces.

Se verá a continuación cómo se logra expresar como fracción, un número que está escrito en su expresión decimal, bien sea con un número finito de cifras decimales, o por un período.

Podría el lector preguntarse si existe la posibilidad de que un número, en su expresión decimal, tenga una cantidad infinita de cifras decimales no periódicas, es decir, que las cifras no se repitan con ningún patrón y que sea ilimitado su número.

La respuesta es que tales números sí existen y son llamados irracionales.




Es muy importante saber reconocer, entre dos números decimales, cuál es mayor.

Por ejemplo, entre 5,9 y 6,1, sabemos reconocer a 6,1 como el mayor de los dos, porque la parte entera de 6,1 es 6, que es mayor que 5, y no importa que la parte decimal de 6,1 sea 1, mientras que la de 5,9 es 9, que es mayor que 1. Así,

$6,1>5,9$


En el lenguaje común se expresa la idea de proporción con cierta frecuencia.



Fracción Generatriz.

Si bien algunas expresiones decimales, como 0,25, pueden expresarse como fracción fácilmente, simplemente escribiendo tex2html_wrap_inline546 (en el denominador se escribe tex2html_wrap_inline548 porque hay dos cifras decimales en la expresión decimal 0,25), hay otras que a primera vista parecen tener dificultades mayores, como por ejemplo:

tex2html_wrap_inline550

Realmente no es tan difícil llevar esta expresión decimal a su expresión fraccionaria, llamada "la fracción generatriz'' del número decimal en cuestión.

La manera de encontrar esta fracción generatriz es la siguiente:

Se multiplica la expresión decimal periódica tex2html_wrap_inline552 por tex2html_wrap_inline554, escogiéndose la potencia 3 porque el período tiene 3 cifras. Si se llama x a la fracción generatriz, se tiene que
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ya que
tex2html_wrap_inline562
Restando x a 1.000x se obtiene
displaymath465
Pero, por otro lado,
displaymath466
por lo tanto, 
displaymath467
y
displaymath468
Simplificando, se obtiene tex2html_wrap_inline572 como la fracción generatriz de tex2html_wrap_inline552 .

Las expresiones decimales periódicas con anteperíodo, como por ejemplo: 

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también pueden llevarse a su forma fraccionaria. Para encontrar la fracción generatriz de esta expresión decimal, se comienza por multiplicarla por 10: 

displaymath470

De esta manera, se obtiene una expresión decimal periódica cuyo período comienza después de la coma, es decir, se elimina el anteperíodo.

De nuevo, se llama x a la fracción generatriz, que, en definitiva, es el mismo número 

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Así,
displaymath472
ahora, 

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restando ahora 1000x-10x se obtiene 

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es decir, 1000x-10x=2982, luego 990x=2982 y

displaymath475



Si has acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has hecho un buen progreso en tu camino a través del mundo de los números. Si has cometido algunos errores, asegúrate de comprender la causa de los mismos, para no cometerlos nuevamente en el futuro.

 

Bibliografía:

Guelli, O. (1992). Contando a Historia da Matemática. Sao Paulo: Editora Atica.


 
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