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El más notable hombre de Ciencia de la antigüedad
griega fue sin duda Arquímedes, quien nació en
Siracusa, Sicilia, en el año 287 a.C. Además de
sus contribuciones geniales a la Matemática y la Física
de su época, diseñó maquinaria de guerra
totalmente original que permitió a su ciudad natal resistir
por dos años los ataques de los romanos, quienes por
vía marítima, mantenían un cerco a la ciudad.
Espejos que, a distancia, hacían prender fuego a los
navíos romanos, catapultas de increíble precisión,
y muchas otras ingeniosas armas de gran originalidad impresionaron
al general romano Marcelo, quien tenía a su cargo los
ataques contra Siracusa. |
Arquímedes
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Aún hoy los hombres y mujeres de Ciencia se asombran
al estudiar los trabajos científicos de Arquímedes.
Todos los cálculos fueron realizados por él
con gran precisión, en una época en que el sistema
decimal de numeración no existía. En aquel entonces,
en Grecia los números eran representados por letras.
Cada letra del alfabeto griego representaba un número.
Al igual que el sistema de numeración romano, el sistema
de los griegos ofrecía dificultades para los cálculos
con números grandes.
Los contemporáneos de Arquímedes pensaban que
el número de elementos de un conjunto sólo podía
ser expresado hasta un cierto límite.
A partir de allí, las cantidades eran consideradas
"no calculables''.
Pero Arquímedes se propuso demostrar que, toda cantidad,
por muy grande que fuese, podía ser calculada. Con
ese fin, escribió un libro llamado Psammit, que significa
"computador de arena''. En él, responde a la pregunta
siguiente: ¿Cuántos granos de arena son necesarios
para llenar todo el Universo?
Para hacer sus cálculos, Arquímedes creó
un sistema de numeración apropiado para hacer operaciones
con números muy grandes.
Llamó a  una miríada, y a  , una miríada de miríadas.
Los números eran agrupados, en el sistema de Arquímedes,
en intervalos (llamados octavas) de en , de la siguiente manera:
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y
así sucesivamente.
Arquímedes tomó como ciertas las ideas que tenía
el astrónomo Aristarco de Samos sobre el Universo.
De acuerdo a esta concepción del Universo, éste
era una esfera, en cuyo centro estaba el Sol, y la Tierra
giraba en torno al Sol. El radio del Universo sería
la distancia entre el Sol y las estrellas inmóviles.
Después de una serie de cálculos complicados,
Arquímedes llega a la conclusión de que en el
Universo caben aproximadamente  granos de arena. En palabras, ese
número era expresado así: "mil miríadas
de números octavos''. Los "números octavos''
eran aquellos que pertenecían a la 8va octava, es decir,
que estaban entre  y  . Tomando el más pequeño
de los "números octavos'', que es , se tiene
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De manera que mil miríadas de números octavos
sería:
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Galaxia
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Para
los científicos que se ocupan de estudiar
fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes,
como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy
útil la potenciación, porque les permite trabajar
y operar con números muy grandes con cierta facilidad.
La distancia que nos separa de la nebulosa de
Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a:
 Kms
la cual se puede escribir también como  , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún,
este número se puede escribir como  ó  ó  .
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Todas
estas expresiones representan la misma cantidad, y la llamada Notación
Científica es aquella que escoge la expresión , por la razón siguiente: el número que multiplica
a la potencia de 10 es un número entre 1 y 10.
Para obtener esta expresión a partir del número original
que es:
se coloca una marca entre el 9 y el 5
y luego se cuentan los dígitos a la derecha del 9. En este
caso, son 19, y esto significa que si se multiplica a 9,5 por  se obtiene exactamente el número dado.
Otro ejemplo:
La masa del Sol en kilogramos es:
para expresar este número en notación científica,
basta con contar los dígitos que hay a la derecha del 1,
que son 30 en total, y se escribe:
El número de moléculas en 22,4 litros de un gas es:
es decir,  . |
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| Claramente,
la notación científica permite, al menos, escribir
de manera más breve los números muy grandes. A continuación
se realizarán algunas operaciones con números en notación
científica para mostrar que también los cálculos
con números muy grandes se facilitan al usar esta notación.
Si se quieren multiplicar los siguientes números, por ejemplo:
se usan las propiedades asociativa y conmutativa del producto, para
escribir, equivalentemente,
se multiplica, por un lado  y por otro, al
multiplicar  se obtiene  , usando las propiedades de la
potenciación.
Finalmente, se obtiene  .
Si se realiza una división, por ejemplo:
Puede escribirse la operación indicada como una expresión
fraccionaria:
y esto es igual a 
Por lo tanto, el resultado de la operación planteada es  .
Esto es más sencillo que operar directamente con los números:
Si se trata de sumas y restas de números en notación
científica, debe primero observarse si los exponentes de
10 que intervienen en los números en cuestión son
números cercanos o no. Por ejemplo, si se quiere sumar:
hay que observar que el segundo sumando es mínimo en comparación
con el primero, y en ese caso se considera despreciable esa cantidad;
y la suma resulta, de manera aproximada, igual al primer sumando:
Si se trata de la suma de dos números escritos en notación
científica, como los siguientes:
(Obsérvese que los exponentes, 28 y 26 son números
cercanos).
se escribe, entonces:
Ahora se suman, usando la propiedad distributiva de la suma con
respecto al producto:
se regresa a la notación científica:
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Si
has realizado estas operaciones correctamente, has comprendido lo
necesario para hacer cálculos en notación científica
adecuadamente.
Si has cometido errores, regresa a la lectura del texto anterior
y asegúrate de comprender bien cada línea leída.
Ésta es una clave para la excelencia en Matemáticas:
comprender a cabalidad cada detalle leído.
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Orden
de magnitud
Como se acaba de ver, es útil,
a la hora de realizar operaciones con números en notación
científica, observar el exponente de 10, esto es, tener claro
qué tan grande es un número en relación a otro
con el que se deba operar. Esto es lo que se denomina determinar
el orden de magnitud de un número expresado en notación
científica.
Por ejemplo, el orden de magnitud
de 4.500.000.000 es  , porque es un número que está entre  y . En efecto,
Si se escribe en notación
científica, el número en cuestión es  .
en general, el orden de magnitud
de un número escrito en notación científica
es igual a  . |
Otros ejemplos:
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La
distancia entre el Sol y la Tierra es de
en notación científica, esto es  m., y el orden de magnitud de este número es  . |
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La
distancia aproximada de Plutón al Sol es de 5.910.000.000
Km., es decir,  km. El
orden de magnitud de este número es . |
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Los
astrónomos usan el término "año-luz''
para representar la distancia recorrida por la luz en 1 año.
La velocidad de la luz es de  km/seg. para calcular,
en kilómetros, la distancia que representa un año-luz,
hay que conocer la cantidad aproximada de segundos que tiene
1 año. Sabiendo que esta cantidad es  , en un año la luz recorre:
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Notación
científica para números extremadamente pequeños.
Así
como los científicos usan números gigantescos, también
utilizan números muy pequeños, como el que representa
la masa de un protón, una de las partículas del
átomo:
como las potencias
con exponente negativo representan inversos de potencias positivas,
es decir, por ejemplo:
y el inverso
de  es un número muy pequeño,
son las potencias con exponente negativo precisamente las que
permiten expresar números como la masa de un protón
de manera más breve:
El exponente
-24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que
tiene el número en cuestión hasta llegar al primer
dígito distinto de cero (contando este dígito).
La carga de
un electrón es
en notación
científica:  Coulomb.
A continuación
se realizarán algunas operaciones usando notación
científica para números muy pequeños.
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Lo único que se ha utilizado son las propiedades conmutativa
y asociativa de la multiplicación, así como las propiedades
de la potenciación.
Para realizar
la siguiente división:
se puede escribir
así:
 , y
por lo tanto,
el resultado es  . ¡Un número
extremadamente grande!
Este resultado
podría parecer extraño: al dividir un número
muy pequeño entre otro más pequeño aún,
se obtiene un número muy grande.
Sin embargo,
no es tan extraño como parece. Más bien es lógico:
Si se comparan
las fracciones
Si n < m,
se sabe que 
Así, en
una división, mientras más pequeño sea el divisor,
más grande será el cociente.
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Guelli, O. (1992). contando a História da Matemática.
Sao Paulo: Editora Ática.
Perero, M. (1994). Historia e historias de Matemáticas. México,
D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.
Salcedo A., Paredes B. (1997). Matemática  . Caracas: Santillana S.A.
Fuentes de fotografias
http://www.enciclonet.hpg.ig.com.br/listas/biografias1.htm
http://www.imago.cl/proyecto/img/galaxia.jpg
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