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Notación Científica


El más notable hombre de Ciencia de la antigüedad griega fue sin duda Arquímedes, quien nació en Siracusa, Sicilia, en el año 287 a.C. Además de sus contribuciones geniales a la Matemática y la Física de su época, diseñó maquinaria de guerra totalmente original que permitió a su ciudad natal resistir por dos años los ataques de los romanos, quienes por vía marítima, mantenían un cerco a la ciudad. Espejos que, a distancia, hacían prender fuego a los navíos romanos, catapultas de increíble precisión, y muchas otras ingeniosas armas de gran originalidad impresionaron al general romano Marcelo, quien tenía a su cargo los ataques contra Siracusa.

Arquímedes


Aún hoy los hombres y mujeres de Ciencia se asombran al estudiar los trabajos científicos de Arquímedes. Todos los cálculos fueron realizados por él con gran precisión, en una época en que el sistema decimal de numeración no existía. En aquel entonces, en Grecia los números eran representados por letras.

Cada letra del alfabeto griego representaba un número. Al igual que el sistema de numeración romano, el sistema de los griegos ofrecía dificultades para los cálculos con números grandes.

Los contemporáneos de Arquímedes pensaban que el número de elementos de un conjunto sólo podía ser expresado hasta un cierto límite.

A partir de allí, las cantidades eran consideradas "no calculables''.

Pero Arquímedes se propuso demostrar que, toda cantidad, por muy grande que fuese, podía ser calculada. Con ese fin, escribió un libro llamado Psammit, que significa "computador de arena''. En él, responde a la pregunta siguiente: ¿Cuántos granos de arena son necesarios para llenar todo el Universo?

Para hacer sus cálculos, Arquímedes creó un sistema de numeración apropiado para hacer operaciones con números muy grandes.

Llamó a tex2html_wrap_inline556 una miríada, y a tex2html_wrap_inline558 , una miríada de miríadas.

Los números eran agrupados, en el sistema de Arquímedes, en intervalos (llamados octavas) de tex2html_wrap_inline558 en tex2html_wrap_inline558 , de la siguiente manera:

tabular97

y así sucesivamente.

Arquímedes tomó como ciertas las ideas que tenía el astrónomo Aristarco de Samos sobre el Universo. De acuerdo a esta concepción del Universo, éste era una esfera, en cuyo centro estaba el Sol, y la Tierra giraba en torno al Sol. El radio del Universo sería la distancia entre el Sol y las estrellas inmóviles.

Después de una serie de cálculos complicados, Arquímedes llega a la conclusión de que en el Universo caben aproximadamente tex2html_wrap_inline574 granos de arena. En palabras, ese número era expresado así: "mil miríadas de números octavos''. Los "números octavos'' eran aquellos que pertenecían a la 8va octava, es decir, que estaban entre tex2html_wrap_inline576 y tex2html_wrap_inline578. Tomando el más pequeño de los "números octavos'', que es tex2html_wrap_inline576 , se tiene

eqnarray129


De manera que mil miríadas de números octavos sería:

displaymath496


Galaxia

Para los científicos que se ocupan de estudiar
fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes,
como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y operar con números muy grandes con cierta facilidad.
La distancia que nos separa de la nebulosa de
Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a:

displaymath497 Kms

la cual se puede escribir también como tex2html_wrap_inline582 , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir como tex2html_wrap_inline584 ó tex2html_wrap_inline586 ó tex2html_wrap_inline588 .

Todas estas expresiones representan la misma cantidad, y la llamada Notación Científica es aquella que escoge la expresión tex2html_wrap_inline586, por la razón siguiente: el número que multiplica a la potencia de 10 es un número entre 1 y 10.

Para obtener esta expresión a partir del número original que es: 

displaymath497

se coloca una marca entre el 9 y el 5

displaymath499

y luego se cuentan los dígitos a la derecha del 9. En este caso, son 19, y esto significa que si se multiplica a 9,5 por tex2html_wrap_inline594 se obtiene exactamente el número dado.

Otro ejemplo:

La masa del Sol en kilogramos es:

displaymath500

para expresar este número en notación científica, basta con contar los dígitos que hay a la derecha del 1, que son 30 en total, y se escribe:

displaymath501

El número de moléculas en 22,4 litros de un gas es:

displaymath502

es decir, tex2html_wrap_inline596 .




Claramente, la notación científica permite, al menos, escribir de manera más breve los números muy grandes. A continuación se realizarán algunas operaciones con números en notación científica para mostrar que también los cálculos con números muy grandes se facilitan al usar esta notación.

Si se quieren multiplicar los siguientes números, por ejemplo:

displaymath503

se usan las propiedades asociativa y conmutativa del producto, para escribir, equivalentemente,

displaymath504

se multiplica, por un lado tex2html_wrap_inline598 y por otro, al multiplicar tex2html_wrap_inline600 se obtiene tex2html_wrap_inline602, usando las propiedades de la potenciación.

Finalmente, se obtiene tex2html_wrap_inline604 .

Si se realiza una división, por ejemplo:

displaymath505

Puede escribirse la operación indicada como una expresión fraccionaria:

displaymath506

y esto es igual a tex2html_wrap_inline606
displaymath507

Por lo tanto, el resultado de la operación planteada es tex2html_wrap_inline608 .

Esto es más sencillo que operar directamente con los números:

displaymath508

Si se trata de sumas y restas de números en notación científica, debe primero observarse si los exponentes de 10 que intervienen en los números en cuestión son números cercanos o no. Por ejemplo, si se quiere sumar:

displaymath509

hay que observar que el segundo sumando es mínimo en comparación con el primero, y en ese caso se considera despreciable esa cantidad; y la suma resulta, de manera aproximada, igual al primer sumando: 

displaymath510

Si se trata de la suma de dos números escritos en notación científica, como los siguientes:

displaymath511

(Obsérvese que los exponentes, 28 y 26 son números cercanos).

se escribe, entonces: 

displaymath512

Ahora se suman, usando la propiedad distributiva de la suma con respecto al producto: 

displaymath513

se regresa a la notación científica:

displaymath514


Si has realizado estas operaciones correctamente, has comprendido lo necesario para hacer cálculos en notación científica adecuadamente.

Si has cometido errores, regresa a la lectura del texto anterior y asegúrate de comprender bien cada línea leída. Ésta es una clave para la excelencia en Matemáticas: comprender a cabalidad cada detalle leído.

Orden de magnitud

Como se acaba de ver, es útil, a la hora de realizar operaciones con números en notación científica, observar el exponente de 10, esto es, tener claro qué tan grande es un número en relación a otro con el que se deba operar. Esto es lo que se denomina determinar el orden de magnitud de un número expresado en notación científica.

Por ejemplo, el orden de magnitud de 4.500.000.000 es tex2html_wrap_inline612, porque es un número que está entre tex2html_wrap_inline614 y tex2html_wrap_inline612. En efecto,

displaymath515

Si se escribe en notación científica, el número en cuestión es tex2html_wrap_inline618 .

en general, el orden de magnitud de un número escrito en notación científica 

displaymath620

es igual a tex2html_wrap_inline622 .


Otros ejemplos:

La distancia entre el Sol y la Tierra es de

displaymath516

en notación científica, esto es tex2html_wrap_inline624 m., y el orden de magnitud de este número es tex2html_wrap_inline626.

 

La distancia aproximada de Plutón al Sol es de 5.910.000.000 Km., es decir, tex2html_wrap_inline630 km. El orden de magnitud de este número es tex2html_wrap_inline612 .


Los astrónomos usan el término "año-luz'' para representar la distancia recorrida por la luz en 1 año.

La velocidad de la luz es de tex2html_wrap_inline634 km/seg. para calcular, en kilómetros, la distancia que representa un año-luz, hay que conocer la cantidad aproximada de segundos que tiene 1 año. Sabiendo que esta cantidad es tex2html_wrap_inline636, en un año la luz recorre:

displaymath517


Notación científica para números extremadamente pequeños.

Así como los científicos usan números gigantescos, también utilizan números muy pequeños, como el que representa la masa de un protón, una de las partículas del átomo: 

displaymath518

como las potencias con exponente negativo representan inversos de potencias positivas, es decir, por ejemplo: 

displaymath519

y el inverso de tex2html_wrap_inline638 es un número muy pequeño, son las potencias con exponente negativo precisamente las que permiten expresar números como la masa de un protón de manera más breve: 

displaymath520

El exponente -24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito).

La carga de un electrón es 

displaymath521

en notación científica: tex2html_wrap_inline642 Coulomb.

A continuación se realizarán algunas operaciones usando notación científica para números muy pequeños. 



Lo único que se ha utilizado son las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación, así como las propiedades de la potenciación.

Para realizar la siguiente división: 

displaymath522

se puede escribir así: 

displaymath523

tex2html_wrap_inline644,  y 

displaymath524

por lo tanto, el resultado es tex2html_wrap_inline646. ¡Un número extremadamente grande!

Este resultado podría parecer extraño: al dividir un número muy pequeño entre otro más pequeño aún, se obtiene un número muy grande.

Sin embargo, no es tan extraño como parece. Más bien es lógico:

Si se comparan las fracciones 

displaymath525

Si n < m, se sabe que tex2html_wrap_inline650

Así, en una división, mientras más pequeño sea el divisor, más grande será el cociente.

 

 

Bibliografía:

Guelli, O. (1992). contando a História da Matemática. Sao Paulo: Editora Ática.
Perero, M. (1994). Historia e historias de Matemáticas. México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.
Salcedo A., Paredes B. (1997). Matemática tex2html_wrap_inline712 . Caracas: Santillana S.A.

Fuentes de fotografias
http://www.enciclonet.hpg.ig.com.br/listas/biografias1.htm
http://www.imago.cl/proyecto/img/galaxia.jpg

 
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