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Potenciación en N


Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por ejemplo,
, hay otra manera de expresar ese producto: 

Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".

La costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la razón por la cual se dice así, tiene que ver con la geometría.

Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades, su área es :  


El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.

En los tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las ideas matemáticas eran estudiadas a través de la Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una representación geométrica de algo tan sencillo como el producto de dos números, digamos, tex2html_wrap581 , lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados tex2html_wrap582tex2html_wrap583 , y así, veían el producto tex2html_wrap581 como el área del rectángulo que acababan de dibujar.

De la misma manera, el producto tex2html_wrap585 era visto como el área de un cuadrado de lado tex2html_wrap582 , y esta manera de ver las cosas  continuó  por mucho tiempo, de manera que el número tex2html_wrap587 , se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al cuadrado".

También se tiene que tex2html_wrap588 , que es igual a tex2html_wrap589 , se lee: "2 al cubo", y la razón para esto proviene también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a la Geometría.

Si tenemos un cubo de arista 2:


su volumen es igual a tex2html_wrap590 . Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2 elevado al cubo''.


El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad de veces, se llama potenciación.

En el caso de tex2html_wrap580, se tiene que tex2html_wrap592 es llamado la BASE, y es el número que se multiplica por sí mismo.

tex2html_wrap593 es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a la base por sí misma.

Debe observarse con cuidado que :
 
displaymath746
pues

tex2html_wrap594tex2html_wrap595

La potenciación tiene unas propiedades muy importantes que se estudiarán a continuación.


Propiedad 1

Si se multiplican dos potencias con igual base, como por ejemplo: 

se está realizando lo siguiente:  


Como el producto es asociativo, esto se puede expresar así:  

y esto es igual a   Por eso, se puede decir que

displaymath751



Propiedad 2

La segunda propiedad se refiere a la potencia de una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:  

Según la primera propiedad ya vista,  

displaymath753

En resumen,  

Propiedad 3

Al realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:  

displaymath758

se tiene que la última igualdad es cierta porque el producto es conmutativo y asociativo, y finalmente  

displaymath759

De manera que se tiene:  

Propiedad 4

La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy importante:

Todo número elevado al exponente tex2html_wrap599 es igual a tex2html_wrap600 . Por ejemplo:  

displaymath762

No importa cuál sea la base, si el exponente es tex2html_wrap599 , se obtiene tex2html_wrap600 como resultado.

La razón es muy sencilla: si debe cumplirse
siempre la propiedad 1, entonces , por ejemplo:  
displaymath763

Es decir, multiplicar a tex2html_wrap580 por tex2html_wrap604 es lo mismo que multiplicarlo por tex2html_wrap600 , porque al final se obtiene como resultado el mismo número tex2html_wrap580 . Eso quiere decir que tex2html_wrap607 .


Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.  

En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la potenciación que permita escribir este producto de potencias de otra manera que facilite el cálculo.

Sin embargo, hay casos de multiplicación de potencias de distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el siguiente:  

displaymath765

Aún siendo distintas las bases, una de ellas es potencia de la otra (tex2html_wrap614 ), entonces la expresión sí se puede escribir de una manera más sencilla, utilizando las propiedades de la potenciación:  

Ahora te invitamos a que tomes una hoja de papel y escribas las siguientes expresiones de manera distinta a la dada, usando las propiedades de la potenciación estudiadas hasta ahora:

tex2html_wrap615 tex2html_wrap616

tex2html_wrap617 tex2html_wrap618

tex2html_wrap619 tex2html_wrap620

 

Se han visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está siempre multiplicando.

En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:

Si se quieren sumar dos potencias de igual base: displaymath767

Se observa que esta operación indica lo siguiente:

Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas. De manera que la expresión más sencilla para la operación anterior es

tal como se escribió al principio.

Otro caso en el que debe tenerse cuidado es en la suma de potencias como las siguientes:


displaymath770          displaymath771

Es muy importante convencerse para siempre de que

displaymath772

La manera más segura de convencerse es calculando ambas operaciones:

displaymath773

Por otro lado
displaymath774

Es evidente, entonces, que tex2html_wrap621, pues tex2html_wrap622 .

Un argumento geométrico útil para convencerse de que displaymath775
es el siguiente:


Se tiene un cuadrado de lado 3 y un cuadrado de lado 7.

Se suman sus áreas

Esta suma es igual a  tex2html_wrap623 .

Ahora, a esta figura se le añade lo que hace falta para obtener un cuadrado de lado tex2html_wrap624 , de la siguiente manera:

¿Qué se obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado tex2html_wrap625 y su área, como se sabe , es igual a tex2html_wrap626.

Se han tenido que añadir rectángulos a la figura original, cuya área es tex2html_wrap623, para obtener un área igual a tex2html_wrap628, y eso asegura que estas dos cantidades no son iguales.

La potenciación y sus propiedades tienen gran importancia en las Matemáticas. Hay una leyenda muy interesante acerca del inventor del ajedrez que muestra lo inmensa que puede ser una cantidad obtenida a través de la potenciación. (Debes leer la leyenda antes de continuar Ver leyenda)



Para reflexionar:

¿Podrías terminar de llenar el tablero usando sólo números que son potencia de 2? Explica.

El número de granos requeridos por Sessa es igual a la suma de todos los números que aparecen en el tablero que acabas de llenar.

Veamos ahora cómo podemos calcular la suma de todos los números del tablero de ajedrez.

Según lo que hemos visto hasta ahora, podemos escribir:  

displaymath776

Los puntos suspensivos significan que se seguirán sumando todas las demás potencias de 2, hasta llegar a tex2html_wrap633 .

¿Sabes por qué la igualdad anterior es cierta?

Si no puedes responder alguna de las preguntas anteriores regresa al tablero que llenaste y lee de nuevo cuidadosamente lo que hemos observado después. Es importante tener claro lo hecho hasta aquí para comprender con facilidad lo que sigue.

Ahora podemos calcular la suma de los números del tablero. Como:

displaymath777

Y la cantidad que está dentro del paréntesis es exactamente la suma de los números del tablero, eso quiere decir que: tex2html_wrap577 es el número siguiente a  tex2html_wrap635

Por lo tanto, el número de granos que Sessa le pidió al Rey es igual a:

displaymath778

Para calcular tex2html_wrap577 , usaremos las propiedades de la potenciación.

En primer lugar,

tex2html_wrap637

¿Por qué? Además, usando la misma propiedad de nuevo tenemos:


displaymath779


Por lo tanto:

displaymath780

Calcula ahora tex2html_wrap638 sin utilizar la calculadora, pero usando la propiedad que usamos ya dos veces.
Comprueba ahora que:

displaymath781


Explica cómo se calculó la potencia tex2html_wrap577 y señala por qué aparecieron los factores del lado derecho de la igualdad anterior.

En definitiva, para ahorrarte este cálculo final, que es realmente largo, te diremos que:


displaymath782

Por lo tanto, la cantidad de granos de trigo que pidió Sessa al Rey es:


displaymath783

 
 
 

Bibliografía utilizada:
Guelli, O., Contando a Historia da Matematica. 1992, Editorial Atica.

Bibliografía recomendada:
Paredes, B. y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.
Direcciones web recomendadas:
http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/


 
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