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Radicación


La visión del Universo que tenían el gran sabio griego Pitágoras de Samos y sus discípulos, los llamados pitagóricos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del número. Decían que el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía.

Un descubrimiento hecho por los mismos pitagóricos demostró que esta afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de un número que no era natural y tampoco se podía expresar como fracción alguna.

Todo comenzó con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama Teorema a toda afirmación matemática importante que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo, el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos.




Se sabe que tex2html_wrap_inline1145 es igual al área del cuadrado cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área del cuadrado cuyo lado es c.

En todos los triángulos rectángulos quizás el de apariencia más sencilla fue el que produjo entre los pitagóricos la gran conmoción de presentar la existencia de una medida que no era expresable como un número natural ni como una fracción.

El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue el que originó el derrumbe de toda una teoría filosófica.

El triángulo en cuestión es el de la derecha.



El Teorema de Pitágoras asegura que tex2html_wrap_inline1157 .

Usando un método muy sencillo, los pitagóricos intentaron encontrar números naturales m,n tales que tex2html_wrap_inline1161 , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente:

se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud u)

Se intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor que u:




En vista de que había un segmento sobrante, se escogía una medida para el segmento que fuera la mitad de la medida anterior, con la esperanza de que no hubiera ningún segmento sobrante en la hipotenusa. Pero no funcionaba (ver imagen de la izquierda)


Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta de veces tanto en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13 veces en la hipotenusa y 8 veces en los catetos, se tendría que la hipotenusa medía tex2html_wrap_inline1171 , pues la proporción entre hipotenusa y cateto, que era tex2html_wrap_inline1173 , también era igual a tex2html_wrap_inline1171 y así obtendrían tex2html_wrap_inline1177 .

Pero no obtuvieron jamás una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en ambos lados del triángulo. Surgió así el primer número irracional, aquel cuyo cuadrado es igual a 2. Casi 2000 años después se le dioel nombre de "raíz cuadrada de dos'' y se creó el símbolo tex2html_wrap_inline1179 para representar las raíces cuadradas.



Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo tex2html_wrap_inline1179 , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo:

Símbolo
Se lee


raíz cúbica de 2


raíz cuarta de un medio al cubo


raíz séptima de menos cinco


raíz octava de siete a la menos cinco


raíz quinta de menos dos tercios a la ocho


raíz sexta de cinco tercios a la menos uno


raíz cuadrada de cuatro quintos


Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.

Por ejemplo, en la expresión tex2html_wrap_inline1197 se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, tex2html_wrap_inline1203 significa tex2html_wrap_inline1205 y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.

Por ejemplo:

tex2html_wrap_inline1211

tex2html_wrap_inline1213 (¿Por qué?)

tex2html_wrap_inline1215

tex2html_wrap_inline1217 (¿Por qué?)

tex2html_wrap_inline1219

En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n, las siguientes igualdades son válidas: 



Así, algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes maneras:

1.

tex2html_wrap_inline1223

2.

tex2html_wrap_inline1225

3.


ó


Las expresiones radicales como la del ejercicio 2 de la interactividad anterior pueden simplificarse transformando el exponente, que es una fracción impropia, en suma de una fracción propia más un número entero. Por ejemplo: 

displaymath1091


Es decir

displaymath1092

Hay muchos casos de expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la raíz desaparece; por ejemplo:

displaymath1093

Pero como tex2html_wrap_inline1265 , se tiene que tex2html_wrap_inline1267 .

en casos como estos, se dice que se trata de una raíz exacta.


Ejercicio:

Encuentra 5 ejemplos de expresiones radicales que constituyen una raíz exacta.

Obsérvese que, dada cualquier raíz tex2html_wrap_inline1269 se tiene que

displaymath1094

es decir, que el número tex2html_wrap_inline1269 multiplicado por sí mismo n veces, o elevado a la potencia n es igual a b.

Por eso, también se tiene que tex2html_wrap_inline1279 , y éste es el caso de las raíces exactas que se acaban de ver.

La raíz n-ésima de un número no es siempre única: en el caso de tex2html_wrap_inline1283 , se tiene que tex2html_wrap_inline1285 y tex2html_wrap_inline1287 .

es decir, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4.

Para evitar ambigüedad en la notación, cuando se escribe tex2html_wrap_inline1283 se refiere a la raíz positiva de 4, y para referirse a la raíz negativa, se escribe tex2html_wrap_inline1293 :

displaymath1095

por otra parte, tex2html_wrap_inline1295 , porque tex2html_wrap_inline1297 , y en este caso, no se puede afirmar que -2 es también raíz cúbica de 8, pues tex2html_wrap_inline1301 . es decir, tex2html_wrap_inline1303 .

Debe observarse además que, mientras el índice de una raíz sea un número par, la cantidad subradical debe ser positiva para que la raíz sea un número real:

No es un número real, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo


Si, por otra parte, el índice es impar, la cantidad subradical puede ser positiva o negativa, y la raíz siempre será un número real:

tex2html_wrap_inline1305    y       tex2html_wrap_inline1307 .

Se tiene ahora la siguiente definición:

Dado un número racional b y un entero positivo impar n, la raíz n-ésima de b es aquel número x que, elevado a la n-ésima potencia, sea igual a b:

displaymath1097

Si n es par y b es positivo, entonces tex2html_wrap_inline1327 , donde x>0 es tal que tex2html_wrap_inline1331 . Como n es par, tex2html_wrap_inline1335 y -x es llamada la n-ésima raíz negativa de b.

En resumen, si n es par y a>0, entonces

displaymath1098

Si n es impar y tex2html_wrap_inline1349 , entonces

displaymath1099


Términos Semejantes.

Se ha visto cómo aplicar las leyes de la potenciación en el cálculo con radicales. Estas leyes se refieren específicamente a productos y cocientes de potencias. Pero, ¿qué se sabe acerca de la suma y resta de potencias, que sea aplicable a la suma y resta de radicales?

por ejemplo:

La expresión tex2html_wrap_inline1353 ¿puede simplificarse de alguna manera?

Al escribir esta suma usando la potenciación, se obtiene:

displaymath1107

en general, cuando se tiene:

displaymath1108

no puede decirse que es igual a tex2html_wrap_inline1355 .

por ejemplo:

tex2html_wrap_inline1359 y tex2html_wrap_inline1361

Así, en vista de que no existe la posibilidad de igualar las expresiones:

displaymath1109 y, displaymath1110

entonces simplemente se deja la suma de radicales indicada, agrupando lo que se llamará términos semejantes.

Cuando en una suma de radicales aparecen términos con la misma base y el mismo exponente, estos términos se denominarán semejantes. Se operará con estos términos de la manera indicada en el ejemplo siguiente:

displaymath1111

(Aquí tex2html_wrap_inline1363 y tex2html_wrap_inline1365 no son términos semejantes a tex2html_wrap_inline1367 ).

Igualmente, si se tiene la expresión

displaymath1112

ésta puede expresase como:

displaymath1113

¿puedes explicar por qué?

en general, si existen términos semejantes en una suma de radicales, y algunos de ellos están multiplicados por algún número real, positivo o negativo, el cual se llama coeficiente, se suman todos los coeficientes con su signo respectivo, y se obtiene así el coeficiente del término resultante.

Por ejemplo:

displaymath1114

Algunas veces es preciso hacer algunas modificaciones a las expresiones radicales.

displaymath1115

 

Bibliografía:

Guedj, D. (1996). Numbers. The Universal Language. New York: Harry N. Abrams, Inc.
Guelli, O. (1992). Contando a História da Matemática. Sao Paulo: Editora Ática. S.A.


 
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