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La visión del Universo que tenían el gran sabio
griego Pitágoras de Samos y sus discípulos,
los llamados pitagóricos, estaba dominada por sus ideas
filosóficas acerca del número. Decían
que el número natural y las proporciones entre números
naturales gobernaban todo cuanto existía.
Un descubrimiento hecho
por los mismos pitagóricos demostró que esta
afirmación era falsa. Descubrieron la existencia de
un número que no era natural y tampoco se podía
expresar como fracción alguna.
Todo comenzó
con el llamado Teorema de Pitágoras. Se llama
Teorema a toda afirmación matemática importante
que es demostrada de manera rigurosa, irrefutable. El Teorema
de Pitágoras afirma que, en todo triángulo rectángulo,
el lado mayor, llamado hipotenusa, elevado al cuadrado, es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados
catetos.
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Se
sabe que  es igual al área del cuadrado
cuyo cuyo lado es a (potenciación en N ). Así, lo que el Teorema de Pitágoras
afirma es lo siguiente: las áreas de los cuadrados
cuyos lados son a y b, al sumarse, dan el área
del cuadrado cuyo lado es c. |
En
todos los triángulos rectángulos quizás
el de apariencia más sencilla fue el que produjo entre
los pitagóricos la gran conmoción de presentar
la existencia de una medida que no era expresable como un
número natural ni como una fracción.
El triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1 fue
el que originó el derrumbe de toda una teoría
filosófica.
El triángulo en cuestión es el de la derecha.
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El
Teorema de Pitágoras asegura que  .
Usando un método muy sencillo, los pitagóricos
intentaron encontrar números naturales m,n tales que
 , sin lograrlo nunca. La idea era la siguiente:
se divide un cateto en segmentos de igual longitud (longitud
u) |
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| Se
intentaba dividir la hipotenusa también en segmentos de longitud
u, pero siempre sobraba un segmento de longitud menor que u:
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En vista de que había un segmento sobrante, se escogía
una medida para el segmento que fuera la mitad de la medida anterior,
con la esperanza de que no hubiera ningún segmento sobrante
en la hipotenusa. Pero no funcionaba (ver imagen
de la izquierda)
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Si hubieran encontrado un segmento que cupiera una cantidad exacta
de veces tanto en la hipotenusa como en los catetos, digamos, 13
veces en la hipotenusa y 8 veces en los catetos, se tendría
que la hipotenusa medía  , pues la proporción
entre hipotenusa y cateto, que era  , también
era igual a y así obtendrían
 .
Pero no obtuvieron jamás
una medida que cupiera una cantidad exacta de veces en ambos lados
del triángulo. Surgió así el primer número
irracional, aquel cuyo cuadrado es igual a 2. Casi 2000 años
después se le dioel nombre de "raíz cuadrada
de dos'' y se creó el símbolo  para representar las raíces cuadradas. |
Se llama radicación a la operación indicada por toda
expresión matemática que consista en una potencia
con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo
, al cual se llama
raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será
utilizado este símbolo:
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Símbolo |
Se
lee |
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raíz
cúbica de 2 |
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raíz
cuarta de un medio al cubo |
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raíz
séptima de menos cinco |
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raíz
octava de siete a la menos cinco |
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raíz
quinta de menos dos tercios a la ocho |
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raíz
sexta de cinco tercios a la menos uno |
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raíz
cuadrada de cuatro quintos |
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Toda
la expresión que se ubica dentro del símbolo de
raíz es llamada cantidad subradical, y el número
que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado
el índice.
Por ejemplo, en la expresión  se tiene Índice=3
y Cantidad subradical=2
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| Cuando el índice
es 2, por lo general éste se omite. Es decir,  significa  y se lee "raíz cuadrada
de 7''. Es importante recordar ( potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos
expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de
una potencia con exponente positivo.
Por ejemplo:
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-
-
-
-
 (¿Por qué?)
-
-
-
-
 (¿Por qué?)
-
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En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n,
las siguientes igualdades son válidas:
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Así,
algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes
maneras:
1.
-
-
2.
-
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| 3. |
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ó
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Las
expresiones radicales como la del ejercicio 2 de la interactividad anterior pueden simplificarse
transformando el exponente, que es una fracción impropia,
en suma de una fracción propia más un número
entero. Por ejemplo:
Es decir
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| Hay
muchos casos de expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la raíz desaparece; por ejemplo:
Pero como  , se tiene que  .
en casos como estos, se dice que se trata de una raíz exacta.
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Ejercicio:
Encuentra 5 ejemplos de expresiones radicales que constituyen
una raíz exacta.
Obsérvese que, dada cualquier raíz  se tiene que
es decir, que el número multiplicado por
sí mismo n veces, o elevado a la potencia n es igual a
b.
Por eso, también se tiene que  , y éste
es el caso de las raíces exactas que se acaban de ver.
La raíz n-ésima de un número no es siempre
única: en el caso de  , se tiene que  y  .
es decir, tanto 2 como -2 son raíces cuadradas de 4.
Para evitar ambigüedad en la notación, cuando se escribe
se refiere a la raíz positiva de 4, y para referirse
a la raíz negativa, se escribe  :
por otra parte,  , porque  , y en este caso, no se puede
afirmar que -2 es también raíz cúbica de
8, pues  . es decir,  .
Debe observarse además que, mientras el índice de
una raíz sea un número par, la cantidad subradical
debe ser positiva para que la raíz sea un número
real:
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| No es un número
real, porque ningún número real elevado al cuadrado
es negativo |
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Si, por otra parte, el índice es impar, la cantidad subradical
puede ser positiva o negativa, y la raíz siempre será
un número real:
 y
 .
Se tiene ahora la siguiente definición:
Dado un número racional b y un entero positivo impar n, la
raíz n-ésima de b es aquel número x que, elevado
a la n-ésima potencia, sea igual a b:
Si n es par y b es positivo, entonces  , donde x>0 es tal que  . Como n es par,
 y -x es llamada la n-ésima
raíz negativa de b.
En resumen, si n es par y a>0, entonces
Si n es impar y  , entonces
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Términos
Semejantes.
Se ha visto cómo aplicar
las leyes de la potenciación en el cálculo con radicales.
Estas leyes se refieren específicamente a productos y cocientes
de potencias. Pero, ¿qué se sabe acerca de la suma
y resta de potencias, que sea aplicable a la suma y resta de radicales?
por ejemplo:
La expresión  ¿puede simplificarse de
alguna manera?
Al escribir esta suma usando
la potenciación, se obtiene:
en general, cuando se tiene:
no puede decirse que es igual
a  .
por ejemplo:
y 
Así, en vista de que
no existe la posibilidad de igualar las expresiones:
 y, 
entonces simplemente se deja
la suma de radicales indicada, agrupando lo que se llamará
términos semejantes.
Cuando en una suma de radicales
aparecen términos con la misma base y el mismo exponente,
estos términos se denominarán semejantes. Se
operará con estos términos de la manera indicada en
el ejemplo siguiente:
(Aquí  y  no son términos semejantes
a  ).
Igualmente, si se tiene la
expresión
ésta puede expresase
como:
¿puedes explicar por
qué?
en general, si existen términos
semejantes en una suma de radicales, y algunos de ellos están
multiplicados por algún número real, positivo o negativo,
el cual se llama coeficiente, se suman todos los coeficientes
con su signo respectivo, y se obtiene así el coeficiente
del término resultante. |
Por
ejemplo:
Algunas veces es preciso hacer algunas modificaciones a las expresiones
radicales.
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Guedj, D. (1996). Numbers. The Universal Language. New York: Harry
N. Abrams, Inc.
Guelli, O. (1992).
Contando a História da Matemática. Sao Paulo: Editora
Ática. S.A.
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