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Racionalización

El gran matemático Srinivasa Ramanujan nació en el sur de la India en 1887, y desarrolló gran parte de sus estudios matemáticos como autodidacta, pues no tuvo una formación universitaria.

A los 25 años escribió una carta al reconocido matemático inglés G. H. Hardy, solicitando su atención a los resultados que él había obtenido sobre varios temas de la Teoría de Números. En su carta de 10 páginas, Ramanujan expuso diversos teoremas descubiertos por él y sorprendió a Hardy por su genial originalidad.


A los 26 años viajó a Inglaterra para trabajar con Hardy, y muchos de sus teoremas fueron publicados más tarde. Escribió cerca de 3.000 teoremas en diversas ramas de las Matemáticas.

Ramanujan hacía cálculos mentales con una facilidad extraordinaria, y el haber afirmado que $e^{\pi\sqrt{163}}$ es un número entero, es una muestra de su genialidad.

Una anécdota narra que, estando Ramanujan muy enfermo en un hospital de Londres, Hardy lo fue a visitar y le mencionó que había llegado en el taxi número 1.729, número aparentemente banal.

Ramanujan le corrigió explicándole por qué este número era en realidad muy interesante: es el menor número que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas, pues

\begin{displaymath} 1729 = 1^3 + 12^3 \end{displaymath}
 y
\begin{displaymath} 1729 = 9^3 + 10^3 \end{displaymath}

La estadía en Londres duró 7 años; luego regresó a India gravemente enfermo y murió al poco tiempo después.


Cuando se trabaja con radicales, es frecuente encontrarse con expresiones fraccionarias que tienen radicales en el denominador, como, por ejemplo:

\begin{displaymath} \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} \qquad \frac{1}{\sqrt[7]{4}} \qq... ...}-\sqrt[3]{7}} \qquad \frac{\sqrt[4]{20}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \end{displaymath}

Para facilitar los cálculos, en estos casos se busca expresar estas fracciones a través de fracciones equivalentes a ellas, pero que no tengan expresiones radicales en el denominador.

Es importante recordar que, dada una fracción, las fracciones equivalentes a ellas son todas aquellas que se obtienen al multiplicar numerador y denominador de esa fracción por un mismo número. Por ejemplo: (ver tabla a la derecha)

1)
$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{15}{35}$
2)
$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{12}{28}$
3)
$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{6}{14}$
4)
$\displaystyle \frac{3}{7} = \displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}$
5)
$\displaystyle \frac{4}{10} = \displaystyle \frac{2}{5}$
6)
$\displaystyle \frac{20}{8} = \displaystyle \frac{5}{2}$

En los ejemplos del 1) al 4), se ha multiplicado al numerador y al denominador de $\frac{3}{7}$ por números mayores que la unidad. ¿Puedes decir cuáles son esos números?

En los ejemplos 5) y 6), en cambio, los factores que se han escogido para multiplicar por numerador y denominador, son menores que la unidad. En el caso 5), el factor que multiplica a 4 y a 10 es $\frac{1}{2}$ :

\begin{displaymath} \frac{4}{10} = \frac{4\cdot\left(\displaystyle \frac{1}{2}\... ...0\cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)} = \frac{2}{5} \end{displaymath}


Si has respondido correctamente, no encontrarás mayores dificultades en lo que sigue, pues comprendes bien lo que son fracciones equivalentes y cómo se generan. Si no has acertado en tu respuesta, es posible que haya sido por una falla de cálculo aritmético, o por falta de comprensión de lo que son fracciones equivalentes. Si esto último es el caso, revisa de nuevo ese tema con cuidado antes de proseguir.

Ahora se verá de qué manera se puede encontrar una fracción equivalente a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , por ejemplo, que tenga la propiedad de no poseer radicales en el denominador.

Se sabe que

\begin{displaymath} \sqrt{2}\sqrt{2} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 \end{displaymath}
y por lo tanto, al multiplicar numerador y denominador de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\sqrt{2}$ , se obtiene:

\begin{displaymath} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1\left(\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2} \left(\sqrt{2}\right)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{displaymath}
Es decir, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ es la fracción equivalente a $\frac{1}{\sqrt{2}}$ que se buscaba. Este proceso se llama Racionalización, y a continuación se verán algunos otros ejemplos que mostrarán en qué casos se puede llevar a cabo con facilidad.





 

Para reflexionar:

Si no estás muy convencido de esto, puedes multiplicar numerador y denominador de la fracción original por cualquiera de estos números, y verás que es cierto. ¿Puedes explicar por qué siempre da lo mismo?

Como es bueno simplificar los cálculos, se multiplicarán numerador y denominador por $\sqrt{2}$ en este caso.

Lo importante aquí, y que se debe observar, es lo siguiente:

\begin{displaymath} \left(\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\right) = \left(2^{\fra... ...{\frac{1}{2}}\right) = 2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = 2^1 = 2 \end{displaymath}
Ahora se verán otros ejemplos que se encuentran también dentro de este primer caso.

Se va a racionalizar la expresión $\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$ .

Lo primero que se necesita descubrir es el número por el cual debe multiplicarse $\sqrt[4]{3}$ para obtener un número sin raíz. Se observa que \begin{displaymath} \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} \end{displaymath}

Si se multiplica $3^{\frac{1}{4}}$ por $3^{\frac{3}{4}}$ , entonces se tendrá: \begin{displaymath} \left(3^{\frac{1}{4}}\right) \left(3^{\frac{3}{4}}\right) = 3^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} = 3^1 = 3 \end{displaymath}
El número por el cual se deben multiplicar numerador y denominador en $\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$ es, pues, $3^{\frac{3}{4}}= \left(\sqrt[4]{3}\right)^3$, y así, se tendrá:
\begin{displaymath} \left(\frac{2}{\sqrt[4]{3}}\right) \left(\frac{ \left(\sqr... ...sqrt[4]{3}\right)^3} = \frac{2\left(\sqrt[4]{3}\right)^3}{3} \end{displaymath}
Se ha encontrado que la expresión $\frac{2\left( \sqrt[4]{3}\right)^3}{3}$ es equivalente a $\frac{2}{\sqrt[4]{3}}$ , y no tiene raíces en el denominador.

Otro ejemplo: se quiere racionalizar la expresión \begin{displaymath} \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt[3]{7}} \end{displaymath}


como interesa eliminar la raíz del denominador, no hay que preocuparse por la presencia de la raíz en el numerador. Como antes, se buscará un número que realice el trabajo adecuadamente, es decir, que al multiplicar el denominador: $2\sqrt[3]{7}$ , por ese número, la raíz quede eliminada. Ante todo, se observa que el número 2 no está involucrado en la raíz, y entonces se tomará en cuenta solamente $\sqrt[3]{7}$ .

De nuevo, se escribe \begin{displaymath} \sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}} \end{displaymath}

Inmediatamente, se descubre cuál es ese número que se busca: \begin{displaymath} 7^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{7}\right)^2 \end{displaymath}

La razón por la cual es ése el número que se busca es, sencillamente, que
\begin{displaymath} \left(7^{\frac{2}{3}}\right) \left(7^{\frac{1}{3}}\right) = 7^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 7^1 = 7 \end{displaymath}
ahora se multiplican numerador y denominador por $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$ , y se tiene
\begin{displaymath} \left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt[3]{7}}\right) \left(\frac{ \l... ...t)^2}{2(7)} = \frac{\sqrt{5} \left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{14} \end{displaymath}


Si todas tus respuestas son correctas, estás bien preparado para continuar con el segundo caso. Si no ha sido así, examina tu error para detectar su causa entre varias posibles: falla en cálculos por descuido, falla en la comprensión del mecanismo a utilizar, por ejemplo. En este último caso, revisa con cuidado los ejemplos anteriores, hasta que te quede muy claro el procedimiento usado allí.



Otros ejemplos



En realidad, siempre que se multiplica, como en estos ejemplos, cualquier expresión de la forma $(a-b)$ por $(a+b)$ , el resultado es exactamente  \begin{displaymath} a^2-b^2 \end{displaymath}

Se puede observar, en los ejemplos anteriores, que esto siempre será así, puesto que, al aplicar la distributividad en el producto:
\begin{displaymath} (a-b)(a+b) = a^2 - ba + ab - b^2 = a^2-b^2 \end{displaymath}
se ve claramente que los términos $-ba$ y $+ab$ siempre se cancelarán, dejando solamente los términos $a^2$ y $-b^2$ .

Si se tiene esto presente, se pueden fácilmente eliminar las raíces en el denominador de las expresiones agrupadas dentro del segundo caso que se está considerando ahora. Por ejemplo:

\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} & = & \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt... ...t{5}\right)}{3-5} = \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{-2} \end{eqnarray*}

como se ve, la última expresión puede simplificarse aún, y se obtiene

\begin{displaymath} \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{-2} = -\Big(\sqrt{3}+\sqrt{5}\Big) \end{displaymath}

es decir, la expresión original:
\begin{displaymath} \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \end{displaymath}
es equivalente a

\begin{displaymath} -\Big(\sqrt{3}+\sqrt{5}\Big) \end{displaymath}
Simplemente, se ha obtenido la segunda a partir de la primera a través del proceso de racionalización.


Si has realizado todos los ejercicios sin errores, ¡felicitaciones! has adquirido destrezas necesarias para el cálculo con radicales y ha crecido tu habilidad matemática.

Si has tenido errores, explora sobre las causas de estos errores, de manera que aprendas lo que te faltaba saber para realizar los ejercicios sin equivocaciones.



Bibliografía:

Perero, M. Historia e historias de Matemáticas. (1994). México: Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.


 
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