Firma páginas web


 
 

El Plano Cartesiano

René Descartes, gran filósofo y matemático francés, nació en 1596. Entre sus principales aportes a la filosofía está su famoso "Discurso del Método", obra en la cual busca exponer reglas para "descubrir verdades". Descartes afirmó que los orígenes de esta obra filosófica estaban en la lógica, la geometría y el álgebra. Por otra parte, este pensador ilustre hizo una importante contribución a las Matemáticas. Al "Discurso del Método" le añadió un "anexo" titulado "Geometría", en el cual propuso un sistema nuevo para estudiar esta disciplina. Gracias al "sistema de coordenadas cartesianas" creado por Descartes y denominado así en su honor, diversas áreas de las Matemáticas tuvieron un rápido desarrollo en los años posteriores. Este sistema permite asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales que lo identifica inequívocamente. Así, cualquier figura geométrica puede ser identificada con un conjunto de parejas de números reales, como se verá más adelante y eso permite, entre otras cosas, estudiar la geometría a través del álgebra.

René Descartes


Además, Descartes introdujo parte de los símbolos que actualmente se usan en las ecuaciones algebraicas, facilitando enormemente el estudio de las ecuaciones y sus soluciones.

En su juventud, después de haber recibido una educación del más alto nivel, decidió viajar por el mundo para descubrirlo por sí mismo. Después de varios años de viajes, se estableció en Holanda, lejos de amigos y familiares, con la intención de concentrarse exclusivamente en la escritura de los libros que más tarde le darían fama. Murió en Suecia, en 1650.

Se ha convenido en usar una línea recta horizontal para representar a todos los números reales, colocando el cero en un punto de la recta, todos los reales positivos a la derecha de ese punto y todos los reales negativos, a la izquierda de ese punto:



A continuación se superpone, a esta recta, otra recta perpendicular a ella y que pase por el 0, de la manera siguiente:



Sobre la recta vertical, se ubican también los números reales, de manera que el cero de la vertical coincida con el de la horizontal, los números reales positivos queden por encima de la horizontal y los negativos queden por debajo.

Esta sencilla construcción permite identificar a cualquier par ordenado de números reales con un punto del plano, de la manera siguiente:

El par $(1,4)$ , por ejemplo, se identifica con el punto $P$ señalado en la figura de la derecha


Para encontrar el sitio exacto que le corresponde al punto $P$ , se procede así:

1)Se traza una recta vertical que pase por el punto 1 del eje horizontal.
2)Se traza una recta horizontal que pase por el punto 4 del eje vertical.

El punto de intersección de las dos rectas trazadas es el punto $P(1,4)$ .

El par $(1,4)$ se denomina "par ordenado" porque el orden en el cual aparecen los números es esencial para identificar al par con el punto $P$ del plano. De hecho, si se considera el punto $(4,1)$ , el punto del plano que se le asocia es el punto $Q$:

 

En el par ordenado $(1,4)$ , que ahora identificamos con el punto $P$ , al número 1 se le llama la abscisa del punto $P$ y al número 4, la ordenada del punto $P$ . Por eso, al eje horizontal se le llama el eje de las abscisas y al vertical, el eje de las ordenadas.

Los números 1 y 4 son las coordenadas cartesianas del punto $P$ , y la construcción general que se acaba de describir a través del punto particular $P$ , se llama plano cartesiano.

El punto donde se intersectan los ejes de coordenadas es llamado el origen de coordenadas y se identifica con el par ordenado $(0,0)$ .

La utilidad del plano cartesiano puede ilustrarse, en una aplicación muy elemental, con el ejemplo siguiente. Dos personas acuerdan encontrarse a las 4:00 p.m. en una cierta esquina de una ciudad cuyo sistema vial está constituido por calles paralelas y avenidas perpendiculares a las calles, como en el dibujo:


La manera más sencilla, tal vez, de especificar la esquina del encuentro, sería decir: Ave. 5 con Calle 4.

Si las calles y avenidas no estuvieran numeradas, sino que se identificaran por nombres que las personas del encuentro no recordaran, aún sería posible identificar con precisión el punto de encuentro, si tomaran como punto de referencia la plaza Bolívar, por ejemplo:

Si la ciudad es inclinada, de manera que decir "hacia arriba" o "hacia abajo" resulta una indicación clara y si ambas personas se acercaran a la plaza Bolívar desde abajo, podrían decir: Una cuadra a la derecha de la plaza Bolívar y dos cuadras hacia arriba.

En este último caso, se está usando un sistema para identificar el punto de encuentro, que es equivalente al sistema de coordenadas cartesianas.

Se le podría asignar el punto $(0,0)$ a la plaza Bolívar y en ese caso, el punto de encuentro tendría coordenadas $(1,2)$ , lo que sería equivalente a decir: una cuadra a la derecha y dos cuadras hacia arriba.


Por supuesto, el punto de referencia ha podido ser otro, y en ese caso las indicaciones (y por lo tanto, las coordenadas) cambiarían. Lo importante aquí es observar que el sistema de coordenadas cartesianas es un sistema donde se escoge un punto al que se llama origen de coordenadas, y a partir de ese punto como referencia, se ubica cualquier otro punto del plano.

Si se quiere establecer la posición en el plano de los puntos siguientes:


Así, sin ninguna referencia, resulta bastante difícil. Si ahora, se escoge un sistema de coordenadas cartesianas y se colocan los tres puntos en él, se tiene lo siguiente:


Ahora es posible identificar la ubicación exacta de cada punto: $P$ es el punto $(1,1)$ , $Q$ es $(4,3)$ y $R$ es $(5,2)$ .

Es bueno observar que, para encontrar las coordenadas de $P$ , $Q$ y $R$ , se trazan rectas paralelas a los ejes de coordenadas que pasen por $P$ , $Q$ y $R$ respectivamente. Por ejemplo, para saber que las coordenadas de $Q$ son $(4,3)$ , trazamos una vertical que pase por $Q$ , y el punto del eje de las abscisas donde la vertical corta es el que corresponde al número 4. Por otro lado, el punto donde la horizontal, trazada por $Q$ , corta al eje de las ordenadas, es el que corresponde al 3.

Ahora, si el origen de coordenadas se coloca en otro sitio, a la derecha de los tres puntos, por ejemplo, se tendría la siguiente situación:


Las coordenadas de $P$ , $Q$ y $R$ son otras:

  • $P$ es el punto $(-5,1)$

  • $Q$ es el punto $(-2,3)$

  • $R$ es el punto $(-1,2)$

Esto es lógico que ocurra, porque cambiamos el punto de referencia; la ubicación del origen de coordenadas cambió en relación a la ubicación de los puntos $P$ , $Q$ y $R$ .

Sin embargo, si se quieren estudiar relaciones numéricas entre los puntos $P$ , $Q$ y $R$ , como la distancia entre ellos, por ejemplo, no importa cuál sistema de coordenadas se escoja, el resultado será siempre igual.


El plano cartesiano consta de cuatro regiones que han sido llamadas cuadrantes. El primer cuadrante es la región a la derecha del eje de las ordenadas y arriba del eje de las abscisas. El punto $(2,4)$ está en el primer cuadrante.


El segundo, tercer y cuarto cuadrante están ubicados como se indica en la figura de la izquierda.

El punto $(-2,2)$ está en el II cuadrante, el punto $(-1,-4)$ está en el III cuadrante y el punto $(3,-2)$ está en el IV cuadrante.

 

Al resolver una ecuación del tipo:
\begin{displaymath}
5x-1 = 9
\end{displaymath}

se obtiene una solución $x=2$ , que es un número real, representado en la recta real como un punto:


Decir que $x=2$ es una solución significa que al sustituir $x$ por $2$ en la ecuación original, se obtiene una igualdad. De esa misma manera hay ecuaciones donde intervienen 2 incógnitas, $x$ y $y$ , por ejemplo:
\begin{displaymath}
2x-y = -3
\end{displaymath}
cuya solución será un conjunto de puntos en el plano. Los puntos del plano que son solución de esa ecuación son todos los puntos como $(1,5)$ , pues al sustituir $x$ por 1 y $y$ por 5, se obtiene una igualdad:

\begin{displaymath}
2(1)-5 = -3
\end{displaymath}

En este caso, las soluciones de la ecuación son infinitas, y no una sola, como en el caso de la ecuación del tipo $5x-1=9$ .

De hecho, si se representan todas las soluciones de la ecuación $2x-y=-3$

en el plano cartesiano, se obtiene una línea recta (imagen a la derecha).

 

Todo esto se estudia con detalle en el tema de Rectas en el Plano. Por ahora, basta con observar que las letras $x, y\;$ se utilizan para representar la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera del plano: $(x,y)$ será un punto arbitrario del plano, así como generalmente se usa la letra $x$ para representar un punto cualquiera de la recta.

Así, el eje de las abscisas es llamado, a veces, el eje de las "$x$" y el eje de las ordenadas, el eje de las "$y$". Por eso en muchas representaciones del plano cartesiano, se colocan la $x$ y la $y$ en cada eje, como se ve en la imagen de la izquierda.



Si tus respuestas han sido correctas, continúa explorando las propiedades y aplicaciones del plano cartesiano que se exponen en lo que sigue.

Si no han sido todas correctas, revisa de nuevo las definiciones de los términos empleados en el ejercicio: abscisa, ordenada, cuadrantes.


Bibliografía utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998).  Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica

Fuentes de fotografias
http://dante.med.utoronto.ca/skeletalmuscle/pictures/history pics/descartes.jpg


 
Otros Temas:

 
Ver otras áreas:


Más Servicios de RENa

| Interactividades | Chat |
| Recomendar esta página | Dudas | Internet |
| Imprimir esta página | Volver a contenido por áreas |

| Mapa del sitio | Equipo de trabajo | Organizaciones colaboradoras| Webmaster | Vínculos |

© Todos los Derechos Reservados por RENa Copyright 2005