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Rectas en el plano cartesiano

La idea de crear un sistema para representar figuras geométricas como rectas, triángulos, círculos, etc. y poder describirlos a través de números fue, sin duda, una de las más grandes ideas matemáticas del siglo XVII. Como algunas otras grandes ideas, fue motivo de discusiones, tensiones y enemistades entre matemáticos famosos. En este caso, entre Fermat y Descartes surgieron discrepancias en torno a la genial creación de ambos, pues, como trabajaron independientemente, había algunas diferencias entre ambos sistemas y cada uno de ellos se empeñó en demostrar que su sistema era el mejor de los dos.

Finalmente, el sistema de Descartes fue adoptado por los demás matemáticos de la época, por permitir mayor facilidad en los cálculos aritméticos y algebraicos que el propuesto por Fermat.

Las rectas son las figuras geométricas más simples, después de los puntos, y con su estudio en el plano cartesiano, se descubre la gran utilidad que tiene éste en la determinación de las propiedades de las figuras geométricas.

Se puede tomar, por ejemplo, el caso de una recta como la que se muestra a la derecha.

  


Será mucho más fácil hablar con precisión numérica acerca de algunas de sus propiedades, si se ubica la recta $l$ en un plano cartesiano, como se hace en la figura de la izquierda.


Una de las propiedades más importantes de una recta es su inclinación, la cual se define en términos matemáticos como la pendiente.

Comparando la recta $l$ con otra, que en este caso puede ser la recta $s$ :


Se podría decir que la recta $l$ es más "inclinada" que la recta $s$ . En términos matemáticos, se dice que $l$ tiene pendiente mayor que $s$ .

Para encontrar una manera de precisar numéricamente las pendientes de estas rectas, hay que observar algo esencial:


Los puntos $T$ y $R$ en la recta $l$ y los puntos $P$ y $Q$ en $s$ , están ubicados de manera que la abscisa de $T$ y $P$ es 1 y la de $R$ y $Q$ es 2. Pero mientras que las ordenadas de $T$ y $R$ son 1 y 2, las de $P$ y $Q$son $1/4$ y $1/2$ respectivamente.

Se podría decir que la recta $l$ está "creciendo" más rápido que la $s$ , porque al pasar de la abscisa 1 a la 2, en $l$ hay un crecimiento de 1 unidad en la ordenada, mientras que en $s$ hay un crecimiento de $1/4$ a $1/2$ y

\begin{displaymath} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}. \end{displaymath}

Para ser más precisos, se observa que la proporción entre cambio de la ordenada y cambio de la abscisa, es decir, entre diferencia de la ordenada y diferencia de la abscisa es mayor para $T$ y $R$ que para $P$ y $Q$ :

\begin{displaymath} \begin{array}{ll} T:\; (1,1) & P:\; (1,1/4) \\ [.3cm] R:\;... ...laystyle\frac{1/4}{1} = \displaystyle\frac{1}{4} \end{array} \end{displaymath}

La pendiente de una recta es justamente esa proporción:

\begin{displaymath}\displaystyle\frac{\mbox{Diferencia de la ordenadas}}{\mbox{Diferencia de las abscisas}}\end{displaymath}

tomándose esta diferencia entre dos puntos cualesquiera de la recta.

En el ejemplo anterior, se tiene:

Pendiente de $l\; : \;\; 1$

Pendiente de $s\; : \;\; 1/4$

Si se vuelve a considerar la recta $l$ utilizada antes, y se calcula su pendiente usando otros dos puntos de ella, por ejemplo, $J$ y $K$ :

Como $\;J: (-1,-1)\;$y $\;K: (4,4)\;$ la pendiente será igual a :
\begin{displaymath} \frac{4-(-1)}{4-(-1)} = \frac{5}{5} = 1. \end{displaymath}


Tal como era de esperarse, el resultado de este cociente se mantuvo igual que cuando se calcularon las diferencias de ordenadas y abscisas de $T$ y $R$ . La razón es muy simple: la proporción entre el cambio de la ordenada y el cambio de la abscisa tiene que mantenerse constante a lo largo de toda la recta, puesto que, por el hecho mismo de tratarse de una recta, su inclinación se mantiene constante.

Incluso hubiera dado igual si se calculan las diferencias así:


\begin{displaymath} \frac{-1-4}{-1-4} = \frac{-5}{-5} = 1 \end{displaymath}

Lo que hay que tomar en cuenta es que si $(x_1,y_1)=(-1,-1)$ y $(x_2,y_2)=(4,4)$ , para calcular la pendiente se debe calcular

\begin{displaymath} \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \end{displaymath}

es decir, hay que calcular las diferencias en el mismo orden en el numerador que en el denominador, pero nunca hacer esto: $\displaystyle\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}$ .


Se ha visto cómo, el hecho de tener una recta representada en un plano cartesiano, llamado también sistema de coordenadas rectangulares, permite dar un valor numérico para su pendiente, lo cual es una medida de su "inclinación".

Ahora, se verá que todos los puntos que pertenecen a una recta dada satisfacen una ecuación, llamada justamente: la ecuación de la recta.

Es fácil notar que, en la recta $l$ del ejemplo inicial, todo punto que pertenece a $l$ está a igual distancia del eje de las abscisas que del eje de las ordenadas. En este caso, la ecuación de la recta es:

\begin{displaymath} x=y \end{displaymath}

puesto que todo punto del plano cartesiano $P:(x,y)$ estará en la recta si $x=y$ y recíprocamente, si $Q:(a,b)$ es un punto de la recta, entonces $a=b$ .

En el caso de la recta $s$ , se obtiene una ecuación más elaborada.

Si $H:(x,y)$ es un punto de la recta $s$ , se debe cumplir que, al calcular la pendiente de $s$ usando los puntos $H:(x,y)$ y $P:(1,1/4)$ , el resultado es $1/4$ , pues esa es la pendiente de $s$ . Es decir,


\begin{displaymath}\displaystyle\frac{y-1/4}{x-1}=\displaystyle\frac{1}{4}.\end{displaymath}
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 4 y luego por $x-1$ se obtiene:

\begin{displaymath} 4(y-1/4) = x-1 \end{displaymath}
es decir, $4y-1=x-1$ , lo cual equivale a   \begin{displaymath} 4y = x \end{displaymath}  ó   \begin{displaymath} y=\frac{x}{4} \end{displaymath}

Es esta última expresión la ecuación de la recta $s$ , en una de sus formas más usadas, aunque es equivalente a las siguientes ecuaciones:

\begin{eqnarray*} y-\displaystyle\frac{x}{4} & = & 0 \\ [.3cm] 4y - x & = & 0 \end{eqnarray*}

El significado de la palabra "ecuación", cuando se habla de ecuaciones en $\mbox{\sf I}\hspace{-.055cm} \mbox{\sf N}$ , en $\mbox{\sf Z}\hspace{-.18cm} \mbox{\sf Z}$ o en $\mbox{\sf I}\hspace{-.18cm} \mbox{\sf Q}$ pareciera diferenciarse del que ahora tiene cuando se habla de "ecuación de una recta". Sin embargo, la diferencia es sólo aparente.

Cuando se tiene la ecuación

\begin{displaymath} 3x-1 = 8\:, \end{displaymath}


la solución es un número, en este caso $x=3$ , y éste número se puede representar en la recta real:

 

En la ecuación de la recta $y-\displaystyle\frac{x}{4}=0$ , la solución ahora no es un punto, sino un conjunto de puntos del plano cartesiano, es decir, un conjunto de pares ordenados $(a,b)$ tales que cuando se sustituye, en la ecuación, la $x$ por $a$ y la $y$ por $b$ , se obtiene una igualdad.
Por ejemplo, el punto:
\begin{displaymath} A\;:\; (20,5) \end{displaymath}
es solución de la ecuación
\begin{displaymath} y-\displaystyle\frac{x}{4}=0 \end{displaymath}

porque .

$5-\displaystyle\frac{20}{4}=5-5=0$
También $\;B\;:\;(-8,-2)\;$ es solución de la ecuación:
\begin{displaymath} -2-\left(\displaystyle\frac{-8}{4}\right)=-2-(-2)=-2+2=0 \end{displaymath}

En otras palabras, $A:(20,5)$ y $B:(-8,-2)$ pertenecen a la recta cuya ecuación es:

$y-\displaystyle\frac{x}{4}=0$
Por otra parte, el punto $C:(6,4)$ no pertenece a la recta, pues al sustituir $x$ por 6 y $y$ por 4 en la ecuación de la recta, no se obtiene una igualdad:

\begin{displaymath} 4-\displaystyle\frac{6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{10}{4}\neq 0. \end{displaymath}


De manera que la ecuación de una recta es una ecuación en el sentido ya conocido, sólo que la solución no es un único número, sino que hay infinitas soluciones: todos los pares ordenados de números reales que representan a todos los puntos de la recta en cuestión.



Ejercicio: encuentre 3 puntos más que pertenezcan a la recta cuya ecuación es $\;y=\displaystyle\frac{5x}{2}\;$ y 3 puntos que no pertenezcan a ella.

Ahora se puede hacer una representación gráfica de la recta, para lo cual bastan las coordenadas de dos puntos distintos que pertenezcan a la recta, pues un hecho muy esencial acerca de las rectas es el siguiente:

Dados dos puntos del plano, hay una sola recta que pasa por esos dos puntos.

Por ejemplo, se escogen los puntos:


\begin{displaymath} A:(12,3)\;,\quad B:(-8,-2) \end{displaymath}

pertenecientes a la recta cuya ecuación es

\begin{displaymath} y-\frac{x}{4} = 0 \end{displaymath}

Se grafican esos puntos:




Si has acertado en tus respuestas, felicitaciones, has hecho un buen progreso en tus estudios sobre las rectas en el plano cartesiano. Si no has acertado en algunas, revisa con cuidado tus cálculos y encuentra el error, para que comprendas por qué lo cometiste y así habrás aprendido mejor este tema.

Hasta ahora se han estudiado las rectas en el plano cartesiano, como simples figuras geométricas. En lo que sigue, se apreciará cómo, al representar en el plano cartesiano ciertos pares ordenados asociados a mediciones de distintos fenómenos de la vida cotidiana, se obtienen rectas como las representaciones en el plano de esos fenómenos.

Se realiza un maratón de caminata de 20 Kms., y se hacen mediciones del recorrido hecho por los tres participantes más rápidos del evento, en intervalos de tiempo iguales. Se obtienen los siguientes datos:

Tiempo Participante 1 Participante 2 Participante 3
30 min. 3 Kms. 2,5 Kms. 1,5 Kms.
1 hora 6 Kms. 5 Kms. 3 Kms.
3/2 horas 9 Kms. 7,5 Kms. 4,5 Kms.
2 horas 12 Kms. 10 Kms. 6 Kms.
5/2 horas 15 Kms. 12,5 Kms. 7,5 Kms.
3 horas 18 Kms. 15 Kms. 9 Kms.

Se procede ahora a representar en el plano cartesiano los datos, correspondientes al Participante 1,  colocando en el eje de las abscisas el tiempo transcurrido y en el de las ordenadas, la distancia recorrida.

Si se calculan las proporciones entre cambio de ordenada y cambio de abscisa, como se hizo antes para calcular pendientes de rectas, se observa que esas proporciones son siempre iguales.

Los puntos representados son:


$A: (1/2,3)$
$\qquad\qquad D:(2,12)$
$B:(1,6)$
$\qquad\qquad E:(5/2,15)$
$C:(3/2,9)$
$\qquad\qquad F:(3,18)$
Se calculan algunas de las proporciones:

Con $A$ y $B$
\begin{displaymath} \frac{3-6}{1/2-1} = \frac{-3}{-1/2} = 6 \end{displaymath}
Con $B$ y $D$
\begin{displaymath} \frac{12-6}{2-1}=\frac{6}{1}=6 \end{displaymath}
Con $C$ y $F$
\begin{displaymath} \frac{9-18}{3/2-3}=\frac{-9}{-3/2}=6 \end{displaymath}
Con $E$ y $A$
\begin{displaymath} \frac{15-3}{5/2-1/2} = \frac{12}{2}=6 \end{displaymath}
 

Todas las proporciones son iguales a 6, y eso significa que en cada hora transcurrida, el participante recorrió 6 Kms., y mantuvo constante su velocidad durante todo el maratón. Por eso, se puede completar la representación de los puntos $A,B,C,D,E,F$ en el plano, trazando un segmento de recta que los une a todos:


Esta representación del recorrido del participante 1 durante las primeras 3 horas del maratón es más precisa que la anterior, donde sólo había 6 puntos representados, porque en realidad el participante caminó sin parar durante esas 3 horas y en cualquier instante entre la hora 0 y la hora 3 se pudo haber medido la distancia recorrida. Si eso se hubiera hecho cada minuto, por ejemplo, y se graficaran los 180 puntos en el plano, esos puntos estarían todos sobre el segmento de recta dibujado arriba.

Se puede notar algo sumamente importante, ahora:
la velocidad del caminante, que es 6 Kms. por hora, es igual a lo que hemos llamado antes la pendiente de la recta.

La ecuación de la recta que contiene al segmento representado, es: $y=6x$ .

Para reflexionar:

¿Puedes explicar por qué esa es la ecuación de la recta mencionada?

Si no puedes, revisa de nuevo, con cuidado, las explicaciones y los cálculos hechos antes para encontrar la ecuación de una recta.

En este ejemplo se puede apreciar la utilidad del plano cartesiano en el estudio de muchos fenómenos concretos, de los cuales este es uno de los más simples.

Ahora, se puede proceder a graficar el recorrido del participante 2 a través de las tres horas primeras del maratón (ver gráfica de la derecha)

Pero hay que asegurarse de que el participante 2 también mantuvo su velocidad constante.

Igual que antes, se calcula la pendiente de la recta (de la cual solo graficamos un segmento):

$G: (1/2,2\mbox{\scriptsize 1/2})$ $\qquad\qquad J:(2,10)$
$H:(1,5)$ $\qquad\qquad K:(2\mbox{\scriptsize 1/2},12\mbox{\scriptsize 1/2})$
$I:(1\mbox{\scriptsize 1/2},7\mbox{\scriptsize 1/2})$ $\qquad\qquad L:(3,15)$

Entre $G$ y $H$ , la proporción entre cambio de ordenadas y cambio de abscisas es:

\begin{displaymath} \frac{\;\;5-2\mbox{\scriptsize 1/2}\;\;}{1-1/2} = \frac{\;... ...{\frac{1}{2}} = \frac{\;\;\frac{5}{2}\;\;}{\frac{1}{2}} = 5. \end{displaymath}
 

Si la velocidad del participante 2 fue constante, entonces todas las demás proporciones deberían dar 5. Hasta ahora es un buen signo haber obtenido 5 en el primer cálculo, pues el punto $H:(1,5)$ refleja el hecho de que en una hora, el caminante recorrió 5 Kms.

Se prueba ahora entre $K$ y $H$ :

\begin{displaymath} \frac{\;\;12\mbox{\scriptsize 1/2}-5\;\;}{2\mbox{\scriptsiz... ...;\;}{1\mbox{\scriptsize 1/2}} = \frac{\;\;15/2\;\;}{3/2} = 5. \end{displaymath}

Si surge alguna dificultad en la realización de estos cálculos, deben revisarse con cuidado las operaciones entre números racionales. Sumas y Restas de Fracciones. Multiplicación y División de Fracciones.

Ahora se puede observar algo importante: en la ecuación de una recta de la forma $y=mx+b$ (con la $y$ despejada), donde $m$ y $b$ son números reales cualesquiera, el número $m$ es igual a la pendiente de la recta.

En el caso de los tres maratonistas, se obtuvieron las siguientes ecuaciones:

\begin{eqnarray*} y & = & 6x \qquad (m=6\;,\;\; b=0) \\ [.3cm] y & = & 5x \qquad (m=5\;,\;\; b=0) \\ [.3cm] y & = & 3x \qquad (m=3\;,\;\; b=0) \end{eqnarray*}

En cada una de ellas, el coeficiente de la $x$ representa la velocidad del participante, o pendiente de la recta.

En cada una de ellas, el número "$b$ " en la ecuación general $y=mx+b$ , es igual a 0.

Esto es así porque las tres rectas pasan por el punto $(0,0)$ del plano cartesiano.

Si hubo algún participante que comenzó a caminar 1 hora más tarde que la hora de salida oficial del maratón, y si su velocidad fue también de 3 Kms. por hora, el segmento que representaría su recorrido sería el siguiente (ver imagen a la derecha)

La recta que contiene a este segmento es:


y su ecuación es $y=3x-3$ , porque el punto del eje de las ordenadas por donde la recta pasa es $-3$ . En este caso, se tiene $b=-3$. En general, en una recta cuya ecuación es $y=mx+b$ , el número $b$ es el punto del eje de las ordenadas donde la recta lo corta.

Representando en un mismo plano las trayectorias del participante 3 y del que se quedó rezagado, se obtiene:


Se observa que son segmentos paralelos.

Esto es natural que ocurra, pues ambos caminantes llevaron la misma velocidad (3 Kms. por hora).

Las ecuaciones de las rectas respectivas son:

\begin{eqnarray*} y & = & 3x \\ [.3cm] y & = & 3x-3 \end{eqnarray*}

Ambas tienen pendiente 3 y como la pendiente es una medida de la inclinación de una recta, es obvio que dos rectas con la misma pendiente deben ser paralelas.


Entre las cosas que hasta ahora se han explicado sobre las rectas en el plano cartesiano, hay algo que debe resaltarse.

Si se quiere conocer con exactitud la posición de una recta cualquiera, se necesita conocer:

1) Un punto cualquiera de la recta y su pendiente

o

2) Dos puntos cualesquiera por donde la recta pase.

De hecho, si nada más se conoce un punto por donde la recta ha de pasar, habría infinitas posibilidades para rectas que pasen por ese punto:


Todas las rectas dibujadas pasan por el punto $A$ (y todas tienen diferentes pendientes).

Por otra parte, si se tiene como dato sólo la pendiente de una recta, también hay una infinidad de rectas paralelas entre sí que tienen la pendiente dada.

Por ejemplo, todas las rectas siguientes tienen pendiente 2:

Estos hechos son claros desde el punto de vista geométrico. Como también lo es el hecho de que por dos puntos dados pasa una única recta y que existe una sola recta de pendiente dada que pasa por un punto dado también.

Algebraicamente, se puede ver que para determinar la ecuación de una recta, basta también con conocer dos puntos de ella, o un punto de la recta y su pendiente.

Por ejemplo, una recta pasa por los puntos $(-2,2)$ y $(3,1)$ .

Para determinar su ecuación, se comienza por encontrar la pendiente $m$ :

\begin{displaymath} m=\frac{b_0-b_1}{a_0-a_1}, \end{displaymath}
donde $(a_0,b_0)=(-2,2),\; (a_1,b_1)=(3,1)$ .
Así, se tiene que la ecuación de una recta de pendiente $m$ y que pasa por el punto $(a_0,b_0)$ es:
\begin{displaymath} y-b_0 = m(x-a_0) \end{displaymath}
Calculemos $m$:

Como$(a_0,b_0)=(-2,2)$ , se tiene:

\begin{displaymath} y-2 = \displaystyle\frac{-1}{5} (x-(-2)) \end{displaymath}
\begin{displaymath} y-2 = \displaystyle\frac{-1}{5}(x+2), \end{displaymath}


es decir,

\begin{displaymath} y=\displaystyle\frac{-x}{5}-\frac{2}{5}+2=-\frac{x}{5}+\frac{8}{5} \end{displaymath}

La ecuación de la recta es:

\begin{displaymath} y=-\frac{x}{5}+\frac{8}{5} \end{displaymath}


Si se traza la gráfica de esta recta, se obtiene lo siguiente

Se puede observar que, como la pendiente de la recta es $\frac{-1}{5}$ , que es un número negativo, a medida que la abscisa de un punto de la recta crece, la ordenada decrece.

Para graficar esta recta, basta con representar en el plano dos puntos por donde pasa, y luego se unen los puntos. En este caso, se representaron los puntos $(-2,2)$ y $(3,1)$ dados en un principio. Otro ejemplo.


Bibliografía utilizada:
Kline, M. (1967) Mathematics for the nonmathematician. New York: Dover Publications, Inc. 


 
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