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La Función Lineal

El gran matemático suizo Leonhard Euler vivió en el siglo XVII, y su obra es la más voluminosa que haya sido escrita hasta ahora por matemático alguno. Aparte de haber escrito sobre muchas áreas de la Matemática conocidas en su época, como la Geometría, la Aritmética, el Álgebra y el Cálculo, creó los fundamentos de nuevas ramas del conocimiento matemático como lo son la Teoría de Grafos y la Topología Combinatoria. Además abordó problemas de Mecánica, Óptica, Electricidad y Acústica con las poderosas herramientas matemáticas que poseía, explicando así fenómenos naturales como el movimiento de la Luna, el flujo del calor y la estructura matemática subyacente a la Música.


Leonhard Euler

Un ejemplo entre los muchos que ilustran la genialidad de Euler es el siguiente: Fermat había hecho la conjetura, 100 años antes, de que todos los números de la forma $2^{2^n}+1$ eran primos, lo cual es cierto para $n=1$ , $n=2$ , $n=3$ y $n=4$ . Euler encontró, sin usar calculadora, que

\begin{displaymath} 2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4.294.967.297 = (641)\cdot (6.700.417) \end{displaymath}

Es decir, $2^{2^5}+1$ no es primo, y por lo tanto la conjetura de Fermat es falsa.

El concepto de función fue creado por Euler y ha sido utilizado desde entonces en prácticamente todas las ramas de la Matemática.

El concepto matemático de función permite, entre otras cosas, organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre ellos. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

0 minutos ${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$ 0 Kms
15 minutos ${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$ 6 Kms
30 minutos ${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$ 12 Kms
45 minutos ${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$ 18 Kms
1 hora ${}^{\rule{2cm}{.03cm}}$ 24 Kms

Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo: 6 Kms. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en horas en el eje de las abscisas y la distancia recorrida en el eje de las ordenadas, se obtiene algo así:


Tomando en cuenta que 15 minutos = $\frac{1}{4}$ de hora, 30 minutos = $\frac{1}{2}$ hora, etc, los puntos representados son: P: (1/4,6), Q: (1/2,12), R: (3/4,18), S: (1,24)

Estos datos permiten concluir que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo: 
Tiempo
Distancia
0 0
1/4 6
1/2 12
  etc.


Si se sabe que el ciclista mantiene su velocidad constante por un lapso de 2 horas, se puede determinar el número de kilómetros recorridos al cabo de las 2 horas.

Para reflexionar:

¿Puedes decir cuál es ese número? ¿Qué operación has realizado para determinarlo, y por qué?


Este ejemplo muestra un caso típico en el que se puede utilizar el concepto de función: hay una serie de datos (los kilómetros recorridos) que vienen asociados a otra serie de datos numéricos (el tiempo transcurrido). se pueden representar los datos en una tabla como la que se muestra a la izquierda.
Si se determina que la velocidad del ciclista es de 24 Kms por hora, entonces es fácil deducir que, al cabo de 2 horas, habrá recorrido 48 Kms, sencillamente porque $48=24\cdot 2$ . Así, la tabla "Tiempo-Distancia" se puede escribir así:
Tiempo Distancia
0 $0=0\cdot 24$
1/4 $6=(1/4)\cdot 24$
1/2 $12=(1/2)\cdot 24$
3/4 $18=(3/4)\cdot 24$
1 $24=1\cdot 24$

es decir, la distancia recorrida en un tiempo $x$ (dado en horas) es igual a $(24)\cdot (x)$ . Por ejemplo, en 2 horas y media, la distancia en kilómetros será

\begin{displaymath} (24)(2,5) = 60\: Kms \end{displaymath}

El tiempo y la distancia se denominan variables. El tiempo es, en este caso la variable independiente y la distancia recorrida es la variable dependiente, porque depende del tiempo: para cada instante dado, hay una distancia recorrida.

Una función es una manera de asociar cada elemento de un conjunto de variables con un elemento de otro conjunto de variables (como en este caso) y se escribe $f(x)$ para representar el número que se le asocia a la variable independiente $x$ .

por ejemplo, en el caso anterior, se tiene:

\begin{eqnarray*} f(0) & = & 0 \\ [.3cm] f(1/4) & = & 6 \\ [.3cm] f(1/2) & = & ... ...f(3/4) & = & 18 \\ [.3cm] f(1) & = & 24\;\;, \quad \mbox{etc.} \end{eqnarray*}
Y en general, $f(x)=24\cdot x$

Se definirán ahora los términos imagen y preimagen de una función: Se dice que la imagen de $x$ , mediante $f$ , es $f(x)$ . por ejemplo: la imagen de 0 es 0, la imagen de 1/4 es 6, la imagen de 3/4 es 18 y así sucesivamente.


Preimagen o imagen inversa:

La preimagen de 12, mediante $f$ es 1/2 porque $f(1/2)=12$
La preimagen de 24, mediante $f$ es 1 porque $f(1)=24$
La preimagen de $f(x)$ es $x$ .





Esta es la propiedad fundamental que define a una función. En el caso del ejemplo anterior, si el ciclista entrenó por 3 horas consecutivas, manteniendo su velocidad constante, el conjunto $A$ sería el intervalo de tiempo entre 0 y 3 horas, el cual se puede representar así: $[0,3]$ . El conjunto $B$ sería el formado por todos los números entre 0 y 72, porque al cabo de 3 horas, el ciclista habrá recorrido $(3)(24)=72$ kilómetros. Este conjunto de números se representa así: $[0,72]$ . El conjunto $A=[0,3]$ es lo que se llama un intervalo de números reales. Cuando se escribe el intervalo de números reales $[0,72]$ se está representando el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a 0 y menores o iguales a 72. Para expresar esta función, se escribe:

\begin{displaymath} \begin{array}{c} f:[0,3] \to [0,72], \\ [.3cm] f(x) = 24x\:, \end{array} \end{displaymath}

y para cada número en el intervalo $[0,3]$ (es decir, para cada instante en el lapso de las 3 horas de entrenamiento) hay una sola imagen en el intervalo $[0,72]$ ( es decir, hay un sólo número de kilómetros recorridos hasta ese momento) y se determina a través de la fórmula: $f(x)=24x$ .

El intervalo $[0,3]$es el llamado Dominio de la función, y el intervalo $[0,72]$ es el Rango.

Hay muchos tipos de funciones, pero el ejemplo anterior es de las llamadas funciones lineales. Tiene ese "apellido" de "lineal" toda función que tenga una representación gráfica en el plano cartesiano que consista en una línea recta, o un segmento de recta.

Una línea recta en el plano cartesiano tiene una ecuación de la forma $\;y=mx+b\;$. La función lineal tendrá, entonces, la forma: $\;f(x)=mx+b\;$ , puesto que ya se vio en el ejemplo anterior, que los puntos graficados en el plano cartesiano a partir de la función $f(x)=24x$ fueron de la forma $(x,f(x))$, es decir, los pares ordenados representados fueron todos aquellos pares $(x,y)$ tales que $y=f(x)$ . Por ejemplo, las funciones siguientes son todas lineales:

\begin{eqnarray*} f(x) & = & 3x - 2 \\ [.3cm] g(x) & = & 5x + 1/2 \\ [.3cm] h(x) & = & -6x +1 \end{eqnarray*}

La función $f(x)=3x-2$ tiene como dominio el conjunto $\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}$ de todos los números reales. Su rango es también $\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}$ .

se escribe entonces: $\;f:\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}\to\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}\;$ , definida por $f(x)=3x-2$. Su representación gráfica es la recta siguiente:

Para cada elemento $x$ en $\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}$ , es decir, para cada número real $x$ , existe una sola imagen, que está también en $\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}$ , y es $f(x)=3x-2$ .

Gráficamente, si se quiere encontrar la imagen de $x=-1$ , se traza una vertical por el punto $(-1,0)$ y se determina la ordenada del punto $c$ donde esta vertical corta a la gráfica de la función, como se muestra a continuación:



Se obtiene así, gráficamente, que la imagen de $x=-1$ , mediante $f$ , es $-5$ . Algebraicamente, se encuentra la imagen, mediante $f$ , de $x=-1$ , sencillamente sustituyendo $x$ por $-1$ en la expresión $f(x)=3x-2$ , es decir:

\begin{displaymath} f(-1) = 3(-1)-2 = -3-2 = -5. \end{displaymath}



Es muy importante, para lograr comprender lo que sigue, tener claro lo expuesto hasta ahora. Si has tenido dificultades con estos ejercicios, revisa de nuevo los ejemplos anteriores en los cuales se calcula la imagen de un elemento tanto algebraicamente como utilizando la gráfica de la función.

Para encontrar gráficamente la preimagen de un elemento mediante una función se procede como en el siguiente ejemplo.

Sea $\;h:\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}\to\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}\;$ definida así: $h(x)=-2x+2$

se determinará, gráficamente, la preimagen de 8. Es decir, hay que encontrar un número $x$ tal que $h(x)=8$ , o, lo que es lo mismo, $-2x+2=8$ .

Pero gráficamente, hay que determinar el punto $c$ de la gráfica que tenga ordenada 8, trazando una horizontal que pase por el punto $(0,8)$ :



Luego, se determina la abscisa del punto $c$ , que es $x=-3$ . algebraicamente. Para determinar el número $x$ que es la preimagen de 8, debe escribirse, como se vió antes: $h(x)=8$ , es decir, $-2x+2=8$ , pues $h(x)=-2x+2$ .

Pero encontrar un número $x$ que satisfaga la expresión $-2x+2=8$ es, sencillamente, resolver una ecuación lineal.

Al resolver la ecuación $-2x+2=8$ se obtiene $-2x=6$ , y luego $x=-3$ .

Entonces, la solución algebraica revela que $x=-3$es la preimagen de 8, coincidiendo con su determinación por la vía gráfica.

En realidad, cualquier ecuación lineal se puede interpretar como la vía algebraica para encontrar la preimagen, mediante una función lineal, de un número cualquiera.

Por ejemplo, al resolver la ecuación

\begin{displaymath} -3+6x = 2 \end{displaymath}
se está encontrando, algebraicamente, la preimagen de 2 mediante la función $f(x)=-3+6x$ .

Resolviendo la ecuación $-3+6x=2$ se obtiene $6x=5$ y luego $x=\displaystyle\frac{5}{6}$ .

De manera que $x=\displaystyle\frac{5}{6}$ es la preimagen de 2 mediante $f$ , porque:

\begin{displaymath} f\left(\frac{5}{6}\right) = -3+6\left(\frac{5}{6}\right) = -3+5 = 2. \end{displaymath}

 

Para dibujar correctamente la representación gráfica de una función lineal, basta con recordar que 2 puntos de una recta son suficientes para determinarla.

Así, por ejemplo, para graficar la función lineal $h(x)=-x+1/2$ , se puede comenzar buscando dos puntos cualesquiera de esa gráfica.

Los puntos de la gráfica de $h$ se determinan dándole valores cualesquiera a la $x$ (variable independiente) y encontrando sus respectivas imágenes $h(x)$ (variable dependiente).

Por ejemplo, se escogen $x=0$ y $x=1$ . Para

\begin{displaymath}x=0,\; h(0)=-(0)+1/2=1/2\;;\end{displaymath}

por lo tanto, un punto de la gráfica es

\begin{displaymath}P:(0,1/2).\end{displaymath}
Ahora, si
\begin{displaymath}x=1,\; h(1)=-(1)+1/2=-1/2\;;\end{displaymath}
por lo tanto, otro punto de la gráfica es
\begin{displaymath}Q:(1,-1/2).\end{displaymath}

se grafican $P$ y $Q$, y se unen por una recta que es la representación gráfica de $h(x)=-x+1/2$ .


La Función Constante.

Hay unas funciones muy elementales, pero muy importantes, entre las funciones lineales. Son las llamadas funciones constantes. Son aquellas funciones de la forma $f(x)=b$ , donde $b$ es cualquier número real.

Si se recuerda que toda recta tiene una ecuación de la forma $y=mx+b$ donde $m$ es la pendiente, entonces se observa que una función constante $f(x)=b$ es una función lineal cuya gráfica es una recta de pendiente igual a cero, porque $m=0$ en este caso. Es decir, es una recta horizontal.

Por ejemplo, la función $f(x)=5$ es la función cuya gráfica es:


se llama la función constante igual a 5, porque para todo $x$ en $\mbox{\sf I}\hspace{-.07cm} \mbox{\sf R}$ , $f(x)=5$ , por ejemplo, $f(0)=5, f(1)=5, f(1.500)=5$ , etc. En este caso, la variable dependiente no varía, sino que permanece constante.

Podría alguien preguntarse por las rectas verticales. ¿Representan funciones lineales también? ¿cuál sería su ecuación?

para responder a la primera pregunta, se puede observar la representación en el plano cartesiano de una recta vertical.


Tal como se ha convenido en representar las funciones lineales en el plano cartesiano, cada punto de la recta es un par ordenado de la forma $(x,f(x))$ . Pero todos los puntos de la recta vertical dibujada son de la forma $(2,y)$ , porque si un punto $\;P:\: (a,b)\;$ del plano tiene abscisa distinta de 2, $P$ no está en la recta $l$ :



y, por otra parte se puede comprobar que si un punto del plano tiene abscisa igual a 2, ese punto está en la recta $l$ .

De manera que, si esa recta representa una función, el dominio de esa función sería el conjunto cuyo único elemento es el número 2.

Por otra parte, la imagen de 2, debería ser un único número real, y esta condición no se cumple en el caso de esa recta, porque hay infinitos puntos de la forma $(2,y)$ en ella:



Por eso, una recta vertical no representa una función lineal. Las únicas rectas en el plano cartesiano que no representan funciones lineales son las rectas verticales.

La ecuación de una recta vertical es de la forma $x=a$ , donde $a$ es un número real. En el caso que se acaba de representar, la ecuación es $x=2$ , porque la característica que tienen todos los puntos del plano que pertenecen a esa recta es que su abscisa es igual a 2.

Existen funciones que no son lineales, y cuyas gráficas no son, por lo tanto, líneas rectas, sino curvas, como por ejemplo:




Estas curvas representan funciones, porque se cumple la propiedad fundamental que define a una función:

Cada número real $x$ tiene una única imagen: $f(x)$ . Esto se comprueba gráficamente con facilidad, puesto que cada línea vertical que se trace en el plano cartesiano cortará a la curva en un único punto. En la siguiente figura, se han trazado tres verticales diferentes y cada una corta a la curva en un sólo punto.


Si se tratara de una curva que no cumple con esa propiedad, como la siguiente, por ejemplo:


entonces el número real $x=1$ tendría 2 imágenes diferentes, que serían las ordenadas de los dos puntos donde la curva corta a la vertical que pasa por $(1,0)$. En ese caso $f(1)=2,5\;$ y $\;f(1)=-2,5$ . Una función nunca puede asignar dos imágenes diferentes a un mismo número, por lo tanto, esa curva no representa a una función.


Bibliografía utilizada:

Porras, O. (2002). Polinomios. Mérida: Ediciones de la Escuela Venezolana de Enseñanza de la Matemática.

Fuentes de fotografias
http://dante.med.utoronto.ca/skeletalmuscle/historypictures2.htm

 


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