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Sistemas de ecuaciones lineales

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 y aportó grandes descubrimientos a la Ciencia de su época, especialmente a la Matemática, pero también a la Física y a la Astronomía.

Cuando tenía 10 años de edad, su maestro de escuela ordenó a los niños que sumaran todos los números del 1 al 100, probablemente para mantenerlos ocupados por un largo rato. Gauss, casi inmediatamente, encontró el resultado: 5.050. Se dice que, para calcular la suma hizo lo siguiente: colocó la suma de los números del 1 al 100 de dos maneras:


Carl Friedrich Gauss

\begin{displaymath} \begin{array}{ccccccccccccccccc} 1&+&2&+&3&+&4&+&\cdots\cd... ...0&+&99&+&98&+&97&+&\cdots\cdots &+&4&+&3&+&2&+&1 \end{array} \end{displaymath}
 

Se dió cuenta de que la suma de cada pareja de números en la misma posición vertical es igual a 101:
\begin{displaymath} 101=1+100=2+99=3+98=\cdots \end{displaymath}

Luego, observó que la suma de todas esas parejas de números es el doble de la suma que estaba buscando, es decir
\begin{displaymath} 1+2+\cdots +97+98+99+100 = \frac{(100)(101)}{2} \end{displaymath}
 

puesto que son 100 veces 101 lo que se obtiene al sumar las dos filas de la manera indicada. Pero $\displaystyle \frac{(100)(101)}{2}$ es un número fácil de calcular:
\begin{displaymath} \frac{10100}{2} = 5.050. \end{displaymath}

A los 19 años, Gauss comenzó a escribir un diario personal que contiene 146 anotaciones sobre resultados matemáticos importantes; ese diario hoy es considerado uno de los documentos más preciosos de la Historia de las Matemáticas. Gauss fue un excelente algebrista.

Cuando se consideran dos rectas distintas en el plano cartesiano, se advierte que hay dos posibilidades:
1) Las dos rectas son paralelas.
 
 
2) Las dos rectas tienen un punto común


Cuando las rectas son paralelas, sus respectivas ecuaciones lo delatan, pues ambas rectas tienen la misma pendiente. Por ejemplo, se tienen las ecuaciones siguientes:

\begin{eqnarray*} y & = & 2x - 1 \\ y & = & 2x + 6 \end{eqnarray*}

Ambas rectas tienen pendiente igual a 2 y por lo tanto, son paralelas, y no tienen ningún punto en común.

Algunas veces, la ecuación de una recta puede darse de una manera distinta a la anterior, en la que está despejada la variable $y$ . Por ejemplo:

\begin{displaymath} 2x+3y-5 = 0 \end{displaymath}
Si se quiere conocer la pendiente de la recta que tiene esa ecuación, debe despejarse la variable $y$ :

\begin{eqnarray*} 3y & = & 5 - 2x \\ y & = & \displaystyle \frac{5-2x}{3} \\ y & = & \displaystyle \frac{5}{3}-\displaystyle \frac{2}{3}x \end{eqnarray*}

Como el coeficiente de la variable $x$ es $-2/3$ , se concluye que la pendiente de esa recta es igual a $-2/3$ .

De manera que, dadas las ecuaciones de dos o más rectas, es conveniente expresar esas ecuaciones con la $y$ despejada, para determinar si son ó no paralelas.


Ahora bien, en el caso de tener dos rectas no paralelas, ¿cómo se determinan las coordenadas del punto que tienen en común?

Por ejemplo, si se tienen las rectas cuyas ecuaciones son $2y=1-x$ , y $x+2-y=0$ , el punto $P$ que pertenece a ambas rectas debe ser tal que sus coordenadas satisfacen ambas ecuaciones.

Si $P$ tiene coordenadas $(a,b)$ , lo que se acaba de decir es que $2b=1-a$ y a la vez $a+2-b=0$ .

Escribiendo estas ecuaciones de otra manera, se obtiene lo siguiente: (despejando a $b$ )

\begin{eqnarray*} b & = & \displaystyle \frac{1-a}{2} \\ b & = & a+2 \end{eqnarray*}

Si $b=\displaystyle \frac{1-a}{2}$ y $b=a+2$ , necesariamente se tendrá que $\displaystyle \frac{1-a}{2}=a+2$ , y por lo tanto,
\begin{eqnarray*} 1-a & = & 2(a+2) \\ 1-a & = & 2a+4 \\ 1 & = & 2a+a+4 \\ 1 & =... ...-3 & = & 3a \\ \displaystyle \frac{-3}{3} & = & a \\ -1 & = & a \end{eqnarray*}

Es decir, para que $\displaystyle \frac{1-a}{2}$ sea igual a $a+2$ , es necesario que $a$ sea igual a $-1$ , y en ese caso, se tendría:

\begin{eqnarray*} b & = & a+2 \\ b & = & (-1)+2 \\ b & = & 1 \end{eqnarray*}

Como $(a,b)$es el punto común de las rectas dadas, resulta que ese punto es $(-1,1)$ .

Representando gráficamente ambas rectas, se obtiene lo siguiente:

 

Se observa que el punto $P$ que es común a ambas rectas, tiene coordenadas $(-1,1)$ , tal como se dedujo algebraicamente.

El método algebraico es llamado "el método de sustitución", porque consiste en:


1
 Despejar una de las variables en las dos ecuaciones:
De las ecuaciones $\left\{\begin{array}{l} 2b=1-a \\ a+2-b=0 \end{array}\right.$ se pasó a las ecuaciones equivalentes $\left\{\begin{array}{l} b=\displaystyle \frac{1-a}{2} \\ b=a+2 \end{array}\right.$
2
Sustituir a la variable $b$ por $\displaystyle \frac{1-a}{2}$ en la segunda ecuación, y así resulta:   \begin{displaymath} \frac{1-a}{2} = a+2 \end{displaymath}
3
Se resuelve la ecuación anterior para encontrar el valor de $a$ que la satisface (en este caso $a=-1$ ) y luego se sustituye ese valor $a=-1$ en cualquiera de las ecuaciones originales (en este caso se sustituyó en $b=a+2$ ), para obtener: \begin{displaymath} b=-1+2=1 \end{displaymath}
Si se hubiera sustituido $a$ por $-1$ en la otra ecuación: $b=\displaystyle \frac{1-a}{2}$ , se hubiera obtenido
\begin{displaymath} b=\frac{1-(-1)}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{displaymath}

El mismo resultado para $b$ se obtiene sustituyendo $a=-1$ en cualquiera de las dos ecuaciones.

Las ecuaciones $\left\{\begin{array}{l} b=a+2 \\ b=\displaystyle \frac{1-a}{2}\end{array}\right.$ constituyen lo que se llama un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas. Las incógnitas son $a$ y $b$ , las cuales representan, geométricamente, las coordenadas del punto donde se intersectan las rectas representadas por las dos ecuaciones lineales dadas.

Un segundo método algebraico muy utilizado para resolver sistemas de 2 ecuaciones con dos incógnitas es el llamado "método de suma y resta".



Representando gráficamente estas dos rectas, se obtiene:


En la resolución de ciertos problemas prácticos, puede surgir la necesidad de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Por ejemplo:
Dos personas viajan, una desde Mérida hasta una finca que queda a 90 Kms. de distancia. La otra, desde esa misma finca hasta Mérida, y salen a la misma hora. Ambos viajan en automóvil a 60 Kms. por hora, y se quiere saber exactamente en qué momento se encontrarán, es decir, cuánto tiempo habrá transcurrido en el instante en que se encuentran en el camino.

Si se usa el plano cartesiano para representar las trayectorias de los dos viajeros, colocando en el eje de las abscisas el tiempo transcurrido desde el inicio del viaje, y en el de las ordenadas la distancia que separa al viajero de la ciudad de Mérida, se obtiene lo siguiente:


El punto de encuentro entre los dos viajeros será aquel en el cual ambos viajeros estén a igual distancia de Mérida. Gráficamente, se obtiene ese punto como la intersección $(P)$ de los dos segmentos de recta, ubicados en un mismo sistema de coordenadas cartesianas:

 

 

Para encontrar las coordenadas del punto $P$ , hay que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenido al escribir las ecuaciones de las dos rectas cuyos segmentos representan las trayectorias de los dos viajeros.

Para encontrar esas dos ecuaciones, hay que determinar la pendiente de esas rectas.

Viajero 1:

Dos puntos del segmento $(0,0)$ y $(3/2,90)$
Pendiente
Ecuación $y-0=60(x-0)$

Viajero 2:

Dos puntos del segmento $(0,90)$ y $(3/2,0)$
Pendiente
Ecuación $y-90=-60(x-0)$

Sistema de ecuaciones a resolver: $\left\{\begin{array}{ccl} y & = & 60x \\ y & = & -60x+90\end{array}\right.$

Usando el método de suma y resta, sencillamente se suman ambas ecuaciones y se obtiene $2y=90$, porque $-60x+60x=0$. Por lo tanto    \begin{displaymath} y=45 \end{displaymath}

Sustituyendo $y=45$ en la primera ecuación, se obtiene $45=60x$ , y por lo tanto $\displaystyle \frac{45}{60}=x$ , luego,
\begin{displaymath} \frac{3}{4}=x \end{displaymath}

Es decir, el punto $P$ de la gráfica anterior, tiene coordenadas $(3/4,45)$ . Esto significa que los dos viajeros se encontraron cuando habían transcurrido $3/4$ de hora de su viaje, y estaban, en ese momento, a 45 Kms. de distancia de Mérida.


El último de los ejercicios planteados es un ejemplo de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que no tienen solución. Son aquellos en los que se involucran rectas que no tienen ningún punto de intersección, es decir, son rectas paralelas.

Siempre que se determine que las pendientes de ambas rectas coinciden, se concluye inmediatamente que el sistema no tiene solución.


Bibliografía recomendada:
 García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998). Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Fuentes de fotografias
http://www.math.uni-hamburg.de/math/ign/gauss/gaussbio.html

 
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