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Ecuaciones Cuadráticas


Las ecuaciones lineales y cuadráticas fueron estudiadas por los babilonios, como lo revelan algunas tablas de arcilla que datan del año 2.100 a.C.

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es una ecuación en la cual la incógnita está elevada al cuadrado, y no está elevada a exponentes mayores que 2. El siguiente problema aparece en una tabla de arcilla de Babilonia, y para su solución se recurre a una ecuación cuadrática:

"Una viga de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro. Si la extremidad superior de la viga se coloca 6 unidades más abajo, ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la viga?''


Para la solución de este problema, los babilonios usaban el Teorema de Pitágoras, pues ellos conocían el Teorema, aunque muy probablemente no conocían ninguna demostración del mismo.

El triángulo que se obtiene en la figura de arriba es rectángulo, y se conocen las medidas de dos de sus lados: la hipotenusa (mide 30 unidades, pues representa la viga) y el cateto vertical, que mide 24 unidades. El cateto horizontal, que representa el segmento recorrido por la extremidad inferior de la viga, es la incógnita.

Gracias al Teorema de Pitágoras, se puede asegurar que

\begin{displaymath}
x^2+24^2=30^2
\end{displaymath}

Estamos en presencia de una ecuación cuadrática, o ecuación de segundo grado.

Se denomina "cuadrática" por estar la incógnita elevada al cuadrado.

La otra denominación que tienen estas ecuaciones: "de segundo grado" se debe a que, en general, se llama "grado de una ecuación" al mayor exponente al cual esté elevada la incógnita en esa ecuación.

 


Volviendo a la ecuación de segundo grado que surgió a raíz del problema babilonio, se tiene:

\begin{displaymath}
x^2+24^2=30^2
\end{displaymath}
Resolviendo, se obtiene :
\begin{eqnarray*}
x^2 & = & 30^2-24^2 \\ x^2 & = & 900-576 \\ x^2 & = & 324
\end{eqnarray*}

La solución de la ecuación es, entonces, aquel número que, elevado al cuadrado, sea igual a 324.

Como se sabe que todo número negativo elevado al cuadrado es un número positivo, hay dos soluciones para la ecuación:

\begin{eqnarray*}
x_1 & = & 18 \\ x_2 & = & -18
\end{eqnarray*}

En efecto,

\begin{displaymath}
18^2 = 324
\end{displaymath}

y
\begin{displaymath}
(-18)^2 = 324
\end{displaymath}
Pero los babilonios no conocían los números negativos, y, además, siendo la incógnita $x$ una representación del tamaño de un segmento, $x$ no puede ser un número negativo.

Así, la solución al problema es $x=18$ , pues $\sqrt{324}=18$ . en otras palabras, la extremidad inferior de la viga se desplazó 18 unidades cuando su extremidad superior descendió 6 unidades.

Muchos otros problemas geométricos, cuya solución requería de una ecuación de segundo grado, fueron resueltos por los babilonios muy hábilmente.

 

El ejemplo del problema babilonio, que conducía a la ecuación $x^2+24^2=30^2$ , presenta una ecuación cuadrática de las más sencillas de resolver, pues solo contiene la incógnita al cuadrado y números que se agrupan para dar paso a una ecuación del tipo

\begin{displaymath}
x^2=a
\end{displaymath}
(en este caso se obtuvo $x^2=324$ ) y la solución final se encuentra al determinar $\sqrt{a}$ , siempre que $a$ sea un número positivo, puesto que si $a$ es negativo, no existe ningún número real que, elevado al cuadrado, dé un número negativo.

De nuevo, si se determina $\sqrt{a}$ , entonces se tiene que la ecuación $x^2=a$ tiene dos soluciones:

\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \sqrt{a} \\ x_2 & = & -\sqrt{a}
\end{eqnarray*}
porque
\begin{displaymath}
x_1^2 = \Big(\sqrt{a}\Big)^2 = a
\end{displaymath}
y
\begin{displaymath}
x_2^2 = \Big(-\sqrt{a}\Big)^2 =
\Big(-\sqrt{a}\Big)\Big(-\sqrt{a}\Big) =
+\left(\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}\right) = a.
\end{displaymath}


Hay ecuaciones cuadráticas menos sencillas que la anterior, y son las del tipo

\begin{displaymath}
ax^2+bx+c=0
\end{displaymath}

donde $a, b$ y $c$ son números reales y $a\neq 0,\: b\neq 0$ .

Las ecuaciones A, B y C son ecuaciones cuadráticas.  

En la ecuación B, se tiene que los términos están escritos como en la ecuación general:

\begin{displaymath}
ax^2+bx+c=0
\end{displaymath}
donde $a=3,\: b=-6\:$ y $\:c=10$ .  

La ecuación A se puede reordenar de manera que tenga la misma forma que la ecuación B:

\begin{displaymath}
5x^2-2x-1 = 0
\end{displaymath}
Igualmente, se reordena C:
\begin{displaymath}
x^2+3x-4 = 0
\end{displaymath}

Incluso, puede presentarse una ecuación cuadrática de la manera siguiente:
\begin{displaymath}
(x-2)^2 = 9
\end{displaymath}

El lado izquierdo de la ecuación es sencillamente
\begin{displaymath}
(x-2)^2 = (x-2)(x-2)
\end{displaymath}

Aplicando la propiedad distributiva, se obtiene
\begin{displaymath}
(x-2)(x-2) = x^2-2x-2x+4 = x^2-4x+4
\end{displaymath}

Así, resulta que
\begin{displaymath}
(x-2)^2 = x^2-4x+4
\end{displaymath}

Luego, la ecuación
\begin{displaymath}
(x-2)^2 = 9
\end{displaymath}

es equivalente a la siguiente:
\begin{displaymath}
x^2-4x-5 = 0
\end{displaymath}
 
Cuando la ecuación es dada de la forma $(x-2)^2=9$ se facilita, en muchos casos, la solución, pues basta con encontrar un número que, al restarle 2, sea igual a $\sqrt{9}$ . Como $\sqrt{9}=\pm 3$ , entonces resultan las dos ecuaciones lineales

se obtiene ahora:
Estas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática

\begin{displaymath}
(x-2)^2=9 \qquad\mbox{\'{o}}\qquad x^2-4x-5=0
\end{displaymath}

Esto se comprueba fácilmente, sustituyendo cada uno de estos valores en cualquiera de las dos expresiones equivalentes de la ecuación.


Por ejemplo, al sustituir $x_1=5$ en $x^2-4x-5$, se obtiene:

\begin{displaymath}
5^2-4(5)-5 = 25-20-5 = 0
\end{displaymath}
Al sustituir $x_2=-1$ :
\begin{displaymath}
(-1)^2-4(-1)-5 = 1+4-5 = 0
\end{displaymath}

Si se presenta ahora la ecuación
\begin{displaymath}
(x+3)^2 = 64
\end{displaymath}

de nuevo se observa que el lado izquierdo representa el producto $(x+3)(x+3)$ y aplicando la ley distributiva de la multiplicación respecto a la suma, se obtiene:

\begin{displaymath}
(x+3)(x+3) = x^2+3x+3x+9 = x^2+6x+9
\end{displaymath}

Así, la ecuación $(x+3)^2=64$ es equivalente a

\begin{displaymath}
x^2+6x+9=64 \qquad\mbox{\'{o}}\qquad x^2+6x-55=0
\end{displaymath}

Es bueno resaltar aquí el hecho siguiente: los productos de la forma
\begin{displaymath}
(x+a)(x+a) = (x+a)^2
\end{displaymath}
y
\begin{displaymath}
(x-b)(x-b) = (x-b)^2
\end{displaymath}
son llamados productos notables y, como se vio en los ejemplos anteriores, se pueden expresar de la siguiente manera:
\begin{eqnarray*}
(x+a)^2 & = & x^2+2(a)(x)+a^2 \\ (x-b)^2 & = & x^2-2(b)(x)+b^2
\end{eqnarray*}
La razón por la cual estas igualdades son ciertas es que, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, se obtiene lo siguiente:
\begin{eqnarray*}
(x+a)^2 & = & (x+a)(x+a) = x^2+ax+ax+a^2 = x^2+2(ax)+a^2 \\
(x-b)^2 & = & (x-b)(x-b) = x^2-bx-bx+b^2 = x^2-2(bx)+b^2
\end{eqnarray*}

De manera que la expresión $(x+7)^2$ es igual a
\begin{displaymath}
x^2+2(7)(x)+7^2 = x^2+14x+49
\end{displaymath}

Nunca debe cometerse el error de escribir
\begin{displaymath}
(x+7)^2 = x^2+7^2
\end{displaymath}

La geometría ayuda a convencer a los incrédulos de que

\begin{displaymath}
(x+7)^2 \neq x^2+7^2,
\end{displaymath}

cualquiera que sea el número positivo representado por $x$ .


Si se tienen los cuadrados siguientes, cuyos lados son 7 y $x$ , respectivamente:

Resulta que el área total que encierra esa figura es igual a

\begin{displaymath}
x^2+7^2
\end{displaymath}

pues el área de un cuadrado es igual al cuadrado de su lado.

Ahora bien, se construye sobre la figura anterior un cuadrado de lado $x+7$ (ver figura de la izquierda)


El área del cuadrado recién construido es igual a $(x+7)^2$ , pero también se puede expresar como la suma de las áreas 1,2,3 y 4 señaladas.

Área 1 = $7^2$   Área 3 = $7\cdot x$
Área 2 = $x^2$   Área 4 = $7\cdot x$

por lo tanto,

\begin{displaymath}
(x+7)^2 = 7^2+x^2+7x+7x = x^2+2(7x)+7^2 = x^2+14x+49
\end{displaymath}

La Geometría fue, durante muchos siglos, una magnífica compañera del Álgebra. El famoso matemático griego Euclides desarrolló en el siglo IV a.C. unos interesantes métodos para resolver ecuaciones algebraicas con ayuda de la Geometría. A esta disciplina se le llamó "Álgebra Geométrica".

A continuación se mostrará uno de los ingeniosos métodos del Álgebra Geométrica usados para resolver ecuaciones de segundo grado.

Se tiene la ecuación cuadrática

\begin{displaymath}
x^2+8x = 48
\end{displaymath}

En el tiempo de Euclides, esta ecuación se planteaba con palabras, no con los símbolos que ahora se usan. El planteamiento de la ecuación era algo así: "Si el área de un cuadrado más 8 veces el lado es igual a 48, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?"

como la incógnita es el lado del cuadrado, y se le asigna a la incógnita el símbolo $x$ , resulta que el área del cuadrado en cuestión es igual a $x^2$ .

Geométricamente, la ecuación se puede interpretar así:



La suma de las áreas del cuadrado y el rectángulo es igual a 48 unidades, según la ecuación.

Pero si ahora se divide el rectángulo en 4 partes iguales:


Cada pedazo del rectángulo dividido puede anexarse al cuadrado de lado $x$ (ver imagen de la izquierda)

 

El área de esta figura es igual a 48 unidades.

Para encontrar el valor de $x$ , se hace lo siguiente:

se completa la figura para obtener un cuadrado.

Cada trozo agregado en las esquinas de la figura anterior es un cuadrado de lado 2.

Así, a la suma de áreas que se tenía, se han agregado las áreas de 4 cuadrados de lado 2:

\begin{displaymath}
x^2+8x+4(2^2)
\end{displaymath}

como en toda ecuación, debe sumarse al otro lado de la igualdad esa misma cantidad para obtener una ecuación equivalente:
\begin{displaymath}
x^2+8x+4(2^2)=48+4(2^2)
\end{displaymath}

es decir, $x^2+8x+16=64$ .

esto significa que el área del cuadrado nuevo es igual a

\begin{displaymath}
x^2+8x+16
\end{displaymath}

y también igual a 64 unidades.

Pero el área del cuadrado grande es igual al lado elevado al cuadrado, y el lado de ese cuadrado es igual a $x+2+2=x+4$ . por lo tanto, su área es igual a

\begin{displaymath}
(x+4)^2
\end{displaymath}

en otras palabras,
\begin{displaymath}
(x+4)^2 = 64
\end{displaymath}

como$64=8^2$ y también $64=(-8)^2$ , se tiene que hay dos posibles soluciones:    
1
$x+4=8$
2
$x+4=-8$

De nuevo, $x+4$ representa la medida de un segmento y por eso no puede ser negativa, así es que se toma, en este caso, sólo la solución 1 (tal y como lo hacían los griegos).

Entonces $x+4=8$ , por lo tanto $x=4$ es la solución positiva de la ecuación.

Para encontrar la otra solución de la ecuación, se toma la ecuación 2:

\begin{eqnarray*}
x+4 & = & -8 \\ x & = & -12
\end{eqnarray*}

De manera que $x_1=4$ y $x_2=-12$ son las soluciones de la ecuación original.

Ejercicio:

Sustituye los valores $x_1=4$ y $x_2=-12$ en la ecuación original para que verifiques que ambos son soluciones de la misma.


Este método para resolver ecuaciones cuadráticas se llama el método de la completación de cuadrados, porque se completa un cuadrado geométricamente, y también se realizan operaciones algebraicas en la ecuación, que la transforman en una ecuación del tipo

\begin{displaymath}
(x+m)^2 = n
\end{displaymath}

Partiendo de una ecuación del tipo
\begin{displaymath}
x^2+bx+c=0
\end{displaymath}

en el ejemplo anterior, la ecuación
\begin{displaymath}
x^2+8x=48\qquad\mbox{\'{o}}\qquad x^2+8x-48=0
\end{displaymath}

se escribió como sigue:
\begin{displaymath}
(x+4)^2 = 64
\end{displaymath}

Se dice que "se completó un cuadrado" porque se logró obtener la expresión $(x+4)^2$ , que es el cuadrado de un número, sumando en ambos miembros de la ecuación una cantidad apropiada, en este caso, 16.

Si se desea, se puede completar un cuadrado algebraicamente, sin hacer la construcción geométrica que le corresponde, como en el ejemplo siguiente:

\begin{displaymath}
x^2+6x-16=0
\end{displaymath}

Se observa que, para obtener una expresión de la forma $(x+m)^2$ a partir de la expresión $x^2+6x$ , necesariamente $m$ debe ser igual a 3, puesto que $6=2\cdot 3$ , y así,
\begin{displaymath}
(x+3)^2 = x^2 + 2(3)(x) + 9 = x^2+6x+9
\end{displaymath}

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación original:

\begin{eqnarray*}
x^2+6x+9-16 & = & 9+0 \\ x^2+6x+9 & = & 16+9 \\ (x+3)^2 & = & 25
\end{eqnarray*}

La expresión $x^2+6x$ se ha completado para formar un cuadrado, en este caso, $(x+3)^2$ y así la ecuación se resuelve con facilidad, pues se obtiene:
1
$x+3=5$
2
$x+3=-5$

(pues $\;5^2=25\;$ y $\;(-5)^2=25$ ).

La ecuación 1 da $x=2$ y la ecuación 2 da $x=-8$ .

La construcción geométrica correspondiente, es la siguiente:


El rectángulo que se observa a la derecha se dividió en 4 partes iguales:


Estos rectángulos de lados $3/2$ y $x$ fueron anexados al cuadrado de lado $x$ .

Se completa el cuadrado, agregando 4 cuadrados de lado igual a $3/2$ en cada esquina:

\begin{eqnarray*}
x^2+6x+4\left(3/2\right)^2 & = & 16+5\left(3/2\right)^2 \\
x^2+6x+9 & = & 16 + 9 \\ (x+3)^2 & = & 25.
\end{eqnarray*}


Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas se pueden hallar a través de muchos métodos distintos. El anterior es sólo uno de tantos, y es apropiado para resolver con gran facilidad ecuaciones del tipo $x^2+bx+c=0$ , es decir, $a=1$ .

Pero existe una fórmula, llamada la fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, que es aplicable a todas las ecuaciones cuadráticas

\begin{displaymath}
ax^2+bx+c=0\;,\quad \mbox{con}\; a\neq 0.
\end{displaymath}

Esta fórmula es muy útil, sobre todo cuando otros métodos resultan complicados. Es la siguiente:
 
\begin{displaymath}
x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{displaymath} \begin{displaymath}
x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{displaymath}

En algunos textos aparecen las dos fórmulas anteriores en una sola:

\begin{displaymath}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{displaymath}

hay varios datos acerca de las soluciones de una ecuación cuadrática que se pueden deducir de esta fórmula.
1)  Es posible que no existan soluciones en el conjunto de los números reales. Esto sucede cuando $b^2-4ac$ es negativo. En ese caso $\sqrt{b^2-4ac}$ no es un número real, porque ya se sabe que todo número real elevado al cuadrado, es positivo. (Radicación)

Por ejemplo, en la ecuación $3x^2+2x+8=0$ , se tiene:
\begin{displaymath}
a=3,\quad b=2,\quad c=8
\end{displaymath}

La fórmula en este caso da lo siguiente:
\begin{eqnarray*}
x & = & \frac{-2\pm\sqrt{4-4(3)(8)}}{2(3)} \\ [.5cm] x &
=...
...m\sqrt{4-96}}{6} \\ [.5cm] x & = &
\frac{-2\pm\sqrt{-92}}{6}
\end{eqnarray*}
como$\sqrt{-92}$ no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales.

2) Es posible que exista una única solución. Esto ocurre cuando $b^2-4ac=0$ en ese caso,

\begin{displaymath}
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}
\end{displaymath}

Por ejemplo:

$x^2+8x+16=0$

aplicando la fórmula, se obtiene:

\begin{displaymath}
x=\frac{-8\pm\sqrt{64-4(16)}}{2}
\end{displaymath}

pero $4(16)=64$ , y así sólo queda

\begin{displaymath}
x=\frac{-8}{2}=-4.
\end{displaymath}

Las soluciones $x_1$ y $x_2$ de la ecuación cuadrática se llaman también raíces de la ecuación.

Cuando $x_1$ y $x_2$ existen y son diferentes, como en el caso en que $b^2-4ac>0$ , se dice que $x_1$ y $x_2$ son raíces simples.

Cuando $x_1=x_2$ , se dice que $x_1$ es una raíz doble. Es el caso en que $b^2-4ac=0$ .
Ya se vio que, en el caso en que $b^2-4ac<0$ no hay raíces reales. Es por esto que el número $b^2-4ac$ tiene mucha importancia en la solución de ecuaciones cuadráticas. Se llama el discriminante de la ecuación.



Es importante encontrar la vía que muestra la equivalencia entre los distintos métodos para determinar las soluciones de una ecuación cuadrática.

Por ejemplo, si se tiene una ecuación del tipo

\begin{displaymath}
x^2+bx+c=0
\end{displaymath}

(es decir, donde $a=1$ ), al aplicar la fórmula general se obtiene

\begin{displaymath}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}
\end{displaymath}
 

esto se puede transformar en la fórmula equivalente:

\begin{displaymath}
x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}
\end{displaymath}

o
\begin{displaymath}
x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
\end{displaymath}

Cuando se resuelve la misma ecuación
\begin{displaymath}
x^2+bx+c=0
\end{displaymath}

a través de una completación de cuadrados, se hace lo siguiente:
\begin{displaymath}
x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2 = -c+\left(\frac{b}{2}\right)^2
\end{displaymath}
 

Así, se obtiene del lado izquierdo de la igualdad el cuadrado perfecto, y la ecuación se transforma en:
\begin{displaymath}
\left(x+\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4}-c
\end{displaymath}
 

esto significa que
\begin{displaymath}
x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
\end{displaymath}
 

y finalmente, se obtiene
\begin{displaymath}
x=\frac{-b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}
\end{displaymath}

El saber que esta fórmula es equivalente a la fórmula general en el caso en que $a=1$ , nos garantiza que el método de la completación de cuadrados producirá las mismas soluciones que el uso de la fórmula general.

Aunque ya los babilonios, hace unos 4.000 años, conocían la manera de encontrar la solución positiva de una ecuación cuadrática del tipo

\begin{displaymath}
x^2-bx=c\;,\;\;\mbox{con}\; b>0, c>0
\end{displaymath}
 

el método empleado era descrito en palabras al estilo de una receta y no se estableció la fórmula general que hoy conocemos, sino hasta el siglo XVI, cuando se introdujeron los símbolos necesarios para expresar fórmulas algebraicas.



Bibliografía recomendada:
Porras, O. (2002). Polinomios. Mérida: Ediciones de la Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

 
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