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La Función Cuadrática

Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada "La Edad de Oro" del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1.200 d.C. aproximadamente.

Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y la Trigonometría.

El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.


Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi

François Viète

En su tratado sobre Álgebra, al-Khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado en palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.

Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron a introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue François Viète (1540-1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulsó enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4.



Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente:

\begin{displaymath} f(x) = ax^2+bx+c \end{displaymath}

donde $a,b$ y $c$ son números reales, y $a\neq 0$ .

Por ejemplo, las siguientes son todas funciones cuadráticas:

\begin{displaymath} \begin{array}{ccll} f(x) & = & 3x^2-x+2 & (a=3,\; b=-1,\; ... ... \\ [.3cm] j(x) & = & x^2 & (a=1,\; b=0,\; c=0) \end{array} \end{displaymath}
 
 
Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contado a partir del momento en que fue lanzada.

La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.

Si se obtiene, en un caso específico, la función

\begin{displaymath} f(x)=-2x^2+8x \end{displaymath}

entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:
\begin{displaymath} f(0)=-2(0)^2+8(0)=0 \end{displaymath}


Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace $x=1$ y se calcula

\begin{displaymath} f(1)=-2(1)^2+8(1)=-2+8=6 \end{displaymath}

y cuando han transcurrido 2 segundos:
\begin{displaymath} f(2)=-2(2)^2+8(2)=-8+16=8 \end{displaymath}

Puede hacerse una tabla como la que se muestra a la derecha.

$x$
$f(x)$
0
0
1
6
2
8
3
6
4
0


De la gráfica de la interactividad anterior pueden inferirse varias cosas acerca del fenómeno en cuestión, entre ellas:

1)  La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada. 

2)  La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.

3)  La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento). Esto se puede ver al calcular la cantidad de metros que subió desde el segundo 0 hasta el segundo 1, que es $f(1)-f(0)=6-0=6$ metros, y compararla con la cantidad de metros que subió entre los segundos 1 y 2:

\begin{displaymath} f(2)-f(1)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}

Luego ocurre algo curioso, entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros:
\begin{displaymath} f(2)-f(3)=8-6=2\;\mbox{metros} \end{displaymath}

Y entre los segundos 3 y 4 vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo:

\begin{displaymath} f(3)-f(4)=6-0=6\;\mbox{metros.} \end{displaymath}

esto se refleja gráficamente en la simetría de la curva con respecto a la recta vertical $x=2$ .

Decir que esta curva es simétrica respecto a la recta $x=2$ , significa que si se rotara el plano tomando la recta como eje, de manera que todo lo que está a la izquierda de la recta pase a la derecha y viceversa, se obtendría una curva idéntica a la original.

En otras palabras, si un observador imaginario, diminuto, se situara en algún punto de la recta, lo que vería de la curva al mirar hacia la izquierda, sería idéntico a lo que vería a su derecha.

En términos algebraicos, se tiene que la imagen, por medio de la función $f(x)=-2x^2+8x$ , de dos números que estén a la derecha y a la izquierda de 2 y a la misma distancia de 2, debe ser la misma.

Por ejemplo, los números $\frac{1}{2}$ y $\frac{7}{2}$ son equidistantes de 2, pues

\begin{displaymath} 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \qquad\mbox{y}\qquad \frac{7}{2}-2=\frac{3}{2} \end{displaymath}
Y sus imágenes son iguales:
\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{2}\right) & = & -2\left(\frac{1}{2}\right)^2 ... ...frac{7}{2}\right)^2 + 8\left( \frac{7}{2}\right) = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}

Ejercicio: comprueba algebraicamente la simetría respecto a la recta $x=2$ , de la curva representada, tomando varias parejas de números equidistantes del 2 y calculando sus imágenes.

La curva obtenida es una parte de una curva llamada parábola; todas las funciones cuadráticas tienen como representación gráfica en el plano cartesiano, una parábola.

Ejemplos de funciones cuadráticas

1.-$f(x)=(x-1)(2x+3)=2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3$


2.-$f(x)=3+x^2$

3.-$f(x)=1-2x-x^2$

4.-$f(x)=x^2-6x+10$

En una parábola se distinguen algunos elementos importantes:

El vértice.

Es el punto de ordenada mínima si la parábola abre hacia arriba, y es el de ordenada máxima si abre hacia abajo.

En los ejemplos anteriores, los vértices son

1) $\;\left(\displaystyle \frac{-1}{4},\displaystyle \frac{-25}{8}\right)$         2) $\; (0,3)$         3) $\; (-1,2)$         4) $\; (3,1)$

en general, si una función cuadrática tiene la expresión

\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}

las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente son:

\begin{displaymath} \left(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}\right) \end{displaymath}

Ejercicio:

Comprueba que los vértices de las cuatro parábolas dadas corresponden a los puntos dados, haciendo el cálculo de las coordenadas

\begin{displaymath}\left( \displaystyle \frac{-b}{2a},c-\displaystyle \frac{b^2}{4a} \right)\end{displaymath}
en cada caso.

Los puntos de corte con los ejes.

Con el eje de las ordenadas hay un solo punto de corte. No puede haber más de uno cuando la parábola representa a una función cuadrática, puesto que el punto de corte con el eje de las ordenadas es el punto cuyas coordenadas son $(0,f(0))$ . Entre las propiedades de una función está la que asegura la unicidad de la imagen de cada elemento.

Por ejemplo, en la función (1), $f(x)=2x^2+x-3$ , el punto de corte con el eje de las ordenadas es $(0,f(0))$ , donde

\begin{displaymath} f(0)=2(0)^2+0-3=-3 \end{displaymath}

es decir, es el punto $(0,-3)$ .

Este punto está muy cerca del vértice, pero no coincide con él.

En la función (2), $f(x)=3+x^2$ , el punto de corte con el eje de las ordenadas sí coincide con el vértice, pues

\begin{displaymath} f(0)=3 \end{displaymath}
  y por lo tanto el punto es $(0,3)$

 
Para encontrar los puntos de corte con el eje de las abscisas, hay que observar lo siguiente: puede haber un sólo punto de corte, dos puntos de corte, o ninguno.

Para reflexionar: observando las gráficas de las funciones cuadráticas propuestas como los ejemplos 1, 2, 3 y 4, intenta explicar por qué es posible que alguna de esas tres situaciones ocurra, y por qué no podría haber más de dos cortes con el eje de las abscisas.

Si se busca el punto de corte con el eje de las abscisas de una parábola que representa a la función

\begin{displaymath}f(x)=ax^2+bx+c\;,\end{displaymath}
 

en realidad se quiere saber cuál es el (o los) números $x$ que satisfacen $f(x)=0$ , pues todo punto de la parábola tiene coordenadas $(x,f(x))$ , y si uno de estos puntos está sobre el eje de las abscisas, será de la forma $(x,0)$ .

Pero decir que $f(x)=0$ es lo mismo que decir:

\begin{displaymath} ax^2+bx+c=0 \end{displaymath}
 

Las soluciones de esta ecuación cuadrática pueden ser 2 distintas, 1 solución doble, o ninguna real. .


Los ejemplos 1 y 3 anteriores muestran parábolas con dos puntos de corte con el eje de las abscisas.

Los ejemplos 2 y 4 son parábolas sin cortes con el eje de las abscisas.

En el caso de la función 1, se obtiene la ecuación cuadrática

\begin{displaymath} 2x^2+x-3=0 \end{displaymath}
 

Esta se puede resolver aplicando la fórmula general:

\begin{eqnarray*} x & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ [.5cm] x & = & \... ...{-3}{2} \\ [.5cm] x_2 & = & \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \end{eqnarray*}


También se podría, para resolver la ecuación, utilizar la expresión factorizada del trinomio

\begin{displaymath} 2x^2+x-3=(x-1)(2x+3) \end{displaymath}

Si se desean determinar las soluciones de
\begin{displaymath} (x-1)(2x+3)=0 \end{displaymath}

basta con observar que, para que un producto sea igual a 0, uno de los factores (al menos) debe ser igual a 0. Así, se obtienen las dos ecuaciones

\begin{displaymath} x-1=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=1$} \end{displaymath}
 

y
\begin{displaymath} 2x+3=0\;,\quad \mbox{luego $\; x=\displaystyle \frac{-3}{2}$} \end{displaymath}

Las parábolas de los ejemplos 2 y 4 no tienen puntos de corte con el eje de las abscisas, porque el discriminante $b^2-4ac$ es negativo en ambos casos:

2 $f(x)=3+x^2$
$b^2-4ac=0^2-4(1)(3)=-12$
 
4 $f(x)=x^2-6x+10$
$b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)= 36-40=-4$
 


Eso nos indica que las ecuaciones

\begin{displaymath} 3+x^2=0 \qquad\mbox{y}\qquad x^2-6x+10=0 \end{displaymath}
 

no tienen soluciones reales.


 

Para terminar, plantearemos un problema práctico cuya solución requiere del uso de una función cuadrática.

Se quiere determinar las medidas del rectángulo de área máxima, con perímetro de 20 cm.

Sea $x$ el lado mayor y $y$ el lado menor del rectángulo de área máxima y perímetro igual a 20 cm.


Como el perímetro del rectángulo es

\begin{displaymath} x+y+x+y=2x+2y \end{displaymath}
se tiene que

\begin{displaymath} 2x+2y=20 \end{displaymath} (1)

por otra parte, el área del rectángulo es igual a

\begin{displaymath} x\cdot y \end{displaymath} (2)

Despejando $y$ en la ecuación (1), se obtiene
\begin{displaymath} y=\frac{20-2x}{2} = 10-x \end{displaymath}

Sustituyendo esta expresión de $y$ en el producto (2), se obtiene, como área del rectángulo, lo siguiente:
\begin{displaymath} x(10-x)=10x-x^2 \end{displaymath}

Es decir, para cada rectángulo cuyo lado mayor es igual a $x$ y cuyo perímetro es igual a 20 cm., el área será igual a $10x-x^2$ .

Se tiene, entonces, una función cuadrática, que puede llamarse $A$ , y se escribe

\begin{displaymath} A(x)=10x-x^2. \end{displaymath}
 

Como toda función cuadrática donde el coeficiente del término cuadrático es negativo (en este caso es $-1$ ), su gráfica es una parábola que abre hacia abajo, y es sabido que el punto de máxima ordenada de esa parábola es su vértice.


Las coordenadas del vértice son $(5,25)$ (¡compruébelo!) y como la función $A$ fue definida de tal manera que la variable independiente $x$ representa el lado mayor de un rectángulo de perímetro 20 y $A(x)$ representa el área de ese rectángulo, se tiene que el área máxima $25\;cm^2\;$ corresponde al rectángulo que tiene lado mayor igual a 5.

Como $y=10-x$ , se tiene que el lado menor es $y=10-5=5$ .

se trata, entonces de un cuadrado, pues ambos lados tienen la misma medida.

Se concluye así que el rectángulo de área máxima entre todos los que tienen perímetro igual a 20 cm., es el cuadrado de lado 5, cuya área es $25\;cm^2$ .


Bibliografía recomendada:

Corbalán, F. (1998) La Matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona: Editorial Graó, de Serveis Pedagogics.
Porras, O. (2002). Polinomios. Mérida: Ediciones de la Escuela Venezolana de Enseñanza de la Matemática.


Fuentes de fotografias
http://www.cenius.net/refer/articles/a/alkhwarizmi_bio/alkwarizmi_bio01.gif
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/BigPictures/Viete.jpeg
 
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