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Rectas Paralelas y Secantes

Euclides nació en Grecia a finales del siglo IV a.C. y estudió en la Academia fundada por Platón.

Aunque se le conoce más por su obra "Elementos", donde expone brillantemente la Matemática que hasta aquel momento habían desarrollado los griegos, escribió sobre diversos temas, como música y óptica. También escribió una obra titulada "Sofismas", cuyo fin era ejercitar la inteligencia.


Euclides


Cuenta la historia que el rey Ptolomeo preguntó a Euclides, al constatar lo voluminosa que era su obra "Elementos", si no había un camino más corto para estudiar y dominar la Geometría. Euclides le respondió: "En Geometría no existe un camino especial para los reyes".


Muchas teorías matemáticas interesantes han surgido de la reflexión profunda en busca de una solución para ciertos problemas que plantea la vida cotidiana. Otras, sin embargo, han sido el fruto de la curiosidad extraordinaria de algunos matemáticos, y su deseo de descubrir leyes inquebrantables que gobiernen el comportamiento de los objetos matemáticos.

Por ejemplo, la Geometría fue estudiada por los egipcios para resolver cuestiones de agricultura. El río Nilo tenía períodos de grandes crecidas que dejaban bajo sus aguas grandes extensiones de tierra cultivable.

Cuando descendía el nivel de las aguas, en estas tierras ubicadas en los márgenes del río se habían borrado los linderos de las parcelas, y le correspondía a los funcionarios del gobierno colocar de nuevo los límites para evitar conflictos entre los agricultores.

La Geometría fue una herramienta útil en estas actividades, y entre los egipcios se desarrolló con fines muy prácticos. Para los griegos, por otra parte, las Matemáticas y en particular la Geometría tenían un carácter casi filosófico. A través de su estudio, se pretendía encontrar verdades absolutas en ese mundo de las ideas y de las figuras geométricas. El interés por resolver problemas prácticos no era el que impulsaba el desarrollo de la Matemática.


En ese espíritu de curiosidad por las relaciones entre los elementos de las figuras geométricas, se construyó la Geometría en la Grecia antigua y Euclides recogió todo ese conocimiento en su gran obra, "Elementos".

Rectas Paralelas y Secantes.
Cuando dos o más personas se disponen a jugar algún juego de mesa interesante y alguno de los jugadores desconoce por completo el juego, lo primero que deben hacer los conocedores es explicarle con cuidado cómo se juega: se nombran los objetos que se utilizan y se determina cómo se deben utilizar. Todas las reglas del juego deben quedar bien claras desde el comienzo, y es probable que el principiante necesite ayuda para recordar las reglas en los primeros momentos del juego. Llega el momento, luego, en que la práctica le permite jugar con mucha libertad, respetando las reglas que ya conoce a la perfección.

Así puede suceder con la Geometría. Estudiarla equivale a conocer los objetos de los cuales se ocupa (rectas, puntos, ángulos, circunferencias, etc.) y a descubrir poco a poco las reglas del juego que explican cómo se "comportan" esos objetos.

Nuevas reglas del juego van apareciendo a medida que se domina un nivel del juego y se dispone el jugador a conocer etapas más avanzadas del mismo.
Por eso, se trata de un juego que nunca aburre porque siempre habrá nuevas etapas por descubrir, y nuevos retos que enfrentar.

Los retos consisten en la resolución de problemas geométricos, tomando en cuenta todo lo que se sabe acerca de los objetos que forman parte del problema.

Para comenzar con los objetos más simples de la Geometría: rectas y puntos, puede iniciarse el estudio de estos objetos considerando algunos hechos básicos:

1) Se estudiarán rectas y puntos de un mismo plano.
2) Dadas dos rectas en un mismo plano, hay dos posibilidades:

 

 
a) Las dos rectas tienen un punto en común:
en este caso, se dice que son secantes.


b)
Las dos rectas no tienen ningún punto en común, aunque se prolonguen indefinidamente en ambas direcciones
en este caso, se dice que son paralelas.
Por ahora, se estudiarán los ángulos que se forman entre dos rectas secantes, y cuyo vértice es el punto de corte:

Se observa en la figura de la izquierda que hay cuatro ángulos con vértice en el punto $o$ .


Es importante recordar lo que es un ángulo llano: es el ángulo formado por dos rayos o semirrectas que pertenecen a una misma recta, y mide $180^{\circ}$ .


Como se ve en la figura de la izquierda, $a+b=180^{\circ}$ y $c+b=180^{\circ}$ .

Simplemente porque $l$ y $m$ son rectas. En este caso, se dice que $a$ y $b$ son adyacentes, como también lo son $c$ y $b$ .

Ahora se puede presentar la primera oportunidad de enfrentar un reto de la Geometría, asociado a las rectas secantes y los ángulos que forman.

¿Será cierto que $a=c$ y que $b=d$ ? Si se quiere "jugar" correctamente el juego de la Geometría, no basta con responder "sí" o "no". Hay que explicar por qué.

Tomando en cuenta la información anterior:

\begin{eqnarray*}
a+b & = & 180^{\circ} \\ \mbox{y} \qquad c+b & = & 180^{\circ}
\end{eqnarray*}
se tiene que
\begin{eqnarray*}
b & = & 180^{\circ}-a \\ \mbox{y} \qquad b & = & 180^{\circ}-c\;,
\end{eqnarray*}
por lo tanto $180^{\circ}-a=180^{\circ}-c$ , y esto quiere decir que $a=c$ .
Hemos concluido que $a=c$ .
 

Ahora demostremos que b = d :

Sabemos que d+a = 180 grados y b + a = 180 grados porque m y l so rectas.

Por lo tanto a = 180 grados - d  y  a = 180 grados - b

es decir,

             180 grados - b = 180 grados - d

y así queda demostrado que b = d .



Los ángulos $a$ y $c$ se llaman "opuestos por el vértice", así como $b$ y $d$ .

Se acaba de deducir una "regla" importante del juego con rectas secantes en un plano: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma medida.


Si un ángulo formado entre dos rectas secantes es recto (es decir, mide $90^{\circ}$ ), se dice que las rectas son perpendiculares


A continuación mostraremos que si un ángulo entre dos rectas secantes es recto, también lo son los otros 3 ángulos que se forman:

Observa la figura:

Sabemos que a = c por ser opuestos por el vértice. Como a = 90 grados, c = 90 grados, c+d = 180 grados, por ser c y d adyacentes.

Es decir,

             90 grados + d = 180 grados
                          d = 180 grados - 90 grados
                          d = 90 grados

como d = b por ser opuestos por el vértice, resulta que b = 90 grados.


Ahora se puede avanzar un poco y considerar las posiciones relativas de tres rectas en el plano.

Hay cuatro posibilidades:

1) Las tres rectas son paralelas:


2)
Dos rectas son paralelas y una es secante:

 
3) Las tres rectas son secantes, dos a dos, y hay tres puntos distintos de corte:

 


4)
Las tres rectas se cortan en un solo punto:

Las opciones 2 y 3 generan situaciones llenas de propiedades nuevas e interesantes.

Los triángulos, que surgen de las figuras del tipo 3) se estudiarán más adelante.

En lo que sigue, se explorarán las propiedades de los ángulos que se generan en las figuras del tipo 2).

Para hablar con precisión, hay que comenzar por darle nombres a los ángulos que se forman:

Los ángulos $a$ y $c$ son opuestos por el vértice, como ya se ha dicho. También lo son $b$ y $d$ .


Los ángulos $a$ y $e$ se dice que son correspondientes.

También lo son $b$ y $f$ , $c$ y $g$ , $d$ y $h$ .

     



 

Una propiedad importante de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas, es la siguiente:

Los ángulos correspondientes son congruentes.

Si se hiciera una traslación del punto $o$ al punto $o'$ en el siguiente dibujo, como las rectas horizontales son paralelas, se ve que el ángulo $a$ coincidiría con el ángulo $e$ .

Así también se puede ver que $b=f, c=g$ y $d=h$ .

Por otra parte, se sabe que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, y así, se tiene:

\begin{displaymath}
b=d\;,\;\; a=c\;,\;\; e=g \quad\mbox{y}\quad f=h
\end{displaymath}

De todas estas igualdades, se pueden deducir otras más:

Como$b=d$ por ser opuestos por el vértice y $d=h$ por ser correspondientes, se tiene que $b=h$ .

Los ángulos $b$ y $h$ se dice que son alternos externos.

También lo son $a$ y $g$ : como$a=c$ , por ser opuestos por el vértice y $c=g$ por ser correspondientes, se tiene que $a=g$ .

Los ángulos $c$ y $e$ son alternos internos, tal como lo son $d$ y $f$ .

   

Ahora demostraremos , de manera análoga a la que se acaba de usar para ver que los ángulos alternos externos son congruentes, la siguiente propiedad: Los ángulos alternos internos son congruentes.

Hay que ver que c = e y que d = f. Como c = a por ser opuestos por el vértice, y a = e por ser ángulos correspondientes, se obtiene que c = e.

Por otra parte, como d = b por ser opuestos por el vértice y b = f por ser ángulos correspondientes, se obtiene que d = f .


Consideraremos ahora el siguiente pralelogramo:

(los lados son paralelos, dos a dos).

Usando las propiedades estudiadas antes, demostraremos que:

i)     b = d
 
ii)    a = c
iii)   a + b = 180 grados
vi)   a + b + c + d = 360 grados

Se prolongan los lados del paralelogramo como se muestra en la figura:

Se puede ver que las dos rectas horizontales son paralelas (por tratarse de un paralelogramo) y los ángulos $b$ y $b'$ son correspondientes:

Como$a+b'=180^{\circ}$ y $b=b'$ , entonces $a+b=180^{\circ}$ . Así, queda demostrada la parte iii).

Por otra parte, las dos rectas no horizontales son paralelas, y por lo tanto, entre los ángulos que ellas forman con la horizontal de abajo, están $b'$ y $d$, que son alternos internos, por lo tanto $b'=d$ , con lo que se demuestra la parte i), porque $b=b'=d$

Para demostrar las partes ii) y iv), se observa que los ángulos $c'$ y $c$ son correspondientes:

Por lo tanto, $c=c'$ . como$d+c'=180^{\circ}$ entonces $d+c=180^{\circ}$ y como $a+b=180^{\circ}$ , se obtiene que $a+b+c+d=360^{\circ}$ , y así queda demostrada la parte iv).

Además $a$ y $c'$ son alternos internos y por eso $a=c'$ ; como $c=c'$ , se obtiene que $a=c$ , y queda demostrada la parte ii). 


Bibliografía:
García, V., Villaseñor, R., Waldegg, G. (1998)
Matemáticas en contexto - segundo curso.
México: Grupo Editorial Iberoamérica.


 
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