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Divisores y múltiplos de un número natural


El origen de la palabra CÁLCULO es latino: la palabra "calculus" significa en latín "piedra pequeña". Como era tan frecuente entre los pueblos antiguos el sacar cuentas con la ayuda de piedritas hechas de arcilla, el vocablo calculus pasó a convertirse en la expresión usada para las operaciones básicas entre números naturales. Más adelante, se usó esta palabra también para operaciones entre otras clases de números.

Además de las piedritas y el ábaco, hubo muchos métodos para calcular entre los antiguos que fueron realmente ingeniosos, como el que usaban los egipcios para multiplicar.
Hay un método para multiplicar dos números mayores que 5 y menores que 10 usando sólo los dedos de las manos. Fue utilizado en Europa hasta hace unos 600 años y aún se usa en algunos pueblos muy apartados de Rusia. Consiste en lo siguiente:

Ejercicio:
Usando este método, calcula:

a) 7 x 9

b) 6 x 7

c) 9 x 6

Es interesante observar también algunas curiosidades que se aprecian cuando se realizan cálculos con piedritas, botones, o cualquier objeto pequeño y fácil de manejar.
Por ejemplo, como la multiplicación 7 x 3 consiste en sumar el 3 consigo mismo 7 veces, entonces con las piedritas se procede a colocar 7 filas de 3 piedritas cada una


se cuentan las piedritas y se obtiene, por supuesto, 21. Si se ordenan de otra manera las piedritas, por ejemplo así:


Es igual que antes el número de piedras, y en este caso, se han representado 3 filas de 7 piedritas cada una, es decir: 3 x 7 = 21 se llamará a esta figura un rectángulo de piedritas, de lados 3 y 7.

Lo que se acaba de ver claramente es que la propiedad Conmutativa del producto es verdadera:

En el producto 3 x 7, los números 3 y 7 se llaman los factores de ese producto. Como 3 x 7 = 21, se dice que 3 y 7 son factores de 21.

Para reflexionar:

¿Habrá otros números naturales que sean factores de 21?

Para responder a esta pregunta, podríamos intentar averiguarlo de la manera siguiente:
Tratemos de encontrar un rectángulo de 21 piedritas con lados distintos de 3 y 7 (puedes, si lo prefieres, utilizar botones ó "taquitos" de papel para hacer las pruebas con los rectángulos, en lugar de usar piedritas). ¿Qué concluyes?


Si has acertado en tus respuestas, sabes lo que es un factor de un número, y podrás comprender con facilidad lo que sigue. Si tus respuestas han sido incorrectas, lee de nuevo con cuidado la definición de factor de un número y observa el ejemplo que se da a continuación con los factores de 21.

Los números como el 11, que tienen sólo dos factores distintos (el mismo número y la unidad) son llamados primos.
Volviendo a los rectángulos de piedritas, si se va a representar el cuadrado de un número, por ejemplo, tex2html_wrap701, resulta que la figura es un cuadrado.

Esta representación de los números que son el cuadrado de un número natural, permite notar una curiosidad interesante:
tex2html_wrap702
tex2html_wrap703
tex2html_wrap704
tex2html_wrap705

Aquí se observa que cada cuadrado tiene una cantidad de piedritas que es igual a la suma de la cantidad que tenía el cuadrado anterior más las piedritas que hacen falta para completar una esquina nueva.

Sin hacer la representación, podemos saber que tex2html_wrap706 , porque hay que agregar 9 piedritas al cuadrado de la derecha.
 para obtener este otro:

se sabe que son 9 las que agregamos, porque son 4 por cada lado y una para la esquina.



Divisores


A los factores de un número se les llama también divisores de ese número.
En otras palabras, si un número es divisor de otro, lo divide de manera exacta. Por ejemplo:
7 es divisor de 14 porque 7 x 2 = 14, y por lo tanto, tex2html_wrap717 y no hay resto en esta división. Por eso se dice que es exacta.

Si se quiere averiguar si 7 es divisor de 20, basta con dividir tex2html_wrap718 . en este caso, la división no es exacta, porque se obtiene un resto al efectuarla. Esto quiere decir que 7 no es un divisor de 20.

Para reflexionar:

1. ¿Puede ser mayor que 8 un número que sea divisor de 8? ¿Por qué?
2. ¿Existe algún número mayor que cero que no tenga ningún divisor?¿por qué?
3. Dado un número cualquiera, ¿cuál es el mayor de todos sus divisores? 

Responde las interrogantes en el siguiente recuadro, impríme tus respuestas y compáralas con las du tus compañeros.



Si has respondido correctamente estas preguntas, las nociones estudiadas hasta ahora deben estar claras y  estás preparado para comprender con facilidad lo que sigue. Si no has respondido correctamente, hay alguna idea relacionada con los divisores de un número que no está clara para tí, y debes tratar de aclararla completamente antes de continuar, para evitar futuras dificultades.


Números Primos

Ya se ha visto que aquellos números que tienen sólo dos divisores, el mismo número y la unidad, se llaman primos.


 

Si un número tiene más de dos divisores, se dice que es un número compuesto.

Para reflexionar:
El número 1 no es ni primo ni compuesto


Si se quisieran encontrar todos los números primos que hay entre 1 y 100, sería bastante largo el trabajo de detectar más de dos divisores para cada uno de los números entre 1 y 100.

Hace más de 2.200 años, un matemático griego muy importante llamado Eratóstenes creó un método muy sencillo y eficaz para encontrar todos los números primos de una lista grande de números. Su método se llamó la Criba de Eratóstenes, y aún hoy en día, ese método es usado con computadoras para determinar números primos.

Se describirá el método, paso a paso, para determinar todos los números primos que hay entre 1 y 100.





Múltiplos de un número natural
Si un número es divisor de un segundo número dado, se dice que el segundo es múltiplo del primero.
Se considerarán ahora todos los divisores y los múltiplos del número 6.

Divisores
: 1, 2, 3, 6
Múltiplos: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

Para determinar los múltiplos del 6, simplemente se ha multiplicado el 6 por 1, por 2, por 3, y así sucesivamente. Podría seguirse multiplicando el 6 indefinidamente por todos los números naturales que existen, y se seguirían obteniendo múltiplos del 6. Como no se multiplicará indefinidamente, se indica con los puntos suspensivos que los múltiplos de 6 no se terminan allí. En otras palabras, hay infinitos números que son múltiplos del 6, mientras que divisores del 6 hay solo 4, un número finito de ellos.

Esto ocurre con cualquier número que se escoja; por muy grande que sea un número, tendrá una cantidad finita de divisores y una cantidad infinita de múltiplos.


 

Bibliografía utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998).  Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Bibliografía recomendada:
Salcedo, A. y Paredes, B., Matemática 7o.  1.997. Santillana, S.A.

Direcciones web recomendadas:
www.geocities.com/capecanaveral/launchpad/2208/


 
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