El origen de la palabra CÁLCULO es latino: la palabra "calculus"
significa en latín "piedra pequeña". Como
era tan frecuente entre los pueblos antiguos el sacar cuentas con
la ayuda de piedritas hechas de arcilla, el vocablo calculus pasó
a convertirse en la expresión usada para las operaciones
básicas entre números naturales. Más adelante,
se usó esta palabra también para operaciones entre
otras clases de números.
Además de las piedritas y el ábaco, hubo muchos métodos
para calcular entre los antiguos que fueron realmente ingeniosos,
como el que usaban los egipcios para multiplicar.
Hay un método para multiplicar dos números mayores
que 5 y menores que 10 usando sólo los dedos de las manos.
Fue utilizado en Europa hasta hace unos 600 años y aún
se usa en algunos pueblos muy apartados de Rusia. Consiste en lo
siguiente:
Ejercicio:
Usando este método, calcula:
a)
7 x 9
b)
6 x 7
c)
9 x 6
Es
interesante observar también algunas curiosidades que se aprecian
cuando se realizan cálculos con piedritas, botones, o cualquier
objeto pequeño y fácil de manejar.
Por ejemplo, como la multiplicación 7 x 3 consiste en sumar
el 3 consigo mismo 7 veces, entonces con las piedritas se procede
a colocar 7 filas de 3 piedritas cada una
se cuentan las piedritas y se obtiene, por supuesto, 21. Si se ordenan
de otra manera las piedritas, por ejemplo así:
Es igual que antes el número de piedras, y en este caso, se
han representado 3 filas de 7 piedritas cada una, es decir: 3
x 7 = 21 se llamará a esta figura un rectángulo
de piedritas, de lados 3 y 7.
Lo que se acaba de ver claramente es que la propiedad Conmutativa
del producto es verdadera:
En
el producto 3 x 7, los números 3 y 7 se llaman los factores
de ese producto. Como 3 x 7 = 21, se dice que 3 y 7 son factores
de 21.
Para
reflexionar:
¿Habrá
otros números naturales que sean factores de 21?
Para responder a esta pregunta, podríamos intentar averiguarlo
de la manera siguiente:
Tratemos de encontrar un rectángulo de 21 piedritas con lados
distintos de 3 y 7 (puedes, si lo prefieres, utilizar botones ó
"taquitos" de papel para hacer las pruebas con los rectángulos,
en lugar de usar piedritas). ¿Qué concluyes?
Si has acertado en tus respuestas, sabes lo que es un factor de un
número, y podrás comprender con facilidad lo que sigue.
Si tus respuestas han sido incorrectas, lee de nuevo con cuidado la
definición de factor de un número y observa el ejemplo
que se da a continuación con los factores de 21.
Los números como el 11, que tienen sólo dos factores
distintos (el mismo número y la unidad) son llamados primos.
Volviendo a los
rectángulos de piedritas, si se va a representar el cuadrado
de un número, por ejemplo, , resulta que la
figura es un cuadrado.
Esta representación de los números que son el cuadrado
de un número natural, permite notar una curiosidad interesante:
Aquí
se observa que cada cuadrado tiene una cantidad de piedritas que
es igual a la suma de la cantidad que tenía el cuadrado anterior
más las piedritas que hacen falta para completar una esquina
nueva.
Sin
hacer la representación, podemos saber que , porque hay que agregar 9 piedritas al cuadrado de la derecha.
para
obtener este otro:
se sabe que son 9 las que agregamos, porque son 4 por cada lado y
una para la esquina.
Divisores
A los factores de un número se les llama también divisores
de ese número.
En otras palabras, si un número es divisor de otro, lo divide
de manera exacta. Por ejemplo:
7 es divisor de 14 porque 7 x 2 = 14, y por lo tanto, y no hay resto en esta división. Por eso se dice que es
exacta.
Si se quiere averiguar si 7 es divisor de 20, basta con dividir . en este caso, la división no es exacta, porque se obtiene
un resto al efectuarla. Esto quiere decir que 7 no es un divisor de
20.
Para reflexionar:
1. ¿Puede ser mayor que
8 un número que sea divisor de 8? ¿Por qué?
2. ¿Existe algún número mayor
que cero que no tenga ningún divisor?¿por qué?
3. Dado un número cualquiera, ¿cuál
es el mayor de todos sus divisores?
Responde las interrogantes en el siguiente recuadro, impríme
tus respuestas y compáralas con las du tus compañeros.
Si has respondido
correctamente estas preguntas, las nociones estudiadas hasta ahora
deben estar claras y estás preparado para comprender
con facilidad lo que sigue. Si no has respondido correctamente, hay
alguna idea relacionada con los divisores de un número que
no está clara para tí, y debes tratar de aclararla completamente
antes de continuar, para evitar futuras dificultades.
Números Primos
Ya se ha visto que aquellos números
que tienen sólo dos divisores, el mismo número y la
unidad, se llaman primos.
Si un número tiene más de dos divisores, se dice que es un número compuesto.
Para reflexionar:
El número 1 no es ni primo ni compuesto
Si se quisieran encontrar todos los números primos que hay entre 1 y 100, sería bastante largo el trabajo de detectar más de dos divisores para cada uno de los números entre 1 y 100.
Hace más de 2.200 años, un matemático griego
muy importante llamado Eratóstenes creó un método
muy sencillo y eficaz para encontrar todos los números primos
de una lista grande de números. Su método se llamó la Cribade Eratóstenes,
y aún hoy en día, ese método es usado con computadoras
para determinar números primos.
Se describirá el método, paso a paso, para determinar
todos los números primos que hay entre 1 y 100.
Múltiplos
de un número natural
Si un número
es divisor de un segundo número dado, se dice que el segundo
es múltiplo
del primero.
Se considerarán
ahora todos los divisores y los múltiplos del número
6.
Para determinar
los múltiplos del 6, simplemente se ha multiplicado el 6 por
1, por 2, por 3, y así sucesivamente. Podría seguirse
multiplicando el 6 indefinidamente por todos los números naturales
que existen, y se seguirían obteniendo múltiplos del
6. Como no se multiplicará indefinidamente, se indica con los
puntos suspensivos que los múltiplos de 6 no se terminan allí.
En otras palabras, hay infinitos números que son múltiplos
del 6, mientras que divisores del 6 hay solo 4, un número
finito de ellos.
Esto ocurre con cualquier número que se escoja; por muy grande
que sea un número, tendrá una cantidad finita de divisores
y una cantidad infinita de múltiplos.
Bibliografía
utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998).
Matemáticas en contexto . México: Grupo Editorial
Iberoamérica.
Bibliografía
recomendada:
Salcedo, A. y Paredes, B., Matemática 7o. 1.997. Santillana,
S.A.
Direcciones web
recomendadas:
www.geocities.com/capecanaveral/launchpad/2208/
, resulta que la
figura es un cuadrado.
, porque hay que agregar 9 piedritas al cuadrado de la derecha.
y no hay resto en esta división. Por eso se dice que es
exacta. 
. en este caso, la división no es exacta, porque se obtiene
un resto al efectuarla. Esto quiere decir que 7 no es un divisor de
20.
