Firma páginas web


 
 

Semejanza de Triángulos


Thales de Mileto vivió en el siglo VI a.C., y se le considera el primer matemático que hizo demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.

Algunos de estos teoremas son:

  • Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
  • Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
  • Un haz de paralelas determina, sobre dos secantes a ellas, segmentos proporcionales.

Este último teorema se conoce como el teorema de Thales, y se muestra a continuación una ilustración de lo que expresa:


Si las rectas $r, s$ y $l$ son paralelas entonces

\begin{displaymath} \frac{EC}{AE} = \frac{DB}{FD}. \end{displaymath}

Gracias a este teorema, Thales pudo calcular la altura de una de las grandes pirámides de Egipto. En la lectura siguiente, se explicará cómo utilizó Thales su teorema en ese caso famoso.


Cuando se habla, en Geometría, de figuras semejantes, se refiere a figuras que son idénticas en todas sus características excepto el tamaño.

Una de las figuras es una ampliación de la otra. Por ejemplo, todas las circunferencias que se muestran en la figura de la izquierda son semejantes.

Igualmente, son semejantes todos los cuadrados:


Entre los rectángulos, ya no hay semejanza general. Por ejemplo, los rectángulos de la figura siguiente no son semejantes.

 


La razón es muy simple: ninguna ampliación que se haga, del rectángulo $EFGH$ , permitirá obtener el $ABCD$ , pues cualquier ampliación de $EFGH$ produciría un rectángulo con dos lados iguales al doble de los otros dos, y el rectángulo $ABCD$ tiene dos lados iguales al triple de los otros dos.

Entre todos los triángulos, hay algunos que son semejantes entre sí, y hay otros que no lo son; por ejemplo, todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Pero un triángulo equilátero no es semejante a ningún triángulo rectángulo. (ver figura a la derecha)


Criterios que permiten determinar si dos triángulos son semejantes:

1
Dos triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes si cada ángulo interno de $ABC$ es congruente a un ángulo interno del triángulo $DEF$ :

$\angle\: BAC=\angle\: EDF \qquad \angle\: ABC = \angle\: DEF \qquad \angle\: BCA = \angle\: EFD$

Si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, se usa el símbolo $\sim$  : $ABC\sim DEF$ .

Ahora bien, dado un triángulo $ABC$ cualquiera, una vez que se conocen las medidas de dos de sus ángulos internos, la medida del tercero queda determinada:

Como la suma de los tres ángulos internos de $ABC$ es igual a $180^{\circ}$ , se tiene lo siguiente:

\begin{eqnarray*} x+45^{\circ}+30^{\circ} & = & 180^{\circ} \\ x & = & 180^{\circ}-(45^{\circ}+30^{\circ}) \\ x & = & 105^{\circ} \end{eqnarray*}

Es decir, si cualquier otro triángulo $DEF$ tiene dos de sus ángulos internos con medidas $30^{\circ}$ y $45^{\circ}$ , el ángulo restante tiene que ser también $105^{\circ}$ , y por eso, basta con tener la información sobre las medidas de dos de sus ángulos, para determinar si el triángulo $DEF$ será semejante a $ABC$ .

Una consecuencia del criterio 1 es el siguiente:
2


Dos triángulos son semejantes si dos ángulos internos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos internos del otro.

Por ejemplo, si dos triángulos son rectángulos, basta con que uno de los ángulos agudos de uno sea igual a uno de los ángulos agudos del otro, puesto que ya tienen ambos un ángulo recto:

$ABC\sim DEF$ porque ambos son rectángulos y ambos tienen un ángulo agudo igual a $60^{\circ}$ ; esto obliga a que los tres ángulos internos de $ABC$ sean iguales a los de $DEF$ :

\begin{eqnarray*} \angle\: BAC & = & \angle\: EDF \;=\; 90^{\circ} \\ \angl... ...{\circ} \\ \angle\: BCA & = & \angle\: EFD \;=\; 30^{\circ} \end{eqnarray*}

Hay un tercer criterio para determinar semejanza de triángulos, y se deduce directamente del teorema de Thales mencionado en la introducción.
 
3

Dos triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes si :

\begin{displaymath} \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\;,\quad \frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF} \qquad\mbox{y}\qquad \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF} \end{displaymath}

Es decir, $ABC\sim DEF$ si las proporciones entre los lados del triángulo $ABC$ son iguales a las que hay entre los lados del triángulo $DEF$ .

También suele decirse, cuando esto ocurre, que $ABC$ y $DEF$ tienen lados proporcionales.


No sólo es cierto que si dos triángulos tienen sus lados proporcionales, esos triángulos son semejantes. También lo es que si dos triángulos cualesquiera son semejantes, entonces sus lados serán proporcionales.

Esto hay que aclararlo, porque no es lo mismo decir:

"si me enfermo no voy al cine", que decir: "si no voy al cine, me enfermo".


En el caso de los triángulos semejantes, las dos afirmaciones siguientes son verdaderas:

1
Si $ABC\sim DEF$ entonces $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$   y  $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$

2
Si $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$   y   $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$ entonces $ABC\sim DEF$

En este caso, los matemáticos suelen decir

$ABC\sim DEF$ si y sólo si $\displaystyle \frac{AB}{BC}=\displaystyle \frac{DE}{EF}\;,\;\;$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}=\displaystyle \frac{DE}{DF}$   y   $\displaystyle \frac{BC}{AC}=\displaystyle \frac{EF}{DF}$




Ahora se puede ver cómo Thales empleó su conocimiento de los triángulos semejantes, para calcular la altura de la pirámide egipcia.

Thales se trasladó al desierto, y cerca de la pirámide clavó una estaca verticalmente en la arena. Luego inclinó la estaca en la dirección de su sombra, hasta colocarla sobre la arena, dejando así sobre la arena, la huella de la estaca.

Luego volvió a clavar la estaca verticalmente en el mismo lugar.


Transcurrió algún tiempo, hasta que la sombra de la estaca llegó a coincidir exactamente con la huella que estaba sobre la arena. (Era de tarde, y las sombras crecen a medida que el sol se inclina).

En este momento, Thales dijo a los egipcios: "vayan de prisa y midan la sombra de la pirámide. A esa medida, sumen la mitad de lo que mide la base. Esa suma es la altura exacta de la pirámide". ¿Por qué acertó Thales?

En el momento en que la vara y su sombra tenían la misma medida, se formaba un triángulo rectángulo isósceles entre la vara y la sombra:

La línea punteada indica la dirección de los rayos solares. Como esa dirección es idéntica, en ese mismo momento, en todos los puntos cercanos al lugar donde está la estaca, entonces entre el eje central de la pirámide y su sombra también se debía formar un triángulo rectángulo isósceles.

Es decir, como los triángulos $PQR$ y $ABC$ tienen dos ángulos iguales
( $\angle\: ACB = \angle\: QPR = 90^{\circ}$  y  $\angle\: PQR = \angle\: CAB $ por ser el ángulo generado por la incidencia de los rayos solares) entonces $PQR\sim ABC$ .

Como $PQ=PR$ , es decir, $\displaystyle \frac{PQ}{PR}=1$ , entonces, por el tercer criterio (que a su vez se deduce del teorema de Thales) se concluye que $AC=CB$ , es decir, la altura de la pirámide $(AC)$ es igual a $CB$ que es la suma de la mitad de la base más la distancia entre el lado de la pirámide y la punta de su sombra (el punto $B$ ).

\begin{displaymath} CB \;=\; CD+DB. \end{displaymath}

 


Bibliografía recomendada:

Bárcenas, D., Porras, O. (2002). Elementos de Trigonometría.  Mérida: Escuela Venezolana de Enseñanza de Matemática.

 
Otros Temas:

 
Ver otras áreas:


Más Servicios de RENa

| Interactividades | Chat |
| Recomendar esta página | Dudas | Internet |
| Imprimir esta página | Volver a contenido por áreas |

| Mapa del sitio | Equipo de trabajo | Organizaciones colaboradoras| Webmaster | Vínculos |

© Todos los Derechos Reservados por RENa Copyright 2005