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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo


Los matemáticos de la Grecia Antigua eran muy estudiosos de las propiedades de los números, especialmente de lo que tenía que ver con su divisibilidad. De acuerdo a una leyenda, alguien le preguntó al gran sabio Pitágoras : "¿Qué es un amigo?". Pitágoras respondió: "Aquello que es mi otro ser". Ante la extrañeza de su interlocutor, agregó: "aquello que es mi otro ser, como lo es 220 a 284". Se refería Pitágoras a la pareja más pequeña de números amigos, que comparten el fuerte nexo relativo a sus divisores mencionado al comienzo de esta página. Los divisores de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110. Si se suman estos divisores, se obtiene 284. Por otra parte, los divisores de 284 son:1,2,4,71,142. La suma de todos estos números es igual a 220.


La tarea de encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre varios números naturales dados es realizada con frecuencia de una manera muy efectiva, con el uso de una "receta" que se memoriza sin entender muy bien qué es lo que se hace y por qué se hace. En lo que sigue, se explicará el sentido de las operaciones que se realizan en la aplicación de las ya conocidas "recetas".



Si has encontrado los divisores comunes en cada caso, estás en el buen camino para comprender lo que sigue.

Si no, es importante descubrir la causa de tus errores. Si fue un descuido, es necesario aprender a concentrarse mejor. Si alguna idea no fue bien entendida, éste es el momento de aclararla para asimilar con facilidad lo que se muestra a continuación.

Como la cantidad de divisores que tiene cualquier número es finita, cuando se consideran los divisores comunes de un grupo de números, siempre hay uno de estos divisores que es mayor que todos los demás. Este número es llamado el máximo común divisor del grupo de números considerado.

Ejemplo:

Para encontrar el máximo común divisor de los números 20, 24, 16, se determinan primero todos sus divisores:
Los de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Los de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Los de 16: 1, 2, 4, 8, 16

Los divisores comunes son: 1, 2, 4
El mayor de estos 3 números es 4, y por lo tanto el máximo común divisor de 20, 24 y 16 es 4, y se escribe así: M.C.D.(20,24,16)= 4.

Para reflexionar:
El máximo común divisor de 6 y 30 es 6. Esto podemos saberlo sin necesidad de encontrar todos los divisores de 30 y de 6. Explica por qué.

Factores primos de un número
Cuando se habla de una multiplicación de números, por ejemplo: 7 x 4 x 3, se dice que los números 7, 4 y 3 son los factores en esa multiplicación.
Todo número natural se puede expresar como una multiplicación de factores, todos primos. Por ejemplo:
displaymath354

El proceso de escribir un número como producto de factores primos se llama descomposición en factores primos del número en cuestión.
Se podría también escribir :

displaymath355

Pero en este caso los factores no son primos.

Si un número no es primo, hay varias maneras de descomponerlo en producto de otros números, pero sólo una manera de descomponerlo en factores primos.
La manera más fácil y segura de obtener todos los divisores de un número cualquiera es la siguiente:

     1.- Se comienza por encontrar la descomposición del número en factores primos. Por ejemplo, para hallar los divisores de 36, se busca su descomposición en factores primos, dividiendo sucesivamente entre 2, 3, 5 y todos los números primos que sean necesarios hasta llegar a la unidad como cociente:
tabular114

La descomposición en factores primos es:

displaymath356

     2.-Los divisores de 36 son, además del 1 y del 36, todos los números que se obtienen al multiplicar los factores primos entre sí. Por ejemplo, en el caso de tex2html_wrap_inline368 , se obtienen como divisores:

displaymath357

displaymath358


Una vez que se ha determinado la descomposición en factores primos de dos o más números, encontrar el máximo común divisor (MCD) entre ellos es muy sencillo. Sólo hay que encontrar el mayor de todos los divisores comunes a los números en cuestión. Por ejemplo:
Si se quiere hallar el M.C.D. entre 28 y 32, se descomponen estos números en factores primos:
displaymath359
displaymath360

Los divisores comunes de 28 y 32 (los números que dividen a 28 y 32) son tex2html_wrap350 . De todos estos, el mayor es 4, luego el MCD (28,32) = 4.


En el caso del ejemplo anterior, se ve que el único factor común es 2, y está elevado al cuadrado en 28 y elevado a la 5 en 32. Se toma entonces tex2html_wrap351 como M.C.D.


Es importante, aún cuando se aprende un proceso mecánico que permite resolver un problema determinado, comprender las razones por las cuales ese proceso conduce a la solución del problema. Así, si la memoria fallara y se olvidara algún paso ó etapa del procedimiento, es posible, usando el razonamiento, reconstruir el proceso total y lograr obtener la solución de todas maneras.

También puede ayudar en muchos casos el comprender por qué se hace lo que se hace, para ahorrar trabajo innecesario. Por ejemplo: si se quiere calcular el M.C.D. de 8 y 32 , y se observa que 8 es divisor de 32, (pues 8.4=32) entonces se concluye que 8 = M.C.D. (8,32) porque 8 es el mayor divisor de 8.

Como además 8 divide a 32, 8 es un divisor de ambos números, y no hay otro número mayor que 8 que los divida a ambos.

Mucho más largo e innecesario resultaría realizar todo el procedimiento de descomponer en factores primos para luego encontrar el M.C.D.(8,32).



Si has respondido de manera correcta, felicitaciones; si no ha sido así, revisa de nuevo con cuidado las ideas expuestas y los ejemplos dados, para que identifiques las causas de tus errores.


Mínimo Común Múltiplo


Se ha visto ya que todo número natural tiene una infinidad de múltiplos. De todos ellos, el mínimo múltiplo es el mismo número. Por ejemplo, si se trata del 3, sus múltiplos son : 3, 6, 9, 12, 15, etc. El menor de todos es, por supuesto, 3.

Así también, el menor de todos los múltiplos de cualquier número natural es él mismo.
Dados dos números naturales, el producto de ellos es otro número que es múltiplo de ambos. Así, siempre habrá un número natural que sea múltiplo de otros dos a la vez. Por ejemplo:

Ejemplo 1
Se toman el 5 y el 7. El número 35 es múltiplo de 7 y de 5 pues: tex2html_wrap370 .

Ejemplo 2
En el caso de 6 y 2, también 12 es múltiplo de 6 y de 2


En estos casos se dice que: 35 es un múltiplo común de 7 y 5. También 12 es un múltiplo común de 6 y 2.

En el ejemplo 1, ningún número menor que 35 es múltiplo de 7 y de 5 a la vez.
En el ejemplo 2, sí existe un número menor que 12, el 6, que es múltiplo de sí mismo y también es múltiplo de 2, y se tiene entonces que el 6 también es un múltiplo común de 2 y 6.

Pero no existe ningún número menor que 6 que sea múltiplo de 2 y de 6 a la vez. Se dice entonces que el 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 6, y el mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 35, abreviándose así:
m.c.m. (5,7) = 35, m.c.m. (2,6) = 6


Como se dijo antes, al multiplicar dos números entre sí se obtiene otro número que es múltiplo de ambos, pero ya se vio, en el caso de 2 y 6, que 12 no es el mínimo de los múltiplos que tienen en común 2 y 6.

En cambio, en el caso de 5 y 7, resulta que 35 sí es el mínimo común múltiplo de ellos.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos casos?
La diferencia se observa cuando se descomponen los números en sus factores primos:


2 = 2        5 = 5

6 = 3 x 2    7 = 7

 

El 2 y el 6 tienen un factor común, y 5 y 7 no lo tienen.

Al multiplicar tex2html_wrap371 se está repitiendo el factor 2, porque aparece como factor de 6 y como factor de 2.

Al multiplicar tex2html_wrap372 , no se repite ningún factor.

Si se toman los tres factores de 6 y 2, es decir: 3, 2 y 2, y luego se omite uno de los que se repite, al multiplicarlos, se obtiene:

displaymath395

Este número sí es el m.c.m. Entre 2 y 6, como se vio antes.

Otro ejemplo:
Para calcular el m.c.m. de 12 y 15, se descomponen en factores primos ambos números:

displaymath396

El único número que aparece como factor de ambos números es el 3. Se multiplican entonces todos los factores de ambos números, pero sin repetir el 3:  

displaymath397

El m.c.m. (12,15) = 60.

¿Cómo se sabe que no hay ningún número menor que 60 que sea múltiplo de 12 y de 15 a la vez?
La clave para responder esta pregunta está en la descomposición de 60 en factores primos:  

displaymath398

Los factores  tex2html_wrap373  se pueden multiplicar en cualquier orden, para obtener 60:
 

displaymath399  

se puede ver que 60 es múltiplo de 12  porque los factores tex2html_wrap374 y 3 aparecen en la descomposición.


También se puede escribir :

displaymath400

60 es múltiplo de 15 porque aparecen los factores 3 y 5 en la descomposición.

Pero si se omite algún factor, ya sea 2 ó 3 ó 5, no se podría obtener un múltiplo de 12 y 15 a la vez. Por ejemplo:  

displaymath401

30 es múltiplo de 15, pero no de 12.

Se observa entonces lo siguiente:

1) Cualquier número que sea múltiplo de 12 y de 15 a la vez, debe contener, en su descomposición en factores primos, a todos los factores de 12 y a todos los del 15.
En nuestro caso, tex2html_wrap376 es la descomposición en factores primos de 60 y en efecto:

2, 2 y 3 son los factores primos de 12.

5 y 3 son los factores primos de 15.


2)
Si falta alguno de los factores: tex2html_wrap374, 5 , 3, ya no se obtiene un múltiplo de 12 y de 15, es decir, no hay múltiplos de 12 y de 15 menores que 60.

Es por estas razones que, para obtener 60 como m.c.m. (12,15), fue necesario conocer las descomposiciones en factores primos de 12 y de 15 y luego multiplicar todos estos factores, pero sin repetir los que aparecen en ambas descomposiciones, como en este caso, el 3. (ver otro ejemplo)


Escribe en forma precisa el método general para calcular el mínimo común múltiplo entre 2 ó más números, imprímelo y discútelo con tus compañeros:



Si acertaste en todas tus respuestas, ya es tuya la herramienta de trabajo matemático que consiste en encontrar M.C.D. y m.c.m. entre 2 o más números. Será útil en el futuro. Si no has logrado acertar en todos los ejercicios con la respuesta correcta, revisa de nuevo tu manera de resolverlos, para que detectes el error, luego de haber leído otra vez la información previa.

 

Bibliografía utilizada:
Paredes, B.y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.

Bibliografía recomendada:
Paredes, B.y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998). Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Direcciones web recomendadas: http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/matemat/index.htm


 
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