Los matemáticos de la Grecia Antigua eran muy estudiosos de
las propiedades de los números, especialmente de lo que tenía
que ver con su divisibilidad. De acuerdo a una leyenda, alguien le
preguntó al gran sabio Pitágoras : "¿Qué
es un amigo?". Pitágoras respondió: "Aquello que es
mi otro ser". Ante la extrañeza de su interlocutor, agregó:
"aquello que es mi otro ser, como lo es 220 a 284". Se refería
Pitágoras a la pareja más pequeña de números
amigos, que comparten el fuerte nexo relativo a sus divisores mencionado
al comienzo de esta página. Los divisores de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110.
Si se suman estos divisores, se obtiene 284. Por otra parte, los divisores
de 284 son:1,2,4,71,142. La suma de todos estos números es
igual a 220.
La tarea de encontrar
el máximo
común divisor y el mínimo común múltiplo entre varios números naturales dados es realizada
con frecuencia de una manera muy efectiva, con el uso de una "receta"
que se memoriza sin entender muy bien qué es lo que se hace
y por qué se hace. En lo que sigue, se explicará el
sentido de las operaciones que se realizan en la aplicación
de las ya conocidas "recetas".
Si has encontrado los divisores comunes en cada caso, estás
en el buen camino para comprender lo que sigue.
Si
no, es importante descubrir la causa de tus errores. Si fue un descuido,
es necesario aprender a concentrarse mejor. Si alguna idea no fue
bien entendida, éste es el momento de aclararla para asimilar
con facilidad lo que se muestra a continuación.
Como la cantidad de divisores que tiene cualquier número
es finita, cuando se consideran los divisores comunes de un grupo
de números, siempre hay uno de estos divisores que es mayor
que todos los demás. Este número es llamado el máximo
común divisor del grupo de números considerado.
Ejemplo:
Para encontrar el máximo común divisor de los números
20, 24, 16, se determinan primero todos sus divisores:
Los
de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Los de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Los de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Los divisores comunes son: 1, 2, 4
El mayor de estos 3 números es 4, y por lo tanto el máximo
común divisor de 20, 24 y 16 es 4, y se escribe así:
M.C.D.(20,24,16)= 4.
Para reflexionar:
El máximo común divisor de 6 y 30 es 6. Esto podemos
saberlo sin necesidad de encontrar todos los divisores de 30 y de
6. Explica por qué.
Factores primos
de un número
Cuando se habla
de una multiplicación de números, por ejemplo: 7 x 4
x 3, se dice que los números 7, 4 y 3 son los factores en esa
multiplicación.
Todo número natural se puede expresar como una multiplicación
de factores, todos primos. Por ejemplo:
El
proceso de escribir un número como producto de factores primos
se llama descomposición en factores primos del número
en cuestión.
Se podría también escribir :
Pero
en este caso los factores no son primos.
Si un número
no es primo, hay varias maneras de descomponerlo en producto de otros
números, pero sólo una manera de descomponerlo
en factores primos.
La manera más fácil y segura de obtener todos los divisores
de un número cualquiera es la siguiente:
1.- Se comienza
por encontrar la descomposición del número en factores
primos. Por ejemplo, para hallar los divisores de 36, se busca su
descomposición en factores primos, dividiendo sucesivamente
entre 2, 3, 5 y todos los números primos que sean necesarios
hasta llegar a la unidad como cociente:
La
descomposición en factores primos es:
2.-Los
divisores de 36 son, además del 1 y del 36, todos los números
que se obtienen al multiplicar los factores primos entre sí.
Por ejemplo, en el caso de , se obtienen
como divisores:
Una vez que se ha determinado la descomposición en factores
primos de dos o más números, encontrar el máximo
común divisor (MCD) entre ellos es muy sencillo. Sólo
hay que encontrar el mayor de todos los divisores comunes a los números
en cuestión. Por ejemplo:
Si se quiere hallar el M.C.D. entre 28 y 32, se descomponen estos
números en factores primos:
Los divisores comunes de 28 y 32 (los números que dividen a
28 y 32) son . De todos estos, el mayor es 4, luego el MCD
(28,32) = 4.
En el caso del ejemplo anterior, se ve que el único factor
común es 2, y está elevado al cuadrado en 28 y elevado
a la 5 en 32. Se toma entonces como M.C.D.
Es importante, aún cuando se aprende un proceso mecánico
que permite resolver un problema determinado, comprender las razones
por las cuales ese proceso conduce a la solución del problema.
Así, si la memoria fallara y se olvidara algún paso
ó etapa del procedimiento, es posible, usando el razonamiento,
reconstruir el proceso total y lograr obtener la solución
de todas maneras.
También puede ayudar en muchos casos el comprender por qué
se hace lo que se hace, para ahorrar trabajo innecesario. Por ejemplo:
si se quiere calcular el M.C.D. de 8 y 32 , y se
observa que 8 es divisor de 32,
(pues 8.4=32) entonces se concluye que 8 = M.C.D. (8,32)
porque 8 es el mayor divisor de 8.
Como además 8 divide a 32, 8 es un divisor de ambos números,
y no hay otro número mayor que 8 que los divida a ambos.
Mucho más largo e innecesario resultaría realizar
todo el procedimiento de descomponer en factores primos para luego
encontrar el M.C.D.(8,32).
Si has respondido de manera correcta, felicitaciones; si no ha
sido así, revisa de nuevo con cuidado las ideas expuestas
y los ejemplos dados, para que identifiques las causas de tus
errores.
Mínimo Común Múltiplo
Se ha visto ya que todo número natural tiene una infinidad
de múltiplos. De todos ellos, el mínimo múltiplo
es el mismo número. Por ejemplo, si se trata del 3, sus múltiplos
son : 3, 6, 9, 12, 15, etc. El menor de todos es, por supuesto,
3.
Así también,
el menor de todos los múltiplos de cualquier número
natural es él mismo.
Dados dos números naturales, el producto de ellos es otro número
que es múltiplo de ambos. Así, siempre habrá
un número natural que sea múltiplo de otros dos a la
vez. Por ejemplo:
Ejemplo
1
Se toman el 5 y el 7. El
número 35 es múltiplo de 7
y de 5 pues: .
Ejemplo
2
En el caso de 6 y 2, también
12 es múltiplo de 6 y de 2
En estos casos se dice que: 35 es un múltiplo común
de 7 y 5. También 12 es un múltiplo común de
6 y 2.
En el ejemplo 1, ningún número menor
que 35 es múltiplo de 7 y de 5 a la vez.
En el ejemplo 2, sí existe un número
menor que 12, el 6, que es múltiplo de sí mismo y también
es múltiplo de 2, y se tiene entonces que el 6 también
es un múltiplo común de 2 y 6.
Pero no existe ningún número menor que 6 que sea múltiplo
de 2 y de 6 a la vez. Se dice entonces que el 6 es el mínimo común
múltiplo de 2 y 6, y el mínimo común múltiplo
de 5 y 7 es 35, abreviándose así:
m.c.m.
(5,7) = 35, m.c.m. (2,6)
= 6
Como se dijo antes, al multiplicar dos números entre sí
se obtiene otro número que es múltiplo de ambos,
pero ya se vio, en el caso de 2 y 6, que 12 no es el mínimo
de los múltiplos que tienen en común 2 y 6.
En cambio, en el caso de 5 y 7, resulta que 35 sí es el
mínimo común múltiplo de ellos.
¿Cuál es la diferencia entre estos dos casos?
La diferencia se observa cuando se descomponen los números
en sus factores primos:
2 = 2 5 = 5
6
= 3 x 2 7 = 7
El
2 y el 6 tienen un factor común, y 5 y 7 no lo tienen.
Al multiplicar se está repitiendo el factor 2,
porque aparece como factor de 6 y como factor de 2.
Al multiplicar , no se repite ningún factor.
Si se toman los tres factores de 6 y 2, es decir: 3, 2 y 2, y luego
se omite uno de los que se repite, al multiplicarlos, se obtiene:
Este
número sí es el m.c.m. Entre 2 y 6, como se vio antes.
Otro ejemplo:
Para calcular el m.c.m. de 12 y 15, se descomponen en factores primos
ambos números:
El
único número que aparece como factor de ambos números
es el 3. Se multiplican entonces todos los factores de ambos números,
pero sin repetir el 3:
El
m.c.m. (12,15) = 60.
¿Cómo
se sabe que no hay ningún número menor que 60 que
sea múltiplo de 12 y de 15 a la vez?
La clave para responder esta pregunta está en la descomposición
de 60 en factores primos:
Los
factores se pueden multiplicar en cualquier
orden, para obtener 60:
se
puede ver que 60 es múltiplo de 12 porque los factores
y 3 aparecen en
la descomposición.
También se puede escribir :
60
es múltiplo de 15 porque aparecen los factores 3 y 5 en la
descomposición.
Pero si se omite algún factor, ya sea 2 ó 3 ó
5, no se podría obtener un múltiplo de 12 y 15 a la
vez. Por ejemplo:
30
es múltiplo de 15, pero no de 12.
Se
observa entonces lo siguiente:
1) Cualquier número que sea múltiplo
de 12 y de 15 a la vez, debe contener, en su descomposición
en factores primos, a todos los factores de 12 y a todos los del 15.
En nuestro caso, es la descomposición en factores
primos de 60 y en efecto:
2,
2 y 3 son los factores primos de 12.
5
y 3 son los factores primos de 15.
2) Si falta alguno de los factores: , 5 , 3, ya no se
obtiene un múltiplo de 12 y de 15, es decir, no hay múltiplos
de 12 y de 15 menores que 60.
Es por estas razones que, para obtener 60 como m.c.m. (12,15), fue
necesario conocer las descomposiciones en factores primos de 12
y de 15 y luego multiplicar todos estos factores, pero sin repetir
los que aparecen en ambas descomposiciones, como en este caso, el
3. (ver
otro ejemplo)
Escribe en forma precisa el método general para calcular el mínimo común múltiplo entre 2 ó más números, imprímelo y discútelo con tus compañeros:
Si acertaste en todas tus respuestas, ya es tuya la herramienta
de trabajo matemático que consiste en encontrar M.C.D. y
m.c.m. entre 2 o más números. Será útil
en el futuro. Si no has logrado acertar en todos los ejercicios
con la respuesta correcta, revisa de nuevo tu manera de resolverlos,
para que detectes el error, luego de haber leído otra vez
la información previa.
, se obtienen
como divisores: 
. De todos estos, el mayor es 4, luego el MCD
(28,32) = 4.
como M.C.D. 
. 
se está repitiendo el factor 2,
porque aparece como factor de 6 y como factor de 2. 
, no se repite ningún factor. 
se pueden multiplicar en cualquier
orden, para obtener 60: 
y 3 aparecen en
la descomposición.
es la descomposición en factores
primos de 60 y en efecto: 
