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Ecuaciones en N


Una de las obras más antiguas de la Matemática que se conocen fue elaborada en Egipto, hace unos 3.600 años. Fue escrita en un papiro de unos 32 centímetros de ancho por 5,5 metros de largo, por un matemático llamado Ahmesu, cuyo nombre significa Hijo de Luna. Ese papiro, conocido como el Papiro de Ahmes, contiene 80 problemas, todos resueltos. Algunos tenían que ver con asuntos de la vida cotidiana de los egipcios (precios de compra y venta de productos, etc.). Otros problemas no se referían a cosas concretas sino simplemente a juegos o adivinanzas con números. Eran problemas parecidos al siguiente:
"Una cantidad, el doble de ella y 3, todos juntos son 27. Díganme: ¿cuál es la cantidad?".
En la escritura de estos problemas y sus soluciones, no se usaban los signos :

+ - =

que ahora conocemos. Todo se escribía en palabras del lenguaje cotidiano. El uso de los signos matemáticos como:

+   -   =   x

ha facilitado la resolución de muchos problemas matemáticos desde que estos signos surgieron en Europa en la época en que España conquistaba a América.

Un problema como el que se acaba de plantear, en el cual debe encontrarse una cantidad desconocida a partir de ciertos datos relacionados con esa cantidad, se llama una ecuación.

Puede escribirse la ecuación anterior de una manera más simple:

La cantidad + el doble de la cantidad + 3  =  27

La cantidad desconocida que se quiere hallar, se llama incógnita. Así como hoy en día usamos los símbolos +, -, = en nuestras expresiones matemáticas, usamos letras para representar las incógnitas en las ecuaciones.

La letra que más se usa para representar las incógnitas es la tex2html_wrap280 . La ecuación anterior se podría escribir entonces, usando la tex2html_wrap280 en lugar de la palabra "cantidad":
 

displaymath372

Se escribe tex2html_wrap282 para representar el doble de la cantidad. ¿Puedes explicar por qué?
Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita, es decir, encontrar el número que, al sustituirse por la tex2html_wrap280 cumple la igualdad.
Por ejemplo, en el caso de la ecuación

displaymath373

Resolverla significa encontrar una cantidad tal que, al restarle 3, se obtiene 9.
Mentalmente, se puede determinar el valor de la incógnita, pues se sabe que el único número que al restarle 3 nos da 9 es 12.

La solución de la ecuación es tex2html_wrap284 .

Esto significa que al sustituir tex2html_wrap280 por 12 en la ecuación tex2html_wrap286 se cumple la igualdad: tex2html_wrap287 .

Si se sustituye la tex2html_wrap280 por algún número distinto de 12 se obtienen igualdades que NO son verdaderas, es decir, no se cumple la igualdad.


Se sustituye la tex2html_wrap280 por 8:  

displaymath374 (falso)

Se sustituye la tex2html_wrap280 por 4:
displaymath375
(falso)

Hay ecuaciones un poco más complicadas que tex2html_wrap286 y que surgen en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Se estudiará a continuación la manera de resolver estas ecuaciones que, por ser más complicadas, no se resuelven mentalmente con facilidad, como la anterior.

Supóngase, por ejemplo, que José envía a un amigo a comprar unos caramelos y le da lo que tiene en el bolsillo: Bs. 210.

El amigo se va al abasto y regresa con 3 caramelos, un lápiz que le costó Bs. 100, y Bs. 50 que le sobraron. El amigo de José lo reta a que adivine el precio de cada caramelo.

Tal vez algunos puedan resolver el problema mentalmente, pero, para aquellos que no, es conveniente plantear la ecuación.

Primero puede escribirse con palabras:

El precio de 3 caramelos + 100 Bs. + 50 Bs. es igual a 210 Bs.
Como la incógnita (la cantidad desconocida que se quiere conocer) es el precio de un caramelo, se puede representar ese precio por la tex2html_wrap280 :

Como el precio de 3 caramelos sería tex2html_wrap293 , la ecuación se escribiría:

displaymath376

Se sabe que sumar tex2html_wrap293 es lo mismo que multiplicar tex2html_wrap295 , así como sumar 5+5+5 es igual que multiplicar 3 por 5. Es decir, la ecuación anterior se escribe mejor así:
 

displaymath377

O, mejor aún:


displaymath378

Observando esta ecuación, es posible aproximarse al valor de la incógnita por tanteo, es decir, intentando con distintos números como posibles soluciones.
Se desea determinar un número que, al multiplicarlo por 3 y sumarle 150, dé 210.
Si se sustituye tex2html_wrap280 por 5 para comenzar (podría comenzarse con cualquier número), se obtiene:
 

displaymath379

Al sustituir tex2html_wrap280 por 5 se obtiene 165, un número menor que 210. Esto indica que tex2html_wrap298 no es una solución. Se toma ahora tex2html_wrap299 :
 

displaymath380

Ahora se obtiene 300, un número mayor que 210.
Esto sugiere que la solución de la ecuación, es decir, aquel número que al sustituirse por tex2html_wrap280 en  

displaymath381

da igual a 210, ese número deberá ser mayor que 5 pero menor que 50.
Se prueba entonces con tex2html_wrap301 :  

displaymath382

En efecto, se acerca el resultado a 210 un poco más.
Sea ahora   tex2html_wrap302 :  

displaymath383


En el siguiente cuadro se observan los valores que se han obtenido para la expresión  tex2html_wrap303   con distintos valores de  tex2html_wrap280 :

x
3x + 150
5
165
10
180
30
240
50
300

Para reflexionar:

¿Puedes decir algo acerca de la solución de la ecuación al mirar la tabla? ¿Será posible que la solución sea un número mayor que 50? ¿Y menor que 10? ¿Entre cuáles números podrías ubicar a la solución?

Por esta vía es muy probable que se encuentre la solución de la ecuación. Este método se llama tanteo. 





Se usará ahora un método diferente al tanteo para resolver ecuaciones.  Se llama el método algebraico, porque pertenece a la rama de las Matemáticas llamada Álgebra.

El estudio de las operaciones entre los números: suma, resta, multiplicación y división, pertenece al área de las Matemáticas llamada Aritmética.

Se mostrará ahora cuál es el método algebraico para resolver ecuaciones como la anterior.


Se ha resuelto la ecuación, puesto que, si se sustituye la tex2html_wrap280 en la ecuación  tex2html_wrap307   por 2, que es el valor encontrado, se obtiene:  

displaymath393

Se representará gráficamente este proceso algebraico de la siguiente manera:

Si se tiene una balanza y de un lado está  tex2html_wrap309   y del otro 13, como la ecuación dice que estas cantidades son iguales, la balanza estará en equilibrio.

 

displaymath384


displaymath386

La resolución algebraica de la ecuación se representará ahora en la balanza. Se tratará de mantener la balanza en equilibrio mientras se hacen operaciones en ambos lados, buscando terminar con sólo una tex2html_wrap280 del lado izquierdo de la balanza.

Se comienza retirando 3 unidades de cada lado de la balanza. (ver imagen a la izquierda)


Observemos que, en vista de que la balanza está en equilibrio cuando tenemos  tex2html_wrap319 de un lado y 10 unidades del otro, podemos concluir que cada tex2html_wrap280 pesa lo mismo que dos unidades, y esto se observa al dividir las unidades del lado derecho en 5 partes:

displaymath386



displaymath392

Podemos entonces colocar sólo una tex2html_wrap280 del lado izquierdo y 2 unidades del lado derecho y se mantendrá la balanza en equilibrio:




 Si has podido resolver bien todos estos ejercicios, felicitaciones, has obtenido una importante herramienta matemática: la resolución de ecuaciones lineales en el conjunto de los números naturales. Ahora será muy fácil para ti ampliar esta habilidad para ser capaz de resolver ecuaciones lineales en los conjuntos de los números enteros y los racionales.

Si no has podido resolver alguna ecuación, repasa con cuidado el tema y descubre las causas de tus errores.

 

Bibliografía utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998).  Matemáticas en contexto .  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Bibliografía recomendada:
Paredes, B.y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.

Direcciones web recomendadas:
http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/archivo/papel/655/655.html


 
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