Una de las obras más antiguas de la Matemática que se
conocen fue elaborada en Egipto, hace unos 3.600 años. Fue
escrita en un papiro de unos 32 centímetros de ancho por 5,5
metros de largo, por un matemático llamado Ahmesu, cuyo nombre
significa Hijo de Luna. Ese papiro, conocido como el Papiro
de Ahmes, contiene 80 problemas, todos resueltos. Algunos tenían
que ver con asuntos de la vida cotidiana de los egipcios (precios
de compra y venta de productos, etc.). Otros problemas no se referían
a cosas concretas sino simplemente a juegos o adivinanzas con números.
Eran problemas parecidos al siguiente:
"Una cantidad, el doble de ella y 3, todos juntos son 27. Díganme:
¿cuál es la cantidad?".
En la escritura de estos problemas y sus soluciones, no se usaban
los signos :
+
- =
que ahora conocemos. Todo se escribía en palabras del lenguaje
cotidiano. El uso de los signos matemáticos como:
+
- =
x
ha facilitado la
resolución de muchos problemas matemáticos desde que
estos signos surgieron en Europa en la época en que España
conquistaba a América.
Un problema como el que se acaba de plantear, en el cual debe encontrarse
una cantidad desconocida a partir de ciertos datos relacionados con
esa cantidad, se llama una ecuación.
Puede escribirse la ecuación anterior de una manera más
simple:
La
cantidad + el doble de la cantidad + 3 = 27
La cantidad desconocida que se quiere hallar, se llama incógnita.
Así como hoy en día usamos los símbolos +,
-, = en nuestras expresiones matemáticas,
usamos letras para representar las incógnitas
en las ecuaciones.
La letra que más se usa para representar las incógnitas
es la . La ecuación anterior se podría escribir
entonces, usando la en lugar de la palabra "cantidad":
Se
escribe para representar el doble de la cantidad.
¿Puedes explicar por qué?
Resolver la ecuación significa encontrar el valor de la incógnita,
es decir, encontrar el número que, al sustituirse por la cumple la igualdad.
Por ejemplo, en el caso de la ecuación
Resolverla
significa encontrar una cantidad tal que, al restarle 3, se obtiene
9.
Mentalmente, se puede determinar el valor de la incógnita,
pues se sabe que el único número que al restarle 3
nos da 9 es 12.
La solución de la ecuación es .
Esto significa que al sustituir por 12 en la ecuación se cumple la igualdad: .
Si se sustituye la por algún número distinto
de 12 se obtienen igualdades que NO son verdaderas, es decir, no
se cumple la igualdad.
Se sustituye la por 8:
(falso)
Se
sustituye la por 4: (falso)
Hay
ecuaciones un poco más complicadas que y que surgen en la resolución de problemas de la vida
cotidiana.
Se estudiará a continuación la manera de resolver
estas ecuaciones que, por ser más complicadas, no se resuelven
mentalmente con facilidad, como la anterior.
Supóngase, por ejemplo, que José envía a un
amigo a comprar unos caramelos y le da lo que tiene en el bolsillo:
Bs. 210.
El amigo se va al abasto y regresa con 3 caramelos, un lápiz
que le costó Bs. 100, y Bs. 50 que le sobraron. El amigo
de José lo reta a que adivine el precio de cada caramelo.
Tal vez algunos puedan resolver el problema mentalmente, pero, para
aquellos que no, es conveniente plantear la ecuación.
Primero puede escribirse con palabras:
El
precio de 3 caramelos + 100 Bs. + 50 Bs. es igual a 210 Bs.
Como
la incógnita (la cantidad desconocida que se quiere conocer)
es el precio de un caramelo, se puede representar ese precio por la :
Como el precio de 3 caramelos sería , la ecuación se escribiría:
Se
sabe que sumar es lo mismo que multiplicar , así como
sumar 5+5+5 es igual que multiplicar 3 por 5. Es decir, la ecuación
anterior se escribe mejor así:
O,
mejor aún:
Observando
esta ecuación, es posible aproximarse al valor de la incógnita
por tanteo, es decir, intentando con distintos números como
posibles soluciones.
Se desea determinar un número que, al multiplicarlo por 3
y sumarle 150, dé 210.
Si se sustituye por 5 para comenzar (podría comenzarse
con cualquier número), se obtiene:
Al
sustituir por 5 se obtiene 165, un número menor
que 210. Esto indica que no es una solución. Se toma ahora :
Ahora
se obtiene 300, un número mayor que 210.
Esto sugiere que la solución de la ecuación, es decir,
aquel número que al sustituirse por en
da
igual a 210, ese número deberá ser mayor que 5 pero
menor que 50.
Se prueba entonces con :
En
efecto, se acerca el resultado a 210 un poco más.
Sea ahora :
En el siguiente cuadro se observan los valores que se han obtenido
para la expresión con distintos
valores de :
x
3x
+ 150
5
165
10
180
30
240
50
300
Para
reflexionar:
¿Puedes
decir algo acerca de la solución de la ecuación al
mirar la tabla? ¿Será posible que la solución
sea un número mayor que 50? ¿Y menor que 10? ¿Entre
cuáles números podrías ubicar a la solución?
Por
esta vía es muy probable que se encuentre la solución
de la ecuación. Este método se llama tanteo.
Se
usará ahora un método diferente al tanteo para resolver
ecuaciones. Se llama el método algebraico, porque pertenece
a la rama de las Matemáticas llamada Álgebra.
El estudio de las operaciones entre los números: suma, resta,
multiplicación y división, pertenece al área
de las Matemáticas llamada Aritmética.
Se mostrará ahora cuál es el método algebraico
para resolver ecuaciones como la anterior.
Se
ha resuelto la ecuación, puesto que, si se sustituye la en la ecuación por 2, que
es el valor encontrado, se obtiene:
Se
representará gráficamente este proceso algebraico
de la siguiente manera:
Si
se tiene una balanza y de un lado está y del otro 13, como la ecuación dice que estas
cantidades son iguales, la balanza estará en equilibrio.
La resolución algebraica de la ecuación se representará ahora en la balanza. Se tratará de mantener la balanza en equilibrio mientras se hacen operaciones en ambos lados, buscando terminar con sólo una del lado izquierdo de la balanza.
Se comienza retirando 3 unidades de cada lado de la balanza. (ver imagen a la izquierda)
Observemos que, en vista de que la balanza está en equilibrio cuando tenemos de un lado y 10 unidades del otro, podemos concluir que cada pesa lo mismo que dos unidades, y esto se observa al dividir las unidades del lado derecho en 5 partes:
Podemos entonces colocar sólo una del lado izquierdo y 2 unidades del lado derecho y se mantendrá la balanza en equilibrio:
Si
has podido resolver bien todos estos ejercicios, felicitaciones,
has obtenido una importante herramienta matemática: la resolución
de ecuaciones lineales en el conjunto de los números naturales.
Ahora será muy fácil para ti ampliar esta habilidad
para ser capaz de resolver ecuaciones lineales en los conjuntos
de los números enteros y los racionales.
Si no has podido resolver alguna ecuación, repasa con cuidado
el tema y descubre las causas de tus errores.
Bibliografía
utilizada:
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998).
Matemáticas en contexto . México: Grupo
Editorial Iberoamérica.
. La ecuación anterior se podría escribir
entonces, usando la 
para representar el doble de la cantidad.
¿Puedes explicar por qué? 
. 
se cumple la igualdad: 
. 
(falso) 
(falso)
, la ecuación se escribiría: 
, así como
sumar 5+5+5 es igual que multiplicar 3 por 5. Es decir, la ecuación
anterior se escribe mejor así: 
no es una solución. Se toma ahora 
: 
: 
: 
con distintos
valores de 
por 2, que
es el valor encontrado, se obtiene: 
y del otro 13, como la ecuación dice que estas
cantidades son iguales, la balanza estará en equilibrio.
de un lado y 10 unidades del otro, podemos concluir que cada 
