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Multiplicación y división de números enteros


La multiplicación era considerada una operación muy difícil en Europa antes del siglo XVI, pues aún se utilizaban los números romanos y, en este sistema de numeración las operaciones con números grandes son más difíciles que con el sistema decimal posicional.

Antes de que se adoptara este sistema en Europa, la multiplicación sólo se enseñaba en las universidades.

 

Se considerará a continuación un grifo de agua que al abrirse, llena un tanque a razón de 4
litros por minuto.

a. Si en el momento en que son las 6:00 p.m.,
hay 135 litros de agua en el tanque y el grifo estará abierto hasta las 6:05 p.m., ¿cuántos
litros de agua habrá a esa hora?


Como cada minuto entran 4 litros de agua al tanque, al cabo de 5 minutos habrán entrado


(4)*(5) = 20

litros de agua al tanque.

Como había 135 lts. a las 6:00 pm, a las 6:05 pm habrá

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litros de agua en el tanque.


b. Si el grifo estuvo abierto desde antes de las 6:00 p.m., ¿cuántos litros de agua había en el tanque a las 5:55 p.m.?

se pueden usar números negativos para las operaciones a realizar en la resolución de este problema. La hora considerada como presente, es las 6:00 p.m., los minutos antes de las 6:00 pueden considerarse negativos y los minutos después de las 6:00, como positivos.

Por ejemplo, los 5 minutos antes de las 6:00 los escribimos así: -5.

Como el tanque se ha estado llenando a razón de 4 litros por minuto, lo cual significa que en cada minuto que pasa, entran exactamente 4 litros de agua al tanque, es natural pensar que antes de las 6:00 había menos agua que a las 6:00. Por eso, se dice que:

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Es decir, 5 minutos antes de las 6:00 había 20 litros menos de agua que la cantidad que hay a las 6:00.



Ejemplos:
A.) 6 * (-5) = -(6*5) = -30
 
B.) -25 * 2 = -(25*2) = -50
 
C.) -3 * 11 = -(3*11) = -33


Volviendo al ejemplo anterior, sabiendo que en cada minuto el tanque recibe 4 litros de agua, para saber cuántos litros de agua había en el tanque a las 5:55, se realiza la operación indicada antes:
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Ahora, se deben sumar los litros de agua que había a las 6:00 con el -20 obtenido:


135 + (-20) = 115

Había, pues, 115 litros de agua a las 5:55 pm.

c. Ahora se supone que en este momento el tanque tiene 200 litros de agua y que tiene un desagüe que deja escapar 2 litros de agua cada minuto. Dentro de 5 minutos, ¿cuántos litros de agua habrá?

Para usar números negativos en este caso, igualmente se consideran los minutos futuros como positivos, pero como la variación en la cantidad de agua es, en este caso, una disminución, se toman los litros que se pierden en cada minuto como negativos.

Así, la disminución de agua en los próximos 5 minutos será de (-2) 5 = -10 litros

Luego, al transcurrir 5 minutos perdiendo agua, el tanque tendrá

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litros de agua.

d. En la misma situación descrita en c), se pregunta ahora: ¿cuántos litros había hace 5 minutos? Usando números negativos para los minutos ya pasados, y también para los litros de agua perdidos en cada minuto, se tendrá la operación:

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Ya que el tanque está PERDIENDO agua, a las 5:55 había más agua que a las 6:00 p.m.

Si se asigna -5 al tiempo entre 5:55 y 6:00 p.m., y -2 a los litros perdidos en cada minuto, esto permite ver de alguna manera por qué el producto de (-5) por (-2) tiene como resultado el número positivo 10. A las 5:55 p.m. había exactamente 10 litros más que a las 6:00 p.m.

Había entonces en el tanque a las 5:55 p.m. exactamente

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litros de agua.

Así, al multiplicar números enteros, si se multiplican dos números de un mismo signo (ya sean los dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo. Si se multiplican dos números de signos opuestos, el resultado es negativo.


Hay un cuento que relata que en la isla de Barataria, hay ciudadanos "buenos'' (a los que se asigna el signo +) y ciudadanos malos (se les da el signo -).

Si alguien sale de la isla, se considera que se tiene el signo -, y si alguien entra, esto equivale al signo +.

Así, si un ciudadano bueno (+) entra en Barataria (+), el resultado para la isla es positivo: tex2html_wrap_inline294 .

Si un ciudadano malo (-) sale de Barataria (-), el resultado para la isla es positivo: (-).

Si un ciudadano bueno (+) sale de la isla (-), el resultado es negativo: tex2html_wrap_inline306.

Si un ciudadano malo (-) entra a la isla (+), el resultado es negativo: tex2html_wrap_inline312



Distributividad del producto respecto a la suma de números enteros

Cuando se multiplica un número entero por otro, y éste último está escrito como la suma de otros dos, por ejemplo, 7(10+3), se sabe que esta operación es igual a


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Esta propiedad se conoce como la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de números enteros y se puede ver que es muy natural que esto se cumpla siempre, si se observa el siguiente cálculo con piedritas:

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Esta propiedad es válida para todos los números enteros, por lo tanto, si intervienen números negativos en las operaciones, sigue cumpliéndose la propiedad distributiva, por ejemplo: 

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En otras palabras

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para ver una representación gráfica de esta situación, se puede interpretar así:
tex2html_wrap_inline316 es igual al área de un rectángulo que tiene lados 5 y 6:



5 * 10 es el área de un rectángulo de
lados 5 y 10:

5 * 4  es el área de un rectángulo de
lados 5 y 4:

Si al rectángulo de lados 5 y 10 se le quita un rectángulo de lados 5 y 4, como en la figura, se obtiene un rectángulo de lados 5 y 6:


¿Qué ocurre cuando el factor que está fuera del paréntesis es negativo?

Por ejemplo, si se tiene el producto

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la propiedad distributiva asegura que

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División de números enteros

Para dividir un número entero entre otro, se aplica la misma regla establecida para la multiplicación de números enteros:

El cociente tendrá signo positivo si el dividendo y el divisor tienen igual signo.

El cociente tendrá signo negativo si el dividendo y el divisor tienen signos opuestos.

Por ejemplo:
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A continuación algunos ejemplos de operaciones combinadas entre números enteros:

{ [7( -8 )] ÷ [4( 5 + 2)] } - 1

se efectúan en primer lugar las operaciones que están dentro de los paréntesis, y luego las que están agrupados por los corchetes:

{ [7( -8 )] ÷ [4( 7)] } - 1 = { [-56] ÷ [28] } - 1



ahora se efectúa la división que está dentro de las llaves:

{ -56 ÷ 28 } - 1 = -2 -1 = -3


Otro ejemplo:

7 - {[4(-5)] ÷ [-1(2)]} + [7(3 - 1 + 8 - 10)]

para efectuar las operaciones que están dentro del último paréntesis, es bueno reunir por un lado todos los números que tienen signo + y por otro todos los que tienen signo -. Esto mismo es lo que se hace muchas veces para calcular saldos: se suma todo lo que ha sido ganancia por un lado, todo lo que ha sido gasto por el otro y luego se resta a última suma de la primera.

En este caso:

3 - 1 + 8 - 10 = 3 + 8 - (1 + 10) = 11 - 11 = 0


como en el último corchete se tiene 0, éste último término no añade nada a la expresión total, así es que se calcula el resto:

7 - {[4(-5)] ÷ [-1(2)]} = 7 -{(-20) ÷ (-2)} = 7 - {10} = -3





Bibliografía utilizada:
Perero, M. (1994) Historia e historias de Matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica S.A.


 
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