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Potenciación con base en  y exponente natural


En el siglo XVII vivió en Francia un abogado llamado Pierre de Fermat, quien en sus tiempos libres desarrolló su genio matemático, logrando resultados importantes en varias ramas de la Matemática.
Pero uno de los hechos que lo hizo más famoso entre los matemáticos profesionales y aficionados durante 350 años fue el planteamiento que hizo en uno de sus escritos y que fue llamado luego "El Último Teorema de Fermat''.
(Un teorema es una afirmación que requiere ser demostrada para que se considere verdadera. Mientras esa afirmación no sea demostrada, se le llama conjetura).
La conjetura que hizo tan famoso a Fermat afirma que no existen números enteros x, y, z, que verifiquen la ecuación

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cuando n es mayor que 2.

Para n=2 sí existen enteros que satisfacen esa ecuación. Por ejemplo:

Pero para n mayor que 2 nadie podía encontrar soluciones, pero nadie había podido probar, hasta el año 1993 que realmente no existía ninguna.


Lo que más obsesionó a los matemáticos desde 1637 (año en que Fermat planteó su conjetura) hasta fines del siglo XX fue el comentario que escribió Fermat en el margen de la página que contenía la conjetura (y que él llamo Teorema): "He encontrado una demostración realmente maravillosa de este teorema, pero el margen de esta página es muy estrecho para escribirla aquí''.

El último Teorema de Fermat es el teorema que tiene el récord de mayor número de demostraciones incorrectas publicadas.

Pierre de Fermat

Andrew Wiles

Finalmente el Dr. Andrew Wiles, matemático inglés de 40 años de edad, trabajando en la Universidad de Princeton en New Jersey, E.E.U.U., encontró una demostración del famoso teorema después de 7 años de trabajo, utilizando teorías matemáticas muy avanzadas.


Al descubrir el mundo de los números enteros, donde viven positivos y negativos por igual junto con el cero, se han descubierto también maneras de realizar las operaciones de suma, multiplicación y división entre ellos.

Lo mismo hay que hacer con la potenciación: descubrir la manera de calcular potencias donde la base y exponente pueden ser números negativos o positivos.

Una potencia es una expresión de la forma

Se estudiarán los casos de estas potencias, donde a puede ser  negativo y n es positivo. El caso de ser n negativo se estudiará más adelante (Potenciación en Q). Es decir, se verá ahora cómo calcular potencias como las siguientes:

Es bueno recordar, para comenzar, que cuando a es un número entero y n es positivo,    es el número que se obtiene al multiplicar a por sí mismo, n veces.

 



Por otra parte, las propiedades de la potenciación en N  siguen siendo válidas y permiten escribir:

Ahora, se calcula:

displaymath748

Así,


Si ya se sabe cómo multiplicar números negativos entre sí, y números negativos por números positivos, entonces se puede realizar la potenciación con números negativos en la base y positivos en el exponente, porque la potenciación, tal como se ha definido con exponentes positivos, es un producto.

Si la multiplicación con números negativos no resulta clara todavía, será necesario revisar la multiplicación en  y  practicar con muchos ejemplos hasta estar listos para continuar.

En el estudio de las Matemáticas, cada cosa nueva que se aprende será como un nuevo ladrillo añadido a la construcción de una casa. Si el ladrillo no es sólido o está agrietado, más adelante puede hacer que la construcción se derrumbe. En cambio, si cada ladrillo está en buenas condiciones, la construcción se puede continuar con toda tranquilidad.

Se debe tener cuidado, entonces, en el buen aprendizaje de cada tema que se estudia en Matemáticas, y cuando se descubra que hay alguna falla en temas estudiados antes, se debe regresar cuanto antes a reparar la falla.


A continuación hay algunas observaciones importantes:



Todo esto es válido porque las propiedades de la potenciación en N siguen siendo válidas en  .

Así, un número negativo elevado a la 4 también da como resultado un número positivo.

Lo mismo ocurre cuando el exponente es cualquier número par. Por ejemplo

displaymath753
 

Como cualquier número par se puede escribir como el producto del número 2 por otro número, las operaciones anteriores muestran que siempre que se tenga un número negativo elevado a un exponente par, el resultado será positivo.




En definitiva, se tiene lo siguiente: para elevar un número negativo a una potencia cualquiera, basta con efectuar la operación de potenciación tal como si fuera positiva la base y luego recordar que:

- Si el exponente es par, el resultado es positivo.

- Si el exponente es impar, colocamos un signo (-) delante del resultado, pues se sabe que en este caso el resultado es negativo.

Ya se mencionó que las propiedades de la potenciación en N siguen siendo válidas cuando se trabaja con números negativos.

En los siguientes ejemplos, se usan las propiedades estudiadas:

a
tex2html_wrap_inline866
b
tex2html_wrap_inline868
c
tex2html_wrap_inline870
d
tex2html_wrap_inline872
e
tex2html_wrap_inline874


Estas propiedades pueden escribirse de manera más general, así:

Cualesquiera que sean los números enteros m y n, positivos o negativos, y cualesquiera que sean los números naturales p y q, se tiene que:

a
tex2html_wrap_inline882
b
tex2html_wrap_inline884
c
tex2html_wrap_inline886
d
tex2html_wrap_inline888
e
tex2html_wrap_inline890

Agregando ahora lo mencionado sobre el signo de las potencias, se tiene:

Si m es un número negativo, y p es un número par, tex2html_wrap_inline896 es positivo.

Si m es negativo y p es un número impar, tex2html_wrap_inline896 es negativo.




Si tus respuestas han sido todas correctas, felicitaciones!!. Continúa la lectura. Si hay algún error entre tus respuestas, investiga sobre las causas de tu error, para que logres evitar errores futuros de la misma especie.

Muchas personas cometen el error de pensar que la potenciación es distributiva con respecto a la suma, es decir, que la expresión

displaymath758

Hay varias maneras de comprobar que eso es falso, (potenciación en N) pero tal vez la más inmediata es la siguiente:

al calcular tex2html_wrap_inline906 se obtiene tex2html_wrap_inline908 pues -5+8=3.

Por otra parte, se calcula
displaymath759
 

y se obtiene
 

displaymath760
 

Claramente, como tex2html_wrap_inline912
displaymath761

Lo mismo ocurre si se tiene otro exponente distinto de 2:
 

displaymath762
 

pues -1-2=-3 y tex2html_wrap_inline918 , y por otra parte
 

displaymath763

A continuación se presentan ejemplos de diversas operaciones combinadas con la potenciación.
 

displaymath764

Realizando primero las operaciones que están dentro de los paréntesis, se obtiene:
 

displaymath765
 

como 0 elevado a cualquier exponente es igual a 0, se tiene
 

displaymath766
 

se puede observar lo que ocurre con la potenciación en tex2html_wrap_inline904 en relación al crecimiento de los números de la forma tex2html_wrap_inline922 (por ejemplo), a medida que n se hace más grande:
 

displaymath767
 

Eso mismo ocurre con cualquier base que sea positiva. Al elevarla a exponentes mayores, el resultado es mayor. Pero cuando la base es un número negativo, esto ya no se cumple.

Por ejemplo, si se tiene
 

displaymath768

displaymath769
 

es decir, tex2html_wrap_inline926 , a pesar de que 2<3.

Si se escriben las potencias de -5 desde 1 hasta 4 se observa que el orden es oscilante:
 

displaymath770

 



Si has resuelto bien todos estos ejercicios, has hecho un buen progreso en tu habilidad para realizar operaciones con números negativos y positivos. Te será muy útil esa habilidad para tu futuro aprendizaje.

Si  has tenido errores, también pueden serte útiles, si examinas bien las causas de esos errores. Cuando las descubras, habrás aprendido mucho mejor lo que hacía falta conocer para realizar correctamente estos ejercicios.


Bibliografía utilizada:
Paredes, B. y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.  

Bibliografía recomendada:
Guelli:,O.( 1.992).  Contando a Historia da Matematica. Sao Paulo: Editora Atica.
Paredes, B.y Salcedo, A.(1.997). Matemática 7o. Caracas: Santillana S.A.
García, V., Villaseñor, R. y Waldegg, G. (1.998). Matemáticas en contexto.  México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Direcciones web recomendadas: http://icarito.tercera.cl/enc_virtual/matemat/index.htm

Fuentes de fotografias
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/fermat.html
http://www.the-scientist.com/yr1997/sept/sep_art/wiles.jpg


 
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