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Polinomios

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones del tipo $x^2-bx=c$ , con $b>0$ , $c>0$ , aunque estos símbolos ($b,c,x,+,=$ ) no se usaban entonces.


Babilonios


Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ , donde $a$ , $b$ , $c$ pueden ser números cualesquiera.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma

\begin{displaymath} ax^3+bx^2+cx+d=0\;, \end{displaymath}

donde $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son números cualesquiera, y $a\neq 0$ .

Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.

La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.


Scipione del Ferro

Girolamo Cardano

Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".


El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer. Resulta que estos duelos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio.


El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio María Fiore.

Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, por 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica.


Nicolo Fontana Tartaglia


Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna", que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos, la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento, Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento.

Tras un año de polémicas, Tartaglia acepta un reto de un alumno de Cardano para un "duelo matemático", en el cual resulta perdedor. Perdió su trabajo de profesor en la Universidad de Brescia y murió 9 años después, humilde, en Venecia.

El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones lineales o de grado 1 (del tipo $ax+b=0$ ), ecuaciones cuadráticas o de grado 2 (del tipo $ax^2+bx+c=0$ ), ecuaciones cúbicas ó de grado 3
(del tipo $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ) y ecuaciones de cualquier grado, en general.

Asociadas a las ecuaciones, se definen:

Funciones lineales
$f(x)=ax+b$
funciones cuadráticas
$f(x)=ax^2+bx+c$
funciones cúbicas
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

En todos estos casos, las letras $a$ , $b$ , $c$ y $d$ representan números cualesquiera; por ejemplo:

\begin{displaymath} f(x) \;=\; 3x^3-2x^2+1 \end{displaymath}
es una función cúbica, donde $a=3$ , $b=-2$ , $c=0$ y $d=1$ . Estos números son llamados los coeficientes de la expresión $3x^3-2x^2+1$ .

A veces, los coeficientes se denotan con las letras $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , etc., y se expresan así:

Funciones lineales
\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_1x+a_0 \end{displaymath}
funciones cuadráticas
\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_2x^2+a_1x+a_0 \end{displaymath}
funciones cúbicas
\begin{displaymath} f(x) \;=\; a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \end{displaymath}


Esto permite identificar a cada coeficiente con la potencia de la $x$ a la cual acompaña: $a_3$ acompaña a $x^3$ , $a_2$ a $x^2$ , $a_1$ a $x^1$ y $a_0$ a $x^0=1$ , pues $a_0=a_0\cdot 1=a_0\cdot x^0$ . Este último término se denomina término independiente.

En general, pueden definirse funciones similares, colocando cualquier número entero positivopero con el mayor exponente de la $x$ siendo .

Por ejemplo:

\begin{eqnarray*} f(x) & = & x^7+3x^6-5x^5+4x^3+2x-1 \\ g(x) & = & 2x^{10}-8x^4+\displaystyle \frac{x^3}{3} - 2x^2-6 \end{eqnarray*}

Los coeficientes de $f(x)$ son:

Los de $g(x)$ son:


Todas estas funciones son llamadas funciones polinómicas. El grado de una función polinómica es el mayor exponente al cual está elevada la $x$ .

por ejemplo, el grado de $f(x)=x^7+3x^6-5x^5+4x^3+2x-1$ es 7.

Para que una función sea polinómica, los exponentes de la $x$ deben ser todos enteros positivos, o cero. Si hay exponentes fraccionarios o negativos, ya no se trata de una función polinómica.


Por ejemplo:

\begin{displaymath} f(x)\;=\; -10x^4+3x^2+\sqrt{2} \end{displaymath}

es una función polinómica, mientras que
\begin{displaymath} g(x)\;=\; \frac{4}{x}+x^{17}-6 \end{displaymath}

no lo es, porque el término $\frac{4}{x}$ equivale a $4\cdot x^{-1}$ , y cuando hay exponentes negativos en la variable $x$ , ya no se trata de una función polinómica.

En el caso de $f(x)$ , aunque aparece $\sqrt{2}$ como el coeficiente de $x^0$ y $\sqrt{2}=2^{1/2}$ , ese exponente fraccionario no está sobre la variable $x$ , sino sobre un coeficiente; por lo tanto $f(x)$ es una función polinómica.




Si la expresión de una función polinómica consta de un solo término, esa expresión se llama monomio:

$-5x^6$ es un monomio.

Si la expresión consta de 2 términos, se llama binomio: $-3x+5$ es un binomio (la suma de dos monomios). En el caso de tratarse de una función como la siguiente:

\begin{displaymath} f(x)\;=\; 4x^6+5x-2 \end{displaymath}
se dice entonces que $4x^6+5x-2$ es un trinomio (la suma de 3 monomios).

Cuando hay más de 3 términos, sencillamente llamamos polinomio a la expresión dada. Por ejemplo

\begin{displaymath} f(x)\;=\; -7x^2+5x^6+10x^3+8x-1 \end{displaymath}

es un polinomio. Más precisamente, podemos decir que todas las expresiones del tipo

\begin{displaymath} a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \end{displaymath}

son polinomios.

Los monomios, binomios y trinomios son polinomios especiales con sólo 1,2 ó 3 términos respectivamente.


Suma de Polinomios

Los polinomios son expresiones que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir; para dar un ejemplo de una suma de polinomios, se tomarán los polinomios

\begin{eqnarray*} f(x) & = & 3x^2+4x-1 \\ g(x) & = & 5x^5-4x^4 \end{eqnarray*}

en este caso, $g$ es de grado 5 y $f$ de grado 2. Los coeficientes de $f$ son: $a_2=3$ , $a_1=4$ , $a_0=-1$ . Los de $g$ son: $b_5=5$ , $b_4=-4$

Para sumar $f(x)+g(x)$ , se suman los coeficientes de un mismo grado, y para eso se puede escribir:

$a_5=0$
$b_5=5$
$a_5+b_5=5$
$a_4=0$ $b_4=-4$ $a_4+b_4=-4$
$a_3=0$ $b_3=0$ $a_3+b_3=0$
$a_2=3$ $b_2=0$ $a_2+b_2=3$
$a_1=4$ $b_1=0$ $a_1+b_1=4$
$a_0=-1$ $b_0=0$ $a_0+b_0=-1$


Entonces, el polinomio resultante es

\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 5x^5-4x^4+3x^2+4x-1 \end{displaymath}

Una manera distinta de sumar estos dos polinomios es la siguiente:

se colocan uno debajo del otro, con cada monomio debajo del que tiene su mismo grado. Para eso, se deben colocar todos los monomios de grados 0,1,2,3,4,5, en ambos polinomios, algunos de ellos con coeficiente 0:

$f(x)$ $=$ $0x^5+0x^4+0x^3+3x^2+4x-1$
$g(x)$ $=$ $5x^5-4x^4+0x^3+0x^2+0x-0$
     
$f(x)+g(x)$ $=$ $5x^5-4x^4+0x^3+3x^2+4x-1$
$f(x)+g(x)$ $=$ $5x^5-4x^4+3x^2+4x-1$

en este caso, la suma es muy sencilla. Los polinomios $f(x)$ y $g(x)$ no tienen monomios del mismo grado, pues $f(x)$ tiene monomios de grado 0,1 y 2, y $g(x)$ tiene monomios de grados 4 y 5.

No tienen lo que se denomina "términos semejantes". Estos son monomios del mismo grado. Por eso, para sumar $f(x)+g(x)$ basta con "añadir" los monomios que componen a $g(x)$ a los de $f(x)$ :

\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 3x^2+4x-1+5x^5-4x^4 \end{displaymath}
Luego se pueden ordenar los monomios de acuerdo a su grado:

\begin{displaymath} f(x)+g(x) \;=\; 5x^5-4x^4+3x^2+4x-1 \end{displaymath}

en la siguiente suma, sí hay términos semejantes:
\begin{eqnarray*} h(x) & = & 3x^3-7x^6+4x^2+x-2 \\ p(x) & = & 2x^2+4x^5+6x^6-x^3+2x-1 \end{eqnarray*}


Es bueno ordenar los monomios por grado (de mayor a menor), y colocar los que faltan, con coeficiente cero:

\begin{eqnarray*} h(x) & = & -7x^6+0x^5+0x^4+3x^3+4x^2+x-2 \\ p(x) & = & 6x^6+4x^5+0x^4-x^3+2x^2+2x-1 \end{eqnarray*}

Ahora se suman los coeficientes de los términos semejantes: haz click aquí para ver los polinomios


Resta de Polinomios.

Una resta de dos polinomios no es más que la suma de un polinomio más el opuesto del otro. Tal como ocurre con los números enteros , el opuesto de un polinomio es aquel que, sumado a él, da cero. Por ejemplo:

\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^2+2x-1 \\ -p(x) & = & -x^2-2x+1 \end{eqnarray*}

pues $p(x)+\Big(-p(x)\Big)=x^2+2x-1-x^2-2x+1=0$ .

El polinomio opuesto a $p(x)$ es $-p(x)$ y se obtiene sencillamente cambiando de signo a todos los monomios de $p(x)$ .

Los monomios de $p(x)$ son: $x^2$       $+2x$        $-1$ .
Los monomios de $-p(x)$ son: $-x^2$        $-2x$         $+1$ .

cuando se deba restar un polinomio de otro: $p(x)-q(x)$ , lo que se hace es sumar $p(x)$ más el opuesto de $q(x)$ :

\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^2+2x-1 \\ q(x) & = & 3x^4-x^2+6x \\ [.35cm] p(x)... ...\Big) \;=\; (x^2+2x-1)+(-3x^4+x^2-6x) \\ & = & -3x^4+2x^2-4x-1 \end{eqnarray*}

Otro ejemplo:

\begin{eqnarray*} f(x) & = & 3x^3-5x^2+2x+1 \\ h(x) & = & 7x^2-x+6 \\ [.35cm] f... ...x) & = & (3x^3-5x^2+2x+1)+(-7x^2+x-6) \\ & = & 3x^3-12x^2+3x-5 \end{eqnarray*}


Para reflexionar:

Si $p(x)=3x^4-2x^2+1$ y el grado del polinomio $p(x)-q(x)$ es 2, ¿cuál es el grado del polinomio $q(x)$ ? ¿Es posible que $q(x)$ tenga un monomio de grado 3? ¿y de grado 1?

El grado del polinomio $p(x)$ es 4 y si el de $p(x)-q(x)$ es 2, entonces $q(x)$ tiene un monomio de grado 4, que es $3x^4$ pues esa es la única manera de que $p(x)-q(x)$ no tenga un monomio de grado 4 (se cancelarán $3x^4+(-3x^4)$ ).

Como$p(x)-q(x)$ tiene grado 2, $q(x)$ tampoco tiene monomios de grado mayor que 4, así que el grado de $q(x)$ es 4. Si $q(x)$ tuviera un monomio de grado 3, aparecería con el signo opuesto en $p(x)-q(x)$ , y el grado de $p(x)-q(x)$ sería 3; como en realidad es 2, entonces $q(x)$ no tiene un monomio de grado 3.

Finalmente, $q(x)$ podría tener un monomio de grado 1, porque $p(x)-q(x)$ tiene grado 2 y puede tener un monomio de grado 1.


Multiplicación de Polinomios.

Si se tienen dos polinomios muy simples, por ejemplo, dos monomios, el producto de ellos dos es muy fácil de calcular. Por ejemplo:

\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^3 \\ q(x) & = & 4x^2 \\ p(x)\cdot q(x) & = & x^3\cdot 4x^2 \;=\; (1\cdot 4)(x^3\cdot x^2) \;=\; 4x^5 \end{eqnarray*}

Simplemente, se usa la propiedad de la potenciación que dice que, al multiplicar dos potencias con igual base, se obtiene otra potencia, con la misma base y con exponente igual a la suma de los dos exponentes:
\begin{displaymath} x^3\cdot x^2 \;=\; x^{3+2}. \end{displaymath}

Por otra parte, los coeficientes de los monomios se multiplican, como en este ejemplo: $1\cdot 4=4$ . Otro ejemplo:

\begin{displaymath} (-3x^5)\cdot (2x^3) \;=\; (-3\cdot 2)(x^5\cdot x^3) \;=\; -6x^{5+3} \;=\; -6x^8. \end{displaymath}

Además, todo monomio se puede expresar como producto de otros dos, por ejemplo:
\begin{displaymath} -3x^5 \;=\; (3x)(-x^4) \end{displaymath}

El proceso de encontrar dos o más polinomios que al multiplicarse permitan obtener el polinomio original se denomina factorización de polinomios.  


Factorizar monomios es muy sencillo, y si el grado del monomio es mayor que 1, hay varias maneras de factorizarlo, por ejemplo:

\begin{displaymath} -3x^5 \;=\; (3x)(-x^4) \end{displaymath}
pero también
\begin{eqnarray*} -3x^5 & = & (-3x^2)(x^3) \\ [.3cm] -3x^5 & = & (x^4)(-3x) \\ ... ...] -3x^5 & = & \left(\displaystyle \frac{3}{2}x^3\right)(-2x^2) \end{eqnarray*}

Factorizar binomios, trinomios y polinomios en general, requiere de más trabajo, y se verán algunos casos más adelante.


Observando los ejemplos anteriores, se destaca lo siguiente: el grado de p(x).q(x) es igual a la suma de los grados de p(x) y q(x). Esto siempre se cumple, cuando se multiplican dos polinomios.



Hay algunos casos destacados de productos de polinomios que, por esa importancia que tienen, son llamados productos notables. Son los siguientes:



Otros productos notables son:

1) $(a+b)^3 \;=\; a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Esto es cierto porque

\begin{eqnarray*} (a+b)^3 & = & (a+b)(a+b)^2 \;=\; (a+b)(a^2+2ab+b^2) \\ & = & a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3 \;=\; a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{eqnarray*}

Por ejemplo:
\begin{eqnarray*} (x-1)^3 & = & x^3-3(x^2)(-1)+3(x)(-1)^2+(-1)^3 \;=\; x^3-3x^2... ... & = & (2x)^3+3(2x)^2(3)+3(2x)(3)^2+3^3 \;=\; 8x^3+36x^2+54x+9 \end{eqnarray*}

2) $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ .

3) $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ .

Estas dos igualdades se ve que son ciertas, sencillamente aplicando la distributividad del producto respecto a la suma. Por ejemplo:

\begin{eqnarray*} (4-x)(16+4x+x^2) & = & 4^3-x^3 \\ (2x+2)(4x^2-4x+4) & = & (2x)^3+(2)^3 \;=\; 8x^3+8 \end{eqnarray*}


Factorización:

Se ha visto ya que la factorización de un polinomio es el mecanismo que permite expresar a ese polinomio como el producto de dos o más polinomios. Por ejemplo, si se desea factorizar el polinomio

\begin{displaymath} p(x) \;=\; 9x^2-25 \end{displaymath}
se observa que $9x^2=(3x)^2$ y $25=5^2$ , entonces
\begin{displaymath} 9x^2-25 \;=\; (3x)^2-5^2 \;=\; (3x-5)(3x+5) \end{displaymath}

se ha expresado $9x^2-25$ como producto de los binomios $3x-5$ y $3x+5$ .

El término factorización también se usa en el contexto de los números naturales. Factorizar el número 30 es escribirlo como producto de factores, distintos de 30:

\begin{eqnarray*} 30 & = & 10\cdot 3 \\ 30 & = & 2\cdot 15 \\ 30 & = & 2\cdot 3\cdot 5 \end{eqnarray*}

Hay 3 factorizaciones del número 30, distintas entre ellas. Sin embargo, el número 11 no se puede factorizar como producto de factores distintos de 11, porque 11 es primo.

De la misma manera, se pueden factorizar algunos polinomios y otros no.

Por ejemplo, $p(x)=x+1$ no se puede factorizar como producto de otros polinomios.

El polinomio $g(x)=x^2+12x+9$ se puede factorizar, pues $9=3^2$ , $12=2(3x)$ y por lo tanto

\begin{displaymath} x^2+12x+9 \;=\; x^2+2(3\cdot x)+3^2 \;=\; (x+3)^2 \;=\; (x+3)\cdot(x+3). \end{displaymath}

También el polinomio $q(x)=4x^3+20x^2+25x$ se puede factorizar. Primero, se observa que se puede sacar la $x$ como factor común de todos los términos:

\begin{displaymath} q(x)\;=\; x(4x^2+20x+25) \end{displaymath}

Ahora, $4x^2=(2x)^2$ , $25=5^2$ y $20x=2\Big[(5)(2x)\Big]$ . por eso,

\begin{displaymath} x(4x^2+20x+25) \;=\; x(2x+5)^2 \;=\; x(2x+5)(2x+5). \end{displaymath}




División de Polinomios.

Dos polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, pero esta última operación se puede hacer siempre que el grado del divisor sea menor o igual al grado del dividendo. Por una razón muy simple:

Si $p(x)\div q(x)=g(x)$ , entonces

\begin{displaymath} p(x)\;=\; q(x)\cdot g(x) \end{displaymath}

y por eso el grado de $p(x)$ es igual al grado de $q(x)$ más el grado de $g(x)$ .

Por ejemplo:

Si $p(x)=x^3-1$ y \begin{displaymath} q(x) \;=\; x-1 \end{displaymath}
entonces $p(x)\div q(x)=x^2+x+1$ , porque
\begin{displaymath} x^3-1 \;=\; (x-1)(x^2+x+1) \end{displaymath}
Aquí se ve que el grado del divisor ($q(x)$ ) es igual a 1, el grado del dividendo es 3 y el del cociente es 2 y$2+1=3$

Cuando se divide un número entero entre otro, puede ocurrir que la división sea exacta, o que tenga un resto, el cual es un número menor que el divisor. Por ejemplo:

$15\div 3\;=\; 5$    es una división exacta.
$15\div 2\;=\; 7$ con resto 1, porque $7\cdot 2+1=15$

Del mismo modo, al dividir un polinomio $p(x)$ entre otro $q(x)$ , cuyo grado sea menor o igual al de $p(x)$ , se puede obtener una división exacta, o una que deja un resto, y el resto, en este caso es otro polinomio de grado menor que el de $q(x)$ .

Por ejemplo: la división anterior, $(x^3-1)\div (x-1)$ es exacta porque

\begin{displaymath} x^3-1 \;=\; (x-1)(x^2+x+1) \end{displaymath}
La siguiente división no es exacta:
\begin{eqnarray*} p(x) & = & x^5-5x \\ q(x) & = & x^2 \\ p(x)\div q(x) & = & (x^5-5x)\div x^2 \end{eqnarray*}

como $x^5-5x=(x^2)(x^3)-5x$ se tiene que el cociente de esa división es el monomio $h(x)=x^3$ y el resto es el monomio
\begin{displaymath} r(x) \;=\; -5x \end{displaymath}

Además, se observa lo siguiente:

grado de $r(x)=1\quad<\quad 2=$ grado de $q(x)$
grado de $p(x)=5\quad=\quad 3+2=$ grado de $q(x)$ $+$ grado de $h(x)$

esto siempre debe ocurrir en una división de polinomios:

Si $p(x)\div q(x)=h(x)$ con resto $r(x)$ , es decir,

\begin{displaymath} p(x) \;=\; q(x)\cdot h(x)+r(x) \end{displaymath}
entonces:
\begin{displaymath} \mbox{grado de $p(x)$} \;=\; \mbox{grado de $q(x)$} + \mbox{grado de $h(x)$} \end{displaymath}

y
\begin{displaymath} \mbox{grado de $r(x)$} \;<\; \mbox{grado de $q(x)$.} \end{displaymath}

Ahora se verá cómo se realiza una división entre dos polinomios, de manera que se obtenga un cociente y un resto (que puede ser cero si la división es exacta).

Si se trata de un monomio entre otro, es muy sencillo:

\begin{eqnarray*} p(x) & = & 6x^7 \\ [.3cm] q(x) & = & 2x^3 \\ [.3cm] p(x)\div ... ...\; 3x^4 \quad \mbox{porque} \\ [.3cm] 6x^7 & = & (3x^4)(2x^3). \end{eqnarray*}

Para obtener el monomio cociente, en este caso, $3x^4$ , se dividió el coeficiente 6 de $p(x)$ entre el coeficiente 2 de $q(x)$ y se obtuvo el 3 de $3x^4$ . Para obtener el grado del monomio cociente, se restó: $7-3=4$ ; esto es, el grado de $p(x)$ menos el grado de $q(x)$ .


Para aprender a dividir bien polinomios, es necesario conocer bien la forma de dividir monomios. Si has realizado bien este ejercicio, no tendrás dificultades en aprender lo que sigue ahora. Si has tenido errores es muy importante que comprendas su causa, para poder superarla y continuar con tu aprendizaje sin problemas. Ejemplo de División de polinomios


El conocimiento acerca de las operaciones entre polinomios y su correcta realización es una herramienta importante para el estudio del Álgebra. Si has tenido éxito en estos ejercicios, tienes buenas bases para continuar avanzando en esta disciplina. Si no es así, es bueno revisar la lectura anterior con detenimiento y tratar de comprender las causas de los errores cometidos, para así superarlos definitivamente.

 
 


Bibliografía recomendada:

Porras, O. (2002) Polinomios. Mérida: Ediciones de la Escuela Venezolana de Enseñanza de la Matemática.

Fuentes de fotografias
http://www.marista-mcz.com.br/webquests/wq-histmat/introducao.htm
http://nunic.nu.edu/~frosamon/history/ce1499.html
http://www.math.uni-sb.de
http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/bio/tartagli.htm

 
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