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Lanzamiento inclinado


Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se lanza con una velocidad inicial , formando un ángulo q0 con la dirección horizontal. Su velocidad cambia constantemente debido a la acción del campo gravitatorio.
Los componentes rectangulares de la velocidad inicial y . (Los subíndices se utilizan para indicar los valores iniciales de en cada uno de los ejes). Si no existiera la atracción gravitatoria, en tiempos t1, t2, t3, … ocuparía respectivamente posiciones tales como A, B, C, D, y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante , Sin embargo como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción gravitatoria, a la vez que se mueve según la recta AE, cae verticalmente, y al final de los tiempos indicados las posiciones del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La curva que une estos puntos determina la trayectoria del proyectil, que corresponde a una parábola .


Cuando el cuerpo es lanzado forma un ángulo q0 con la horizontal y la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe aceleración, en tanto que en la dirección vertical el cuerpo está sometido a la acción de la fuerza de la gravedad y por ello, en dicha dirección se manifiesta un movimiento con aceleración constante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil será el resultado de la composición de dos movimientos, uno con velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro con aceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.


El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un movimiento uniformemente retardado con aceleración = - g. Se observa que la componente de la velocidad a lo largo del eje y (), cuando el proyectil sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a cero en el punto de máxima altura de la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil empieza a bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado = g , luego la componente de la velocidad cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el cuerpo continúa su caída libre. Se nota que durante todo
el movimiento, la componente horizontal de la velocidad a lo largo del eje horizontal (eje x )
se mantiene constante y por consiguiente
el movimiento a lo largo de este eje
es rectilíneo uniforme.


De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un movimiento que resulta de la superposición de un movimiento rectilíneo uniforme ( = constante) y un movimiento uniformemente variado ( = constante) a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del proyectil en cualquier instante t a partir de las siguientes ecuaciones.


Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento
( t = 0)
Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial , formando con la horizontal un ángulo q0.
Las componentes del vector en las direcciones de los ejes vienen dadas en módulo por:

(Componente Horizontal)
(Componente Vertical)


Ecuaciones de la velocidad para un instante después del lanzamiento
Cuando el proyectil ocupa una determinada posición en un instante t después de haber sido lanzado la velocidad , tendrá una componente horizontal que se llama y una componente vertical que se llama .


Ecuaciones del desplazamiento
El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal x viene dado por la ecuación:


La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y vendrá dada por:

La magnitud de la componente vertical en cualquier instante viene dada por:

La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada como:

El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal representa la dirección de la velocidad y viene dado por:


El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación del desplazamiento vertical y vendrá dada por:


Si la anterior ecuación se resuelve para se obtiene:


Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamientos ubicados dentro del rango 0 < q0 < p / 2. La ecuación es válida para cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del proyectil. Esta expresión es de la forma y = ax-bx2, que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Se advierte que la trayectoria está completamente especificada si se conoce tanto la rapidez inicial como el ángulo de lanzamiento q0.


Ecuación del tiempo máximo
Se llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima ().
A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad hasta llegar un momento en que la misma se hace cero. Para ello hacemos = 0 en la ecuación:


 

Ecuación de la altura máxima ()
La altura máxima se obtiene haciendo en la ecuación



Ecuación del tiempo de vuelo
()
El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil desde su punto partida.





Alcance horizontal ( R )

Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.

Ejemplo 2
José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto patea el balón con un ángulo de inclinación sobre la horizontal de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto de partida se encuentra un vertical de la Portería con el cual choca la esférica. ¿A que altura del poste respecto a la horizontal pega el balón?



Solución

= 20 m/seg q0= 37º X = 36 m

La posición se denota por la ecuación:

Y = 2,19 = 2,2 m


Ejemplo 3
Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró uno colgado tranquilamente en la rama de un árbol. El cazador no era muy buen físico y pensó que si apuntaba directamente al mono, seguramente le daría. El cazador apunta directamente al mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y por lo tanto pasará debajo del mono. Pero el mono había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él, el mono pensaba cuidadosamente que hacer.

Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae del árbol esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independiente de cual sea la velocidad inicial del dardo, con tal que sea suficientemente grande para recorrer la distancia horizontal que hay hasta el árbol.

 

Solución
El mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma cantidad.
La altura del dardo en cualquier instante es:

La altura del mono en cualquier instante es:

Demostrar que H = Voy. t;




Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.
Nota:
Una colisión puede ocurrir cuando d es la elevación inicial del blanco sobre el suelo.

 
 
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