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Aceleración centrípeta


Se ha establecido que en el movimiento circular uniforme hay una variación en la dirección y sentido de por lo que existe una variación de la velocidad en un tiempo ; luego hay una aceleración que se denomina aceleración centrípeta o normal, como la magnitud de la velocidad permanece constante la partícula no poseerá aceleración tangencial.


Observe el P1 es la posición de la partícula en el tiempo t, y P2 su posición en el tiempo t + de la partícula que se mueve con MCU. Sean y sus velocidades lineales o tangenciales en las posiciones P1 y P2 , respectivamente. Se observa que el tamaño de los vectores y son iguales, queriendo significar con esto que tienen igual magnitud ya que la rapidez es constante; pero es obvio que las direcciones y sentidos de y son diferentes.

Sin embargo, por ser dichas velocidades tangentes a las trayectorias en dichos puntos, (y ) serán perpendiculares a los vectores de posición en los puntos P1 y P2 , respectivamente.

La longitud de la trayectoria recorrida durante el intervalo es la longitud del arco P1 P2, que es igual a: , siendo r el radio de la circunferencia, pero dicha longitud recorre con una rapidez constante V, luego



teorema “ Si dos rectas forman un ángulo , las perpendiculares a ellas al cortarse deben formar el mismo ángulo



El ángulo que forma y - es igual a , (abertura del ángulo central).
Se traslada el vector cambiando su sentido. De manera que su origen coincida con el vector . En la figura se señala que el vector ( - ) que apunta hacia el centro de la circunferencia. Es decir, la misma dirección del radio vector; este vector junto con y - forman un triángulo isósceles, siendo el ángulo el punto de concurrencia del extremo final de y el origen del vector -. El cambio de velocidad, al moverse la partícula de P1 y P2, ha ocurrido en el tiempo .

Se considera los triángulos OP1 P2 y el formado por los vectores - , y ; dichos triángulos son semejantes porque ambos son isósceles y tienen un mismo ángulo en el vértice. Para cuando P1 se aproxima a P2, es decir, en el caso de que tienda a cero, en virtud de dicha semejanza, se puede establecer la siguiente proporcionalidad:

Como Los módulos de y son iguales a V se tiene:

donde:

El primer término de la relación significa la variación de la rapidez por unidad de tiempo, que no es más que el módulo de una aceleración, que en el caso particular del movimiento circular se denomina aceleración centrípeta y se escribe:

Dicha relación se obtuvo haciendo aproximación para cuando tiende a cero. Y por lo tanto esta aceleración será una aceleración instantánea, que como V es constante (módulo de ) y r también lo es, la aceleración centrípeta también será constante en módulo durante todo el MCU.

Otra fórmula se puede escribir si se sustituye a
V
= w.r;



 


La aceleración centrípeta por ser un vector, está definida cuando se conoce su dirección y sentido. Se observa que por ser la dirección y sentido de la aceleración centrípeta, los mismos que los del vector se concluye que la dirección es radial y de sentido hacia el centro de la trayectoria en cada punto de ella.
Se puede notar que la velocidad y la aceleración , en cada punto de la trayectoria son perpendiculares.
La aceleración centrípeta por tener la misma dirección del radio del círculo, también se denomina aceleración normal; dicha aceleración, como se ha dicho anteriormente, es consecuencia de la variación de la dirección de la velocidad en un lapso de tiempo.

Como el módulo de la velocidad en MCU es:     ; luego
Las unidades de aceleración centrípeta son las mismas que las de una aceleración que proviene de un cambio de magnitud de la velocidad: Por consiguiente, las unidades pueden ser, entre otras m/seg2, pies/ seg2, cm/ seg2, Km/h2.




Ejemplo 3
La Luna gira alrededor de la Tierra, efectuando una revolución completa en 28 días. Supóngase que la orbita sea circular y que tiene una distancia a la Tierra de 3,85X108m.

a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad tangencial (m/seg)?

b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración Centrípeta (m/seg2)?


Solución
a)  El tiempo que tarda en dar una revolución completa se llama período y es T= 28 días = 2419200 seg.

b)  La aceleración centrípeta es:




Ejemplo 4

La República Bolivariana de Venezuela puede considerarse situada en la zona ecuatorial de la Tierra. (Radio de la Tierra de 6370 Km).


Calcular

a)  ¿Cuál es la rapidez angular de una persona en Venezuela en relación al movimiento rotatorio de la Tierra?
b)  ¿Cuál es el módulo de la velocidad tangencial o lineal?
c)  ¿Cuál es la aceleración centrípeta que experimenta cualquier cuerpo situado en Venezuela?

Solución

a)  La Tierra da una vuelta completa en un tiempo de 24 horas describiendo por lo tanto un ángulo de 2p radianes.

b)

c) 


Ejemplo 5
Calcular la rapidez angular, la velocidad tangencial y aceleración centrípeta para la Traslación de la Tierra en torno al Sol.

Solución
La Traslación de la Tierra en torno al Sol se completa en un año (365 días) y la distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente de 150 x 106 Km = 1,5 x 1011m.

Rapidez Angular

Velocidad Tangencial

Aceleración Centrípeta

 



 
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