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Funciones Exponenciales y logarítmicas


Funciones Exponenciales:
En muchos casos, el crecimiento de poblaciones tiene un comportamiento al transcurrir del tiempo que puede describirse a través de una función exponencial, que es una función del tipo:

$\displaystyle f(x)=k(a)^{cx}$

Con $ a>0$, $ k\neq 0$, $ c\neq 0$. Por ejemplo, si $ a=2$, $ k=1$, $ c=1$, se obtiene la función

$\displaystyle f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\quad\quad f(x)=2^x$

cuya representación gráfica en el plano cartesiano es:
Se puede observar que la curva que representa a la función $ f(x)=2^x$ está contenida en el semiplano de los pares ordenados $ (x,y)$ tales que $ y>0$ (el semiplano que está por encima del eje de las abscisas).

Esto es así porque $ 2^x>0$ para cualquier número real $ x$. En efecto, si  $ x\geq 0$$ 2^x\geq 1$  y  si  $ x<0$, $ 2^x=2^{-(-x)}=\frac{1}{2^{-x}}$.

Como $ -x>0$, tenemos $ 2^{-x}>1$  y  $ 0<\frac{1}{2^{-x}}<1$. Otra forma de decir esto, es que el Rango de la función $ f(x)=2^x$ está contenido en el interválo $ (0,\infty)$.

El rango de una función es el conjunto de todas las imágenes de los elementos del dominio. Observando la gráfica anterior, es importante recordar lo siguiente:

1.-
El Dominio de $ f$ es $ \mathbb{R}$ y está representado en el eje de las abscisas.
2.-
El Rango de $ f$ es el intervalo $ (0,\infty)$ y se representa en el eje de las ordenadas.
3.-
La curva que es la representación gráfica de $ f$ está en el plano cartesiano porque está constituida por pares ordenados de números reales de la forma $ (x,2^x)$, donde la primera coordenada pertenece al dominio de $ f$ y la segunda, al rango.



Una función exponencial que describe el crecimiento de una población de bacterias es la siguiente: Si se tiene una población de 500 bacterias en el momento en que se inicia la observación y después de 1 hora se observa que hay 800 bacterias, se puede concluir que, después de $ t$ horas, habrá una población de $ 500\cdot e^{(0,47)t}$. Aquí, $ e=2,71828183...$$ e$ es un número irracional, de los más importantes en la Matemática, entre otras cosas, por la gran variedad de fenómemos cuya interpretación matemática lo involucra. Es llamado el número neperiano.

Es decir, la función $ P:[0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por:

$\displaystyle P(t)=500\cdot e^{(0,47)t}$

describe el crecimiento de la población a través del tiempo.

$ t=0$
$ P(t)=P(0)=500\cdot e^{(0,47)0}=500\cdot e^0=500$
$ t=1$
$ P(t)=P(1)=500\cdot e^{(0,47)1}=800$

A las 10 horas, se tendrá:
$\displaystyle P(10)=500\cdot e^{(0,47)10}=500\cdot e^{4,7}\approx 55000$
A las 24 horas,
$\displaystyle P(24)=500\cdot e^{(0,47)24}=39600000$
En una semana, la población de bacterias sería:
$\displaystyle P(168)=500\cdot e^{(0,47)168}\approx 10^{13}$
Estos resultados muestran que a medida que transcurren las horas, la población crece cada vez más velozmente. Esta es la razón por la cual se habla de un 'crecimiento exponencial' cuando se hace referencia a un crecimiento muy acelerado. Una representación gráfica aproximada de la función $ P$ en el intervalo $ [0,3]$ es la siguiente:

Función Logarítmica:


Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow(0,\infty)$ dada por $ f(x)=2^x$, la función exponencial de base 2, y sea  $ g:(0,\infty)\longrightarrow\mathbb{R}$  la función definida así:

$\displaystyle g(x)=y$   si   $\displaystyle \quad\quad 2^y=x$

$ g$ es la llamada función inversa de $ f$, porque si $ x$ es un número real, se cumple que

$\displaystyle g(2^x)=x$
pues, por definición de $ g$, si $ g(2^x)=y$, entonces $ 2^y=2^x$, por lo tanto $ y=x$. La función $ g$ es la función logarítmica de base 2, y se escribe $ g(x)=\log_2 x$. Su dominio es el conjunto de los números reales positivos, y su rango es $ \mathbb{R}$.



Se definen funciones logarítmicas con base en cualquier número positivo $ a$: $\displaystyle \log_ax=y$   si  $\displaystyle \quad\quad a{\uml y}=x$Si $ g(x)=\log_ax$, $ g$ es la función inversa de la función exponencial $ f(x)=a^x$. Las funciones logarítmicas más importantes son la de base 10 (logaritmo decimal) y la de base $ e$ (logaritmo natural o neperiano). Por lo general, se denotan así:
$\displaystyle \log_{10}x=\log x$

$\displaystyle \log_ex=\ln x$
El dominio de toda función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos.



Gráfica de una función logarítmica:
Si $ f(x)=\ln x$, la representación gráfica de $ f$ es, aproximadamente, la siguiente:


 
 
 
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