Firma páginas web


 

 

Factorización de polinomios

Entre las funciones importantes de la Matemática está la familia de las funciones polinómicas. Una función polinómica puede definirse de manera que su dominio sea el conjunto $ \mathbb{R}$ de todos los números reales o el conjunto $ \mathbb{C}$ de los números complejos Por ejemplo, la función $ f(x)=x^2+1$ puede considerarse como definida sobre $ \mathbb{C}$:

$\displaystyle f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C},\quad\quad f(x)=x^2+1$

y esto significa que para cada número complejo $ x=a+bi$, se tiene:

$\displaystyle f(x)=(a+bi)^2+1=[(a^2-b^2)+2abi]+1=a^2-b^2+1+2abi$

Así, por ejemplo:

$\displaystyle f(-1+2i)=-2-4i$
$\displaystyle f(2)=f(2+0i)=2^2+1=5$

Si, en cambio, se define

$\displaystyle g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\quad\quad g(x)=x^2+1$


se trata de una función diferente a $ f$, aunque tengan la misma regla de correspondencia. $ f$ y $ g$ son distintas, porque sus dominios respectivos son distintos; sin embargo, para todo número real $ x$, $ f(x)=g(x)$

Ejercicio:

Comprueba que si $ x$ es un número real, visto como número complejo ( $ x=x+0i$), se cumple que
$ f(x+0i)=g(x)$
Una de las diferencias interesantes que tienen las funciones $ f$ y $ g$ es la siguiente:

1.- $ g(x)\neq 0$, para todo número real, ya que, en ese caso, $ x^2\geq 0$ y por lo tanto $ x^2\neq -1$

2.- $ f(x)=0$ para ciertos número complejos $ x$: $\displaystyle x^2+1=0$   equivale a $\displaystyle x^2=-1$   ó $\displaystyle \quad\quad x=\pm i$  Entonces, $\displaystyle f(i)=0$   y $\displaystyle \quad\quad f(-i)=0$

Se puede resumir esta información diciendo que la ecuación $ x^2+1=0$ no tiene soluciones reales, pero sí tiene dos soluciones complejas: $ i$ y $ -i$. Se dice que $ i$ y $ -i$ son las raíces del polinomio $ x^2+1=0$.
Gráficamente, el hecho de no tener raíces reales el polinomio $ x^2+1$, significa que la curva que representa gráficamente a la función $ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,  $ g(x)=x^2+1$, no corta al eje de las abscisas en ningún punto.

Esto implica, además, que el polinomio $ x^2+1$, si se considera como función con dominio $ \mathbb{R}$, no se puede factorizar, es decir, no se puede escribir como producto de polinomios de grado menor que 2. Si fuera posible factorizarlo, se tendría:

$\displaystyle x^2+1=(x-a)(x-b)$
para ciertos números reales $ a$ y $ b$, y eso significa que $ a$ y $ b$ serían raíces reales del polinomio $ x^2+1$:
$\displaystyle g(a)=a^2+1=(a-a)(a-b)=0(a-b)=0$$\displaystyle g(b)=b^2+1=(b-a)(b-b)=(b-a)0=0$
Por otra parte, si se admiten coeficientes en $ \mathbb{C}$, se tiene que $ x^2+1=(x-i)(x+i)$. Es decir, $ x^2+1$ sí se puede factorizar en este caso. Estas consideraciones hechas aquí en torno al polinomio $ x^2+1$ fueron, desde el Renacimiento (s. XVI) hasta entrado el siglo XIX, motivo para muchas investigaciones importantes de los matemáticos de la época, para poder responder preguntas como las siguientes:
  1. ¿Qué relación hay entre las raíces de un polinomio y su factorización?
  2. ¿Es siempre posible factorizar un polinomio de grado $ n$, cualquiera que sea $ n$? En otras palabras:
  3. ¿Existe algún polinomio que no tenga ni una sola raíz, ni real, ni compleja?
  4. ¿Es siempre posible encontrar una fórmula para determinar las raíces de un polinomio dado?
En lo que sigue, se estudiarán las respuestas que aquellos investigadores encontraron a estas y otras preguntas.
El Teorema del Resto: Para descubrir la relación que hay entre una raíz de un polinomio y la factorización de éste, se puede comenzar observando lo siguiente, si:

$ p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$

es un polinomio, y $ (x-a)$ es un factor de $ p(x)$, es decir,

$\displaystyle p(x)=(x-a)(b_nx^{n-1}+...+b_1x+b_0)$

entonces $ a$ es una raíz de $ p(x)$, es decir,
$\displaystyle p(a)=0$
Esto último es muy fácil de deducir a partir de las premisas dadas, pues

$\displaystyle p(a)=(a-a)(b_na^{n-1}+...+b_1a+b_0)$
Ahora, ¿será cierta la afirmación recíproca? Es decir, ¿será cierto que si $ a$ es una raíz de un polinomio $ q(x)$, entonces $ (x-a)$ es un factor de $ q(x)$?

Por ejemplo, si
$ q(x)=x^3-x^2+x-1$

es fácil comprobar que $ x=1$ es una raíz, pues $ q(1)=1^3-1^2+1-1=0$.

¿Podría asegurarse entonces que existe un polinomio $ p(x)$, de grado 2, tal que $ q(x)=(x-1)p(x)$? Como la igualdad anterior equivale a decir que $ q(x)\div(x-1)=p(x)$ y la división es exacta (tiene resto cero),no resulta extraño el enterarse de que la respuesta a esta pregunta se obtiene fácilmente del llamado Teorema del Resto, que dice lo siguiente:

Teorema del Resto:
Si $ a$ es un número real o complejo y $ p(x)$ es un polinomio de grado mayor o igual que 1, entonces al efectuar la división $ p(x)\div(x-a)$ se obtiene como resto $ p(a)$. Es decir,

$ p(x)=(x-a)\cdot q(x)+p(a)$
Esto significa que, por ejemplo, sin efectuar la división $ (x^4-3x^3+x-1)\div(x-2)$, se puede concluir a partir de la validez del Teorema del Resto, que el resto en esa división será -7 pues si $ p(x)=x^4-3x^3+x-1$ entonces :

$ p(2)=2^4-3(2^3)+2-1=-7$

La demostración del Teorema del Resto es muy sencilla: Suponiendo que $ p(x)$ es un polinomio de grado $ n$, y $ n\geq 1$, al dividir a $ p(x)$ entre $ (x-a)$ se obtiene un resto $ r(x)$, de grado menor que 1, que es el grado del divisor. Es decir, $ r(x)$ es de grado cero (un número); así, se puede escribir $ r(x)=c$.   Pero  $ p(x)=(x-a)\cdot q(x)+c$    y por lo tanto:

$\displaystyle p(a)=(a-a)q(a)+c=0\cdot q(a)+c=c$

Es decir, $ p(a)=c$. Queda así demostrado el Teorema del Resto. Ahora, puede deducirse fácilmente la respuesta a la pregunta anterior: si $ a$ es raíz del polinomio $ p(x)$, ¿es $ (x-a)$ un factor de $ p(x)$?  La respuesta es afirmativa.

Esto responde a la pregunta 1) planteada antes. Por esa razón, un polinomio $ p(x)$ de grado $ n$ no puede tener más de $ n$ raíces, porque si $ p(x)$ tiene $ m$ raíces
( $ a_1$, $ a_2$, ..., $ a_m$), entonces $ p(x)$ tiene los $ m$ factores: $ (x-a_1)$, $ (x-a_2)$,..., $ (x-a_m)$ es decir,

$\displaystyle p(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)\cdot q(x)$

Eso significa que el grado de $ p(x)$ tiene que ser mayor o igual que $ m$. Ahora bien, esto dice que el número máximo de raíces de un polinomio de grado $ n$ es $ n$, pero no dice nada acerca del número mínimo de raíces que $ p(x)$ puede tener.

El Teorema que aclara este asunto es el llamado Teorema Fundamental del Álgebra (su nombre declara su importancia):
Un polinomio de grado $ n\geq 1$ tiene exactamente $ n$ raíces en $ \mathbb{C}$. (Recordando que $ \mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, esto significa que, de las $ n$ raíces, algunas pueden ser reales).

Este teorema fue demostrado en 1799 por primera vez por Gauss. Gráficamente, esto refleja en el hecho de que una función polinómica de grado $ n$ que tenga sus $ n$ raíces reales y distintas, cortará al eje de las abscisas en $ n$ puntos. Por ejemplo, el polinomio   $ p(x)=x^3-3x^2-x+3$  tiene 3 raíces reales: $ x_1=1$, $ x_2=-1$, $ x_3=3$. Su representación gráfica aproximada es la que se muestra en la figura de la derecha.

El teorema Fundamental del Álgebra responde entonces a las preguntas 2) y 3): Como todo polinomio $ p(x)$ de grado $ n$ ( $ n>1$) tiene $ n$ raíces: $ a_1$, $ a_2$, ... , $ a_n$, y cada binomio de la forma $ (x-a_i)$ es un factor de $ p(x)$, entonces este polinomio se factoriza así: $\displaystyle p(x)=k(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$donde $ k$ es un número real o complejo, no nulo. En otras palabras, todo polinomio se puede factorizar en factores lineales (de grado 1).


En busca de las raíces : En los tiempos de la antigua Babilonia, los expertos en Matemáticas de aquella época, cerca de 2.000 años a.C., conocían la fórmula para encontrar la raíz positiva de una ecuación de segundo grado, en esencia la que conocemos hoy. Más de 3.000 años después, en el siglo XVI lograron algunos algebristas italianos encontrar las fórmulas para resolver las ecuaciones de grados 3 y 4 .

Después de estos logros casi heroicos, los matemáticos de los siglos XVII y XVIII trabajaron muy duro tratando de encontrar una fórmula para resolver ecuaciones de $ 5^{to}$ grado, sin obtenerla nunca. Tuvo que llegar el día en que todo este gran esfuerzo llegara a su fin, en los principios del siglo XIX. Dos jóvenes matemáticos de asombroso talento, Niels H. Abel y Evariste Galois demostraron que no es posible encontrar una fórmula que permita calcular las raíces de un polinomio de grado 5 o mayor, a partir de sus coeficientes.

Abel y Galois trabajaron independientemente, nunca se conocieron, y ambos murieron a muy temprana edad. Gracias a ellos, ya nadie se ocupa de tratar de encontrar una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5; se han desarrollado métodos de aproximación a las soluciones y de tanteo, que ayudan a encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor o igual que 5.

Hay varios hechos que es bueno conocer en relación a las raíces de un polinomio. Entre ellos, están los siguientes:

1.- Si el número complejo $ z=a+bi$ es raíz de un polinomio, su conjugado $ \overline{z}=a-bi$ también es raíz de ese polinomio. En vista de esto, un polinomio de grado par puede tener todas sus raíces complejas, pero uno de grado impar debe tener al menos una raíz real.


2.- Una raíz $ a$ de un polinomio se dice que es simple si el factor $ (x-a)$ aparece sólo una vez en la factorización del polinomio; se dice que es doble si aparece dos veces y múltiple, si aparece 3 ó más veces. Por ejemplo, si $ p(x)=x^3-x^2-8x+12$, se puede demostrar que .

$ p(x)=(x-2)(x-2)(x+3)=(x-2)^2(x+3)$
Aquí, 2 es una raíz doble y $ -3$ es una raíz simple de $ p(x)$. La representación gráfica de esta función polinómica es, aproximadamente, la que se muestra a la derecha. Se observa que en $ x=2$, la raíz doble, la curva es tangente al eje de las abscisas.


3.- Si el polinomio $ p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ tiene coeficientes enteros, entonces cualquier raíz entera de $ p(x)$ es un divisor de $ a_0$. Por ejemplo, en el polinomio $ p(x)=x^3-x^2-8x+12$ las dos raíces enteras: $ x=2$, $ x=-3$, son divisores de 12. No es cierto que cualquier divisor de 12 es una raíz, porque en este caso 4 y 6 son divisores de 12 y no son raíces de $ p(x)$.

4.- Si el polinomio $ p(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$ tiene coeficientes enteros y $ \frac{m}{q}$ es una raíz racional de $ p(x)$, $ \frac{m}{q}$ irreducible, entonces $ m$ divide a $ a_0$ y $ q$ divide a $ a_n$. Por ejemplo: $\displaystyle p(x)=3x^4-2x^3+3x-2$tiene como una de sus raíces a $ x=\frac{2}{3}$. Se cumple que 2 divide a $ -2$, pues $ 2\div (-2)=-1$ y 3 divide a 3, pues $ 3\div 3=1$.



Ahora se puede aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para encontrar las raíces de $ x^2-4x+13$:
$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\displaystyle x=\frac{4\pm\sqrt{16-4(13)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm 6i}{2}$

Por lo tanto,
$\displaystyle x_1=2+3i$
$\displaystyle x_2=2-3i$
   
Las 4 raíces de $ p(x)=x^4-3x^3+7x^2+21x-26$ son:

$\displaystyle x_1=2+3i$
$\displaystyle x_2=2-3i$
$\displaystyle x_3=1$
 $\displaystyle x_4=-2$

Así, la factorización de $ p(x)$ es: $\displaystyle (x-(2+3i))(x-(2-3i))(x-1)(x+2)$


Referencias:
Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . New York: Oxford University Press.
Porras, O. (2000) Polinomios . Mérida: Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

 
 
 
Ver otras áreas:


Más Servicios de RENa

| Mapa del sitio | Equipo de trabajo | Webmaster |

© Todos los Derechos Reservados por RENa Copyright 2008