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Inecuaciones

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que contienen una o más variables ( $x,\;y,\; z,\;\mbox{etc}$) y que establecen una igualdad entre dos miembros; por ejemplo:

\begin{displaymath}1)\quad x^2+2x-1=0\end{displaymath}

\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y=1-x\end{displaymath}

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores numéricos que la satisfacen; el conjunto de números que satisfacen una ecuación, es decir, aquellos que, al sustituir a las incógnitas, producen una igualdad verdadera, se llama conjunto solución de la ecuación.

En el caso de una ecuación con una incógnita, se obtiene por lo general un conjunto solución que está contenido en $\mathbb{R}$ (la recta real) como en el ejemplo 1. Cuando la ecuación tiene dos incógnitas, el conjunto solución esta contenido en el plano ( $\mathbb{R}^2$), como en el ejemplo 2; hay excepciones a esto (ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es un conjunto contenido en $\mathbb{R}^3$, o ecuaciones con una incógnita cuyo conjunto solución está contenido en $\mathbb{R}^2$) pero en estos casos, se plantea explícitamente la situación.
Por ejemplo, si se necesita determinar el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano tales que:

\begin{displaymath}y^2-9=0\end{displaymath}

se tiene una ecuación con una sola incógnita, pero en el planteamiento del problema se indica que se busca un conjunto solución contenido en $\mathbb{R}^2$.
Como $y^2=9$ cuando $y=3 \mbox{ {\'o} } y=-3$, se tiene que todos los puntos de la forma $(x,3)$ y todos los puntos de la forma $(x,-3)$ están en el conjunto solución, puesto que a la coordenada $x$ de cualquier punto del plano no se le exige ninguna condición para que ese punto sea una solución.

Una inecuación es una expresión algebraica que contiene incógnitas como una ecuación, pero no se establece en dicha expresión una igualdad, sino una desigualdad. Por ejemplo, la ecuaciones 1) y 2) del ejemplo anterior se transforman en inecuaciones al sustituir la igualdad por uno de los signos:

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} > & < & \geq & \leq \\ \mbox{mayor q... ...{mayor o igual que} & \mbox{menor o igual que} \\ \end{array}\end{displaymath}

Por ejemplo, se pueden obtener estas inecuaciones:

\begin{displaymath}1)\quad x^2+2x-1\leq0\end{displaymath}

\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y>1-x\end{displaymath}

Resolver 1) consiste en determinar los números reales que, al sustituir a $x$, hacen que la desigualdad sea verdadera.
Para $x=1$, por ejemplo, se tiene:
\begin{displaymath} 1^2+2(1)-1=2\nleq0. \end{displaymath}

Por lo tanto, 1 no es solución de la inecuación 1).
Si $x=-1$:
\begin{displaymath} (-1)^2+2(-1)-1=-2\leq0. \end{displaymath}

En este caso, sí se satisface la desigualdad, y por eso -1 pertenece al conjunto de soluciones de la inecuación.
Una manera sencilla de determinar el conjunto de todas las soluciones de esta inecuación consiste en hacer una representación gráfica aproximada de la función $f(x)=x^2+2x-1$.

La inecuación $x^2+2x-1\leq0$ puede interpretarse como la pregunta siguiente: ¿Para cuáles números reales $x$ es cierto que $f(x)\leq0$?.

Observando la curva, se concluye que $f(x)\leq0$ siempre que la curva se encuentre debajo del eje de las abscisas como se ilustra en la figura A.

Está claro, por otra parte, que todos los números reales $x$ que tienen su imagen en el trozo de la curva que está debajo del eje de las abscisas, son los que pertenecen al intervalo que se muestra en la figura B.

Figura A

Figura B

Ahora bien, los extremos de los intervalos señalados son precisamente las soluciones de la ecuación: $x^2+2x-1=0$ .Estos puntos son: $x_1=-1-\sqrt{2}$ y $x_2=-1+\sqrt{2}$.

El intervalo $[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}]$ es, entonces, el conjunto solución de la ecuación $x^2+2x-1\leq0$. Se trata de un conjunto contenido en $\mathbb{R}$. En el caso de la ecuación

\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y>1-x\end{displaymath}

se busca determinar todos los pares de números reales $x$, $y$ que satisfacen la desigualdad.
Por esa razón, el conjunto solución está formado por pares ordenados $(x,y)$ de números reales, es decir, son puntos del plano cartesiano $\mathbb{R}^2$. En otras palabras, la representación gráfica del conjunto solución, en este caso, es una región del plano cartesiano. Para resolver la ecuación 2), es necesario conocer algunas propiedades del orden en los reales que son importantes:
A.
Si $a<b$ entonces $a+c<b+c$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales cualesquiera, positivos o negativos.
B.
Si $a<b$ y $c>0$, entonces $a\cdot c<b\cdot c$
C.
Si $a<b$ y $c<0$, entonces $a\cdot c>b\cdot c$


Tomando éstas propiedades en cuenta, se pueden obtener inecuaciones equivalentes a la inecuación 2), a partir de ella:

\begin{displaymath}2)\quad 2x-4y>1-x\end{displaymath}

es equivalente a:
\begin{displaymath}2\mbox{.}1)\quad 2x-4y+x>1\end{displaymath}

Usando la propiedad a) y sumando $x$ a ambos miembros, se obtiene 2.1). Decir que 2.1) es equivalente a 2) significa que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto solución.
Ahora se pueden sumar términos semejantes en 2.1) y sumar -1 en ambos miembros:

\begin{displaymath}2\mbox{.}2)\quad 3x-4y-1>0\end{displaymath}

Si se hace la representación gráfica de

\begin{displaymath}3x-4y-1=0\end{displaymath}

se obtiene una recta en el plano cartesiano
Ahora bien, todo número real $a$ cumple con una (y sólo una) de las siguientes condiciones:

i.
$a>0$
ii.
$a<0$
iii. $a=0$

Por eso, dados números reales cualesquiera $x$, $y$, al calcular $3x-4y-1$ se obtiene un número real que puede cumplir una sola de las siguientes condiciones:

i.
$3x-4y-1>0$
ii.
$3x-4y-1<0$
iii. $3x-4y-1=0$

Los pares $(x,y)$ del plano que cumplen la condición iii) son los puntos que pertenecen a la recta de la figura anterior.

Esa recta divide a plano en dos regiones, llamadas semiplanos que podrían llamarse $\alpha$ y $\beta$.

Todos los puntos $(x,y)$ del $\alpha$ satisfacen i) o todos satisfacen ii).

Para saber cuál desigualdad satisfacen los puntos de $\alpha$, basta con tomar un punto de $\alpha$ y sustituir sus coordenadas en $3x-4y-1$, por ejemplo:


Sea $P=(-1,0)$ el punto señalado en la figura. $P$ está en el semiplano $\alpha$.

Al sustituir $x$ por 1 e $y$ por 0 en $3x-4y-1$ se obtiene:

\begin{displaymath}3(-1)-4(0)-1=-4<0\end{displaymath}

Esto significa que el punto  P  y  todos los demás puntos del semiplano $\alpha$ satisfacen la ecuación $3x-4y-1<0$.
Se concluye entonces que todos los puntos de $\beta$ satisfacen 2.3) y por lo tanto satisfacen la ecuación 2):

\begin{displaymath}2x-4y>1-x\end{displaymath}

En otras palabras, el conjunto solución de la ecuación 2) es el semiplano $\beta$.

Ejercicio:
Selecciona un punto cualquiera $Q$del semiplano $\beta$ y verifica que sus coordenadas satisface 2).
Se puede observar en los dos ejemplos anteriores que es muy útil la representación gráfica de las soluciones a las ecuaciones:
\begin{eqnarray*} x^2+2x-1 &=& 0 \\ 3x-4y-1 &=& 0 \end{eqnarray*}

asociadas a las inecuaciones 1) y 2).

Las Inecuaciones con una incógnita tienen como conjunto solución un subconjunto de $\mathbb{R}$, siempre que no se indique otra cosa en el enunciado de la inecuación.

Se resolverán a continuación algunas inecuaciones lineales y cuadráticas con una incógnita: Ejemplo 1, ejemplo 2, ejemplo 3, ejemplo 4



1.
Un punto
2.
El plano menos un punto
3.
Todo el plano
4.
El conjunto vacío $(\emptyset)$
5.
El ejemplo anterior representa el caso en que ambas incógnitas aparecen en la ecuación con exponente 1 y no hay términos en $xy$; en otras palabras, es una inecuación lineal. Su solución es un semiplano delimitado por una linea recta, siempre que no se especifique otra cosa (que se busca una solución en $\mathbb{R}^3$, por ejemplo).

Cuando el mayor exponente de alguna o ambas de las incógnitas es 2, se trata de una inecuación cuadrática y el conjunto  solución, en este caso es una región del plano que puede ser: (Ver tabla a la izquierda)
Por ejemplo:
La inecuación \begin{displaymath}x^2+y^2\geq0\end{displaymath} tiene como solución todo el plano , pues cualesquiera que sean los números reales $x$, $y$ se cumple que .

Por la misma razón, la inecuación \begin{displaymath}x^2+y^2<0\end{displaymath}tiene como solución el conjunto vacío $(\emptyset)$.
Y \begin{displaymath}x^2+y^2\leq0\end{displaymath} tiene como única solución el punto $(0,0)$.
Finalmente, la ecuación \begin{displaymath}x^2+y^2>0\end{displaymath} tiene como solución a todo el plano con excepción del punto $(0,0)$: conjunto solución: .

Por otra parte la inecuación \begin{displaymath}x^2+y^2\leq1\end{displaymath} tiene como conjunto solución al círculo de radio 1 con centro en el punto $(0,0)$.
La razón es muy sencilla:
La circunferencia de la figura tiene como ecuación:
\begin{displaymath}x^2+y^2=1\end{displaymath}

Si se toma un punto cualquiera $(x_o,y_o)$ que esté en el círculo que esta circunferencia encierra, su distancia al punto $(0,0)$ es menor que 1.
esto se expresa algebraicamente así:
\begin{displaymath} d((x_o,y_o))=\sqrt{(x_o-0)^2+(y_o-0)^2}=\sqrt{x_o^2+y_o^2} \end{displaymath}
Como $\sqrt{x_o^2+y_o^2}>0$, entonces
\begin{displaymath} (\sqrt{x_o^2+y_o^2})(\sqrt{x_o^2+y_o^2})<1\cdot (\sqrt{x_o^2+y_o^2})<1\cdot 1=1 \end{displaymath}
Por lo tanto: \begin{displaymath} (\sqrt{x_o^2+y_o^2})^2<1 \end{displaymath}. Es decir: \begin{displaymath} x_o^2+y_o^2<1 \end{displaymath}
Igualmente sencillo es comprobar que cualquier punto $(a,b)$ que esté fuera del círculo, satisface:
\begin{displaymath} a^2+b^2>1 \end{displaymath}.

Así, el conjunto solución de la inecuación $x^2+y^2\leq1$ es el círculo encerrado por al circunferencia $x^2+y^2=1$.
Con las demás cónicas ocurre algo similar: dividen el plano cartesiano en dos regiones que se podían llamar adentro y afuera de la figura, y que están delimitadas por ella. En las siguientes figuras (Elipse, parábola e hipérbola), el rojo colorea adentro y el verde afuera.

Para resolver ecuaciones cuadráticas es conveniente tratar de transformarlas en inecuaciones equivalentes que estén asociadas a la ecuación de una cónica. Por ejemplo, para resolver la inecuación :
\begin{displaymath} x^2+12y-10\geq14 \end{displaymath}
tiene como ecuación asociada:
\begin{displaymath} x^2+12y-10=14 \end{displaymath}
ó, equivalentemente:
\begin{displaymath} x^2+12y-24=0 \end{displaymath}
Ésta es la ecuación de una parábola, para representarla gráficamente, se busca la ecuación en su forma canónica:
\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x^2 & = & -12y+24\\ x^2 & = & -12(y-2)\\ \end{array} \end{displaymath}
Ésta es la ecuación canónica de una parábola con vértice en el punto $(0,2)$, eje paralelo al eje de las abscisas y foco en el punto $(0,5)$

Para encontrar la región del plano que es el conjunto solución de la inecuación, se toma como punto interior de la parábola, por ejemplo, $(0,3)$, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación original:

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x^2+12y-10 & \geq & 14 \\ 0^2+12(3)-10 & \geq & 14 \\ 36-1=26 & \geq & 14 \\ \end{array} \end{displaymath}
Como la desigualdad que se obtiene es verdadera, resulta que el conjunto solución es precisamente la región que está dentro de la parábola porque la inecuación tiene el signo $\leq$, lo que significa que los puntos que satisfacen $x^2+12y-10=14$ también pertenecen al conjunto solución.

Referencias:
Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times . New York: Oxford University Press.
Porras, O. (2000) Polinomios . Mérida: Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.

 
 
 
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