Firma páginas web


 

 

Sistema de Inecuaciones


Un sistema de inecuaciones es un grupo de dos o más inecuaciones. El conjunto solución del sistema es el conjunto de todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema. Por ejemplo, se considera el sistema de inecuaciones

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cccc} (1) & 2x-1 & > & 3x+7 \\ [.3cm] (2) & -1+x & \leq & 3-3x \end{array} \right. \end{displaymath}


El conjunto solución de este sistema es el conjunto de todos los números reales que son solución de la inecuación (1) y también de la inecuación (2). Por ejemplo, $x=0$ es una solución de (2), pues $-1+0\leq 3-3(0)$, ya que, $-1\leq 3$;  pero $x=0$ no es una solución de (1):

\begin{displaymath} 2(0)-1 = -1 \quad \not> \quad 3(0)+7=7 \end{displaymath}


Así, $x=0$ no está en el conjunto solución del sistema de inecuaciones dado, aunque sea una solución de la inecuación (2). Para determinar el conjunto de todas las soluciones del sistema, se encuentra el conjunto solución de (1) (Inecuaciones) y luego el de (2), y finalmente se determinan todas las soluciones comunes a ambas inecuaciones:
\begin{eqnarray*} (1) \qquad 2x-1 & > & 3x+7 \\ [.3cm] -1 & > & 3x+7-2x \\ [.3cm] -1-7 & > & x \\ [.3cm] -8 & > & x \end{eqnarray*}

El conjunto solución de (1) es el intervalo $S_1=(-\infty,-8)$.
El conjunto solución de (2) es el intervalo $S_2=(-\infty,1]$. :


\begin{eqnarray*} (2) \qquad -1+x & \leq & 3-3x \\ [.3cm] -1+x+3x & \leq & 3 \\ [.3cm] 4x & \leq & 4 \\ [.3cm] x & \leq & 1 \end{eqnarray*}
Se pueden representar estos dos intervalos, $S_1$ y $S_2$ en una misma recta para determinar el conjunto de las soluciones comunes: $(-\infty,-8)$.

El conjunto solución del sistema de inecuaciones es el conjunto $(-\infty,-8)$, pues es el que gráficamente se identifica como el intervalo que contiene a las soluciones de ambas inecuaciones.

 


Este conjunto $S=(-\infty,-8)$ se conoce como el conjunto intersección de $S_1$ y $S_2$ y se escribe

\begin{displaymath} S \;=\; S_1\bigcap S_2 \end{displaymath}
ó
\begin{displaymath} (-\infty,-8) \;=\; (-\infty,-8)\bigcap (-\infty,1] \end{displaymath}

En otras palabras, el conjunto $(-\infty,-8)$ (de los números reales menores que $-8$) es igual al conjunto de todos los números reales que son menores que $-8$ y menores que $1$ también.

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cccc} (1) & x^2+x & > & 2 \\ [.3cm]... ... > & 4x \\ [.3cm] (3) & 2x-5 & < & -3+x \end{array} \right. \end{displaymath}
El ejemplo mostrado antes es un sistema de inecuaciones lineales con una sola incógnita. Se resolverá a continuación un sistema de inecuaciones con una incógnita, alguna de las inecuaciones siendo de grado 2. El conjunto solución, al igual que en el ejemplo anterior, está contenido en $\mbox{I}\!\mbox{R}$, el conjunto de los números reales.

Se resuelve cada inecuación por separado:

\begin{eqnarray*} (1) \qquad\qquad\qquad x^2+x & > & 2 \\ [.3cm] x^2+x-2 & > & 0 \\ [.3cm] (x+2)(x-1) & > & 0 \end{eqnarray*}


Conjunto solución: $S_1=(-\infty,-2)\bigcup (1,\infty)$

\begin{eqnarray*} (2) \qquad\qquad\qquad 5x+1 & > & 4x \\ [.3cm] 5x-4x & > & -1 \\ [.3cm] x & > & -1 \end{eqnarray*}



Conjunto solución: $S_2=(-1,\infty)$


\begin{eqnarray*} (3) \qquad\qquad\qquad 2x-5 & < & -3+x \\ [.3cm] 2x-x & < & -3+5 \\ [.3cm] x & < & 2 \end{eqnarray*}

Conjunto solución: $S_3=(-\infty,2)$.




Se pueden representar los conjuntos $S_1$, $S_2$ y $S_3$ en una misma recta, para visualizar el conjunto intersección: $S=S_1\bigcap S_2\bigcap S_3$
$S_1$, $S_2$, $S_3$,

El conjunto solución del sistema de inecuaciones ( $S$) está representado por la región de la recta donde se superponen los tres colores: \begin{displaymath} S \;=\; (1,2) \end{displaymath}


Sistemas de Inecuaciones con dos incógnitas.

El conjunto solución de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas está contenido en el plano cartesiano y es igual a la intersección de las regiones del plano que son soluciones de cada una de las inecuaciones del sistema. Por ejemplo, el sistema de inecuaciones

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcc} x+2y & \leq & 0 \\ [.3cm] 3+y-x & > & 1 \end{array} \right. \end{displaymath}


Tiene como solución la región que resulta al intersectar la región $S_1$, que es la solución de $x+2y\leq 0$,  con la región $S_2$ , que es la solución de $3+y-x>1$: Para encontrar $S_1$, se representa gráficamente la recta $x+2y=0$:

Como el punto $(0,1)$ no satisface la inecuación $x+2y\leq 0$, la región coloreada es $S_1$, el conjunto solución.
La inecuación $3+y-x>1$ es equivalente a
\begin{displaymath} y-x+2 \;>\; 0 \end{displaymath}
Se representa la recta $y-x+2=0$:

Se hace la prueba con el punto $(0,0)$, para determinar si satisface ó no la inecuación: \begin{displaymath} 0-0+2 \;>\; 0 \end{displaymath}.
Como $2>0$, se concluye que $(0,0)$ está en la región $S_2$ y por lo tanto la solución es el semiplano coloreado:

Ahora se representan $S_1$ y $S_2$ en la misma figura:
Ejercicio:
Selecciona un punto cualquiera de la región $S$ y confirma que, en efecto, es solución del sistema de inecuaciones dado.
Ahora podría observarse la región del plano delimitada por las rectas $\ell_1$, $\ell_2$ y $\ell_3$:

Se trata de un triángulo cuyos vértices son los puntos $A$, $B$ y $C$. El interior del triángulo es una región del plano que constituye el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
 
Sistemas de inecuaciones cuadráticas.
Se estudiarán a continuación sistemas de inecuaciones cuyas soluciones son regiones del plano asociadas a dos ó más cónicas. Por ejemplo, la región del plano representada como la parte coloreada de la siguiente figura es el conjunto solución de un sistema de dos inecuaciones cuadráticas:

Se concluye que este sistema de inecuaciones tiene como solución la región coloreada de la figura, al observar que la elipse tiene centro en el origen, longitud del eje mayor igual a 6 y la del eje menor igual a 2 ( Circunferencia y Elipse ). Esto indica que la ecuación de esa elipse es
\begin{displaymath} \frac{x^2}{9}+y^2 \;=\; 1 \end{displaymath}
Los puntos de la región coloreada son los puntos interiores de la elipse, por ejemplo, el punto $(0,0)$ está en la región solución y al evaluar la expresión $\frac{x^2}{9}+y^2$ en el punto $(0,0)$, se obtiene\begin{displaymath} \frac{0^2}{9}+0^2 \;=\; 0 \;<\; 1 \end{displaymath}.
Así, también se obtiene que los puntos interiores a la circunferencia de la figura, cuya ecuación es $x^2+y^2=4$, son los puntos que satisfacen la inecuación $x^2+y^2<4$, pues $0^2+0^2=0<4$, por lo que $(0,0)$ está en la región solución de $x^2+y^2<4$. Los puntos del plano que satisfacen ambas inecuaciones, es decir, que son soluciones del sistema de inecuaciones, son los que están en el interior de la elipse y también de la circunferencia.



Pueden combinarse inecuaciones lineales y cuadráticas en dos variables en un sistema de inecuaciones, como en el caso siguiente:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y-1 & \geq & x+4y \\ [.3cm]... ...7 & < & 11+4x^2 \\ [.3cm] x^2-9 & < & y \end{array} \right. \end{displaymath}

Para resolverlas, es decir, para determinar la región del plano cartesiano que está constituido por todas las soluciones comunes a las tres inecuaciones, se comienza por determinar las curvas y la recta que están definidas por:

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{crcl} (1) & 2x+y-1 & = & x+4y \\ [.... ...& 11+4x^2 \\ [.3cm] (3) & x^2-9 & = & y \end{array} \right. \end{displaymath}


$\begin{array}{crcc} (1) & 2x+y-x-4y-1 & = & 0 \\ [.3cm] & x-3y-1 & = & 0 \end{array}$


La región solución de $2x-y-1\geq x+4y$ es la misma que para la inecuación equivalente: $x-3y-1\geq 0$. En la figura es la región coloreada.

 

 
$\begin{array}{crcc} (2) & 5x^2-2y^2+7 & = & 11+4x^2 \\ [.3cm] & x^2-2y^2 & = &... ...& \displaystyle\frac{x^2}{4} - \displaystyle\frac{y^2}{2} & = & 1 \end{array}$

Se trata, en este caso, de una hipérbola con eje sobre el eje de las abscisas y vértices en los puntos $(2,0)$ y $(-2,0)$. ( Parábolas e Hipérbolas )

La inecuación $\displaystyle\frac{x^2}{4} - \displaystyle\frac{y^2}{2} < 1$ es equivalente a $5x^2-2y^2+7<11+4x^2$ y la región solución es la región coloreada. ¿Puedes explicar por qué?

$\begin{array}{crcc} (3) & x^2-9 & = & y \\ [.3cm] & x^2 & = & y+9 \end{array}$

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en el punto $(0,-9)$ y eje sobre el eje de las ordenadas.

  La inecuación $x^2<y+9$ tiene como conjunto solución la región coloreada. La región solución del sistema de inecuaciones se determina representando las 3 regiones anteriores en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.

Referencias:
Giménez,J. (2001) Matemática V . Caracas: Ediciones Eneva

 
 
 
 
Ver otras áreas:


Más Servicios de RENa

| Mapa del sitio | Equipo de trabajoWebmaster |

© Todos los Derechos Reservados por RENa Copyright 2008