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Matrices y determinantes


Las matrices son objetos matemáticos de gran utilidad en el manejo organizado de información que puede ser suministrada en datos numéricos. En especial, cuando están asociadas a transformaciones lineales entre espacios vectoriales, las matrices simplifican el estudio de sus propiedades, como se apreciará a continuación.


Matrices Cuadradas y Matrices Rectangulares.

Una matriz es un arreglo, en filas y columnas, de números que son llamados coeficientes. Por ejemplo, el siguiente arreglo constituye una matriz:

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rr} 2 & -1\\ 3& 0\end{array} \right)$


La matriz $ A$ tiene dos filas: $ (2\quad -1)$ y $ (3\quad 0)$.

Tiene dos columnas:

$\displaystyle \left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$   y  $\displaystyle \quad\left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$


Se dice que $ A$ es una matriz cuadrada, porque tiene igual número de filas que de columnas. Se dice también que $ A$ es una matriz de orden $ 2\times 2$, lo que indica que tiene 2 filas y 2 columnas. La primera columna de $ A$ es $ \left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$ y la segunda, $ \left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$. El orden de filas y columnas es importante. Si se cambia este orden, cambia la matriz. Las matrices rectangulares son aquellas que tienen diferentes números de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz:

$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & -4\\ -1 & 1 & -3\end{array}\right)$


es una matriz de orden $ 2\times 3$ (2 filas y 3 columnas; siempre se colocan en ese orden los números, por convención).

Las filas de $ B$, que son: $ (0\quad 2\quad -4)$ y $ (-1\quad 1\quad -3)$ pueden considerarse como vectores en $ \mathbb{R}^3$, y se dice que cada fila es un 'vector fila'. Igualmente, cada columna de $ B$ se puede considerar como un vector en $ \mathbb{R}^2$:

$ \left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ se identifica con el vector $ (0,-1)$, $ \left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ con $ (2,1)$ y $ \left(\begin{array}{r} -4\\ -3 \end{array}\right)$ con $ (-4,-3)$ .

Cada columna es un 'vector columna'. Cuando se quiere hacer referencia a la posición que ocupa un coeficiente en una matriz, se nombra primero la fila y luego la columna a las cuales pertenece el coeficiente; por ejemplo en la matriz $ B$, el coeficiente 1 está en la segunda fila, segunda columna.




Las transformaciones lineales Transformaciones lineales están asociadas a las matrices de la siguiente manera:

Si $ T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es la transformación lineal definida así:

$\displaystyle T(x,y)=(2x-y,x+3y)$


Entonces su matriz asociada será:

$\displaystyle M_T=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{array}\right)$

Los coeficientes de $ M_T$ se calculan a partir de la definición de la transformación $ T$.




Esta manera de construir la matriz $ M_T$ a partir de $ T$, permite obtener la imagen, mediante $ T$, de cualquier vector $ (a,b)$ de $ \mathbb{R}^2$, haciendo las operaciones siguientes, escribiendo el vector $ (a,b)$ como vector columna, a la derecha de $ M_T$:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...)+3(b) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2a-b\\ a+3b \end{array}\right)$

1.
Se ha multiplicado cada coeficiente de la primera fila de $ M_T$ por $ a$ y $ b$ respectivamente, y se han sumado los resultados:
$\displaystyle 2a+(-1)b=2a-b$
$\displaystyle 1(a)+3(b)=a+3b$

Este número es la primera coordenada del vector columna $ T(a,b)$.

2. Se hacen las mismas operaciones con la segunda fila de $ M$ y $ a$ y $ b$:


Así, se ha obtenido la segunda coordenada del vector columna $ T(a,b)$. Finalmente, se obtiene:

$\displaystyle T(a,b)=(2a-b,a+3b)=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)$

Por ejemplo, al calcular $ T(2,3)$ usando la definición de $ T$, se obtiene:

$\displaystyle T(2,3)=(2(2)-3,2+3(3))=(1,11)$


Ahora, realizando la operación definida antes entre $ M_T$ y $ (2,3)$, se obtiene:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...{r} 4-3\\ 2+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1\\ 11\end{array}\right)$


Algunas matrices de orden $ 2\times 2$ , que son importantes, son las siguientes:

1. $ I_2=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$. Esta es la matriz identidad, que corresponde a la transformación identidad $ I:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$, definida por $ I(x,y)=(x,y)$. Si aplicamos la transformación $ I$ (o la matriz $ I_2$) a los vectores del plano, éstos quedan fijos:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ... x+0y \\ 0x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} x \\ y\end{array}\right)$
Una figura cualquiera del plano, quedaría fija después de aplicar la transformación $ I$. (Ver figura de la derecha)

2. $ P_2=\left(\begin{array}{rr} 0&1 \\ 1&0\end{array}\right)$. Esta es llamada la matriz de permutación de orden 2, pues se obtiene a partir de la matriz identidad, intercambiando (o permutando) las 2 columnas de $ I_2$. $ P_2$ corresponde a la transformación $ S:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ que se define como, $ S(x,y)=(y,x)$, y que constituye la simetría con respecto a la recta $ Y=x$.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1 &0\end{array}\right)\left(\begin{... ...}{r} x \\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} y \\ x\end{array}\right)$

El triángulo de la figura anterior, después de aplicarle $ S$ (o $ P_2$), se transforma en el triángulo siguiente: (Ver figura de la izquierda)

3. $ D=\left(\begin{array}{rr} 2& 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$$ D$ es una matriz diagonal como lo es toda matriz con ceros en todos los coeficientes, a excepción de los de la diagonal (al menos de algunos de ellos). Su efecto sobre el triángulo isósceles de la figura sería: (Ver figura de la derecha)


(Se ensancha la figura en el sentido horizontal, al doble, y en sentido vertical, permanece igual).

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ...y}{r} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2x\\ y\end{array}\right)$




4.
$ J=\left(\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 0 & 1\end{array}\right)$ El efecto de $ J$ sobre el triángulo dado es el siguiente: (Ver figura de la izquierda)

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ...{r} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} x+2y\\ y\end{array}\right)$

 

Las matrices que no son cuadradas también se utilizan para representar transformaciones lineales, pero no son transformaciones del plano en sí mismo, ni del espacio en sí mismo, sino de $ \mathbb{R}^2$ en $ \mathbb{R}^3$ (las matrices 3x2) ó de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^2$ ( las matrices 2x3). Por ejemplo, la matriz siguiente:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&3&-2\end{array}\right)_{2\times 3}$


Representa una trnasformación lineal de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^2$, y la imagen de un vector $ (x,y,z)$ de $ \mathbb{R}^3$ viene dada por:

$\displaystyle A\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z\end{array}\right)= \left(\begi... ...end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2x+y+ z\\ -x+3y-2z\end{array} \right)$


Es decir, si $ T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es la transformación lineal asociada a la matriz $ A$, entonces $ T$ está definida así:

$\displaystyle T(x,y,z)=(2x+y,-x+3y-2z)$


Se observa que $ T(x,y,z)$ tiene 2 coordenadas, es decir, es un vector de $ \mathbb{R}^2$. Por ejemplo,

$ A\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} ... ...+1\\ 2+3-6\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} -3\\ -1\end{array}\right)$


Las matrices cuadradas de orden $ 3\times 3$ representan transformaciones lineales de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^3$.
Por ejemplo, si

$\displaystyle M=\left(\begin{array}{rrr} -2&1&-1\\ 0&-3&2\\ 4&1&0\end{array}\right)$

 

Puede aplicarse $ M$ a cualquier vector $ (x,y,z)$ en $ \mathbb{R}^3$ y se obtiene un vector columna de tres filas, es decir, otro vector en $ \mathbb{R}^3$.
 
Por ejemplo,

$\displaystyle M\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin... ... 8-2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -10\\ -14\\ 6\end{array}\right)$


 

 
 
 
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