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Sistemas de Ecuaciones Lineales


Introducción:

Cuando se considera una funcion lineal , por ejemplo: $ f(x)=3x+2$, la cual podría servir para determinar el número de personas ( $ 3x+2$ ) que podrían alimentarse con una cantidad $ x$ de kilogramos de arroz, se puede presentar la situación siguiente: Suponiendo que se tienen $ 122$ personas invitadas para un evento especial, si se quiere determinar el número de kilogramos de arroz que habría que preparar para alimentarlas, tendría que plantearse la siguiente pregunta: ¿Para cuál número real $ x$ se cumple que $ f(x)=122$ ? Este tipo de pregunta surge con frecuencia y da origen a lo que llamamos ecuaciones lineales, pues sabiendo que $ f(x)=3x+2$, se plantea la ecuación lineal: $ 3x+2=122$ y al resolverla se encuentra el número buscado: la preimagen de 122 mediante $ f$, que es, en este caso, $ x=40$, pues $ 3(40)+2=122$.
Se necesitarían, entonces, $ 40$ Kg. de arroz para el evento.

Si ahora se tiene una transformación lineal con transformaciones Lineales

$\displaystyle T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$
definida por:
$\displaystyle T(x,y,z)=(2x-y,y+x-3z,x+z)$


Una situación análoga a la anterior sería la siguiente:
Dado el punto $ (3,-2,1)$ en $ \mathbb{R}^3$, ¿Cuál será el punto $ (x,y,z)$ en $ \mathbb{R}^3$ tal que$ T(x,y,z)=(3,-2,1)$ ? o, dicho de otro modo: ¿Cuál será la preimagen de $ (3,-2,1)$ mediante $ T$? Como $ T(x,y,z)=(2x-y,y+x-3z,x+z)$, se tiene que cumplir:

$\displaystyle (2x-y,y+x-3z,x+z)=(3,-2,1)$

Pero, dado que dos vectores en $ \mathbb{R}^3$ son iguales sólo si coinciden en sus tres coordenadas, se debe cumplir lo siguiente:
1.
 $ 2x-y=3$
2. $ y+x-3z=-2$
3. $ x+z=1$


Las ecuaciones 1), 2) y 3) deben cumplirse todas para que sea cierto que $ T(x,y,z)=(3,-2,1)$.
Estamos en presencia de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y su solución es un vector de $ \mathbb{R}^3$, que en este caso es $ \left(\frac{2}{3},\frac{-5}{3},\frac{1}{3}\right)$.

Esto significa que:

$ T\left(\frac{2}{3},\frac{-5}{3},\frac{1}{3}\right)=(3,-2,1)$

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, tener infinitas soluciones, o no tener ninguna solución. Este último caso es el que se da cuando el vector cuya preimagen se busca, no pertenece al rango de la función. A continuación, se estudiarán sistemas de ecuaciones diversos y se explicará el modo de reconocer cuándo tienen solución y si ésta es única o no. También se estudiarán métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones de hasta tres incógnitas y hasta tres ecuaciones.

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas como:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1\\ -3x+2y=0\end{array}\right.$


Puede interpretarse al menos de dos maneras distintas:

1. Cada ecuación representa una recta en el plano y las coordenadas $ (a,b)$ del punto de intersección de ambas rectas constituyen la solución del sistema: (ver figura de la derecha)

2. Se considera la transformación lineal $ T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ definida por: $ T(x,y)=(2x+y,-3x+2y)$ y se busca la preimagen, mediante $ T$, del vector $ (1,0)$.



Es decir, se busca el vector $ (x,y)$ de $ \mathbb{R}^2$ tal que

$\displaystyle T(x,y)=(1,0)\quad\quad(\ast)$


Como $ T(x,y)=(2x+y,-3x+2y)$, para que valga la igualdad $ (\ast)$, debe cumplirse lo que el sistema de ecuaciones expresa:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1\\ -3x+2y=0\end{array}\right.$

En este ejemplo, el sistema tiene una única solución, que es el vector $ \left(\frac{2}{7},\frac{3}{7}\right)$.
Esto significa que $ T\left(\frac{2}{7},\frac{3}{7}\right)=(1,0)$ y no hay ningún otro vector en $ \mathbb{R}^2$ que sea preimagen de $ (1,0)$.
En los casos como éste, donde hay una única solución, se dice que el sistema es compatible determinado.

Una manera sencilla de descubrir si un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado es la siguiente: Se calcula el determinante matrices y determinantes de la matriz formada por los coeficientes del sistema; en el ejemplo anterior, sería:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 2x+y=1\\ -3x+2y=0\end{array}\right.$
 Matriz Asociada al Sistema $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2&1\\ -3&2\end{array}\right)$


Determinante de la matriz asociada:

$ \left\vert\begin{array}{rr} 2&1\\ -3&2\end{array}\right\vert=4-(-3)=7$

Siempre que el determinante de la matriz asociada sea distinto de cero (como en este caso) el sistema será compatible determinado, es decir, tendrá solución única. Cuando el determinante en cuestión sea igual a cero, el sistema será, o bien incompatible (no hay solución) o bien compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Ejemplo:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} -3x+5y=2\\ 9x-15y=-6\end{array}\right.$
 Matriz Asociada $\displaystyle \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ 9&-15\end{array}\right)$

Determinante

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr} -3&5\\ 9&-15\end{array}\right\vert=45-45=0$

Como el determinante es igual a cero, se concluye que el sistema no es compatible determinado.
Para descubrir si se trata de un sistema compatible indeterminado o incompatible, se examinan las dos ecuaciones; si una de ellas es múltiplo de la otra, se trata, entonces, de dos ecuaciones equivalentes, que representan a la misma recta, y por lo tanto las soluciones son todos los puntos de la recta; hay infinitas soluciones en este caso y se trata de un sistema compatible indeterminado.

En el ejemplo dado, la ecuación $ 9x-15y=-6$ es equivalente a $ -3x+5y=2$, pues al multiplicar ambos miembros de ésta última por $ (-3)$, se obtiene $ 9x-15y=-6$. Ambas ecuaciones representan a la recta de la figura: (ver figura de la izquierda)


Como las dos rectas coinciden en todos sus puntos, el conjunto solución es el conjunto de todos los puntos del plano que están en la recta. Si se tratase del sistema siguiente:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} -3x+5y=10\\ 9x-15y=20\end{array}\right.$

Se observa que la matriz asociada es la misma que la del ejemplo anterior:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ 9&-15\end{array}\right)$
Y su determinante es cero, como ya se vió. Pero al observar las ecuaciones, se detecta que ninguna es múltiplo de la otra y eso indica que el sistema es incompatible: no existe solución.
Gráficamente, se obtienen dos rectas paralelas: (ver figura de la derecha)


La resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede llevar a cabo de varias maneras, todas muy sencillas con Sistemas de Ecuaciones.
Es importante, sin embargo, conocer las interpretaciones que pueden tener las soluciones, geométricamente y en términos de transformaciones lineales asociadas.

Sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas. Un sistema de ecuaciones como el siguiente:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 3x-y+2z=1\\ -x+2y-z=-2\end{array}\right.$


Puede interpretarse como el planteamiento de la búsqueda de la preimagen del vector $ (1,-2)$, mediante la transformación lineal $ T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ definida por:

$\displaystyle T(x,y,z)=(3x-y+2z, -x+2y-z)$


En casos como éste, el criterio del determinante de la matriz asociada no es aplicable, pues la matriz asociada es rectangular $ (2\times3)$ y el determinante sólo está definido para matrices cuadradas.

Sin embargo, hay otras maneras de conocer acerca de la compatibilidad del sistema y de la unicidad de las soluciones. En primer lugar, un sistema con 3 incógnitas y dos ecuaciones, si es compatible, no puede ser determinado. Es decir, si tiene solución, entonces tiene infinitas soluciones. La razón para esto se estudia en cursos más avanzados de Álgebra Lineal, donde se estudian con detalle los espacios vectoriales y las transformaciones lineales. Una explicación intuitiva, no formal, de este hecho podría ser la siguiente:

Como la transformación lineal asociada al sistema del ejemplo anterior es

$\displaystyle T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$

Definida por:

$\displaystyle T(x,y,z)=(3x-y+2z, -x+2y-z)$


Y la dimensión de $ \mathbb{R}^3$ (el espacio) es mayor que la dimensión de $ \mathbb{R}^2$ (el plano), cada vector de $ \mathbb{R}^2$ que esté en el rango de $ T$ deberá tener 'muchas' preimágenes en $ \mathbb{R}^3$. En particular, el vector $ (1,-2)$ deberá tener infinitas preimágenes, si es que pertenece al rango de $ T$. Una manera de averiguar si el sistema

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 3x-y+2z=1\\ -x+2y-z=-2\end{array}\right.$


Es compatible, es decir, si $ (1,-2)$ pertenece al rango de $ T$, es la siguiente: Se observa la matriz de los coeficientes del sistema:

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 3&-1&2\\ -1&2&-1\end{array}\right)$

Si ninguna fila es múltiplo de la otra, el sistema es compatible indeterminado. En este caso, lo es. Para encontrar el conjunto de todas las soluciones al sistema, se suele hacer lo siguiente:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 3x-y=1-2z\\ -x+2y=-2+z\end{array}\right.$

Ahora se resuelve el sistema tomando a $ z$ como si fuera una constante:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 6x-2y=2-4z\\ -x+2y=-2+z\end{array}\right.$

$\displaystyle 5x=-3z$

$\displaystyle x=\frac{-3z}{5}$


Sustituyendo a $ x$ por $ \frac{-3z}{5}$ en la primera ecuación, se obtiene:

$\displaystyle 3\left(\frac{-3z}{5}\right)-y=1-2z$

$\displaystyle \frac{-9z}{5}+2z-1=y$

$\displaystyle \frac{z}{5}-1=y$


Esto quiere decir que todas las soluciones son de la forma: $ \left(\frac{-3z}{5},\frac{z}{5}-1,z\right)$, con $ z$ variando en $ \mathbb{R}$.

Para
 $ z=0$ se obtiene el vector: $ (0,-1,0)$
Para $ z=1$ se obtiene el vector: $ \left(\frac{-3}{5},\frac{-4}{5},1\right)$
Para $ z=5$ se obtiene el vector: $ (-3,0,5)$


Estos tres vectores y todos los que se obtienen al sustituir a $ z$ por un número real cualquiera, son soluciones al sistema de ecuaciones planteado. El conjunto de todos los vectores de la forma $ \left(\frac{-3z}{5},\frac{z}{5},z\right)$ forman una recta en $ \mathbb{R}^3$, que constituye la intersección de los dos planos que corresponden a las dos ecuaciones del sistema.

Para que un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas sea incompatible debe ocurrir como en el siguiente ejemplo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}4x+2y-8z=0\\ 2x+y-4z=-1\end{array}\right.$


Aquí, la matriz asociada tiene una fila que múltiplo de la otra:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&2&-8\\ 2&1&-4\end{array}\right)$


(la primera es el doble de la segunda). Pero además, ocurre algo muy inportante : los términos independientes no guardan la misma relación que las filas de la matriz: $ -1\neq 2(0)$.
En este caso, los vectores de $ \mathbb{R}^2$ que son imagen de algún vector de $ \mathbb{R}^3$ mediante la transformación lineal $ T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ definida por:

$\displaystyle T(x,y,z)=(4x+2y-8z,2x+y-4z)$

Son todos de la forma $ (2a,a)$, pues $ T(x,y,z)=(2(2x+y-4z),2x+y-4z)$. Como el vector $ (0,-1)$ no tiene esa forma, se concluye que $ (0,-1)$ no pertenece al rango de $ T$ y por lo tanto el sistema es incompatible.


Ejemplos de vectores que sí están en el rango de $ T$ son: $ (8,4)$, $ (20,10)$, $ (14,7)$, $ (2,1)$, etc.
Por otra parte, el sistema

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}4x+2y-8z=14\\ 2x+y-4z=7\end{array}\right.$

sí es compatible, aunque indeterminado. Como la ecuación $ 4x+2y-8z=14$ es equivalente a $ 2x+y-4z=7$, basta con buscar la solución a una de ellas; por ejemplo $ 2x+y-4z=7$. Despejando a $ y$ en función de $ x$ y $ z$, se obtiene:

$\displaystyle y=7+4z-2x$

Así, cualquier solución al sistema tendrá la forma:
 $\displaystyle (x,7+4z-2x,z)$
Por ejemplo, para $ x=0$, $ z=1$, se obtiene
 $\displaystyle (0,7+4,1)=(0,11,1)$
para $ x=1$; $ z=0$
 $\displaystyle (1,7-2,0)=(1,5,0)$


Sistemas Homogéneos Un sistema de ecuaciones es homogéneo si todos sus términos independientes son iguales a cero. Por ejemplo, el sistema siguiente es homogéneo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}-x+2y-3z=0\\ 4x+y+z=0\end{array}\right.$


El conjunto solución de este sistema es un subespacio vectorial con Vectores En El Plano de $ \mathbb{R}^3$Esto significa que el conjunto solución es, o bien el vector $ (0,0,0)$, o bien una recta que pasa por el punto $ (0,0,0)$, o un plano que pasa por el punto $ (0,0,0)$.

Como ya se ha dicho, la primera opción no es posible, porque el sistema sería compatible determinado y esto no puede ocurrir en sistemas con más incógnitas que ecuaciones.

Cuando las filas de la matriz asociada son linealmente independientes, es decir, ninguna es múltiplo es de la otra, la solución al sistema es una recta en $ \mathbb{R}^3$ que pasa por el origen. Es el caso del ejemplo anterior. Las dos filas de la matriz

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-1&2&-3\\ 4&1&1\end{array}\right)$

Son linealmente independientes. Geométricamente, eso significa que cada ecuación del sistema representa un plano distinto y la solución del sistema es el conjunto de todos los puntos de la recta $ l$ donde se intersectan los dos planos.


Para encontrar la solución al sistema, se busca la manera de expresar dos de las incógnitas en función de una tercera.

Por ejemplo, una manera puede ser la siguiente:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}-x+2y-3z=0\\ 4x+y+z=0\end{array}\right.$

$\displaystyle x=2y-3z\quad\quad(1)$


Sustituyendo a $ x$ en la segunda ecuación:

$\displaystyle 4(2y-3z)+y+z=0$

$\displaystyle 8y-12z+y+z=0$

$\displaystyle 9y-11z=0$

$\displaystyle y=\frac{11z}{9}$


Ahora, se sustituye $ y=\frac{11z}{9}$ en la ecuación (1) y se obtiene:

$\displaystyle x=2\left(\frac{11z}{9}\right)-3z$

$\displaystyle x=\frac{22z}{9}-3z$

$\displaystyle x=\frac{-5z}{9}$


Se tienen, así, las incógnitas $ x$, $ y$ expresadas en función de $ z$, y el conjunto solución es el formado por todos los vectores en $ \mathbb{R}^3$ que tienen la forma: $ (\frac{-5z}{9},\frac{11z}{9},z)$ y $ z$ puede tomar el valor de cualquier número real.

Por ejemplo:

Para $ z=0$
 se obtiene el vector $ (0,0,0)$
Para $ z=1$ $ (\frac{-5}{9},\frac{11}{9},1)$
Para $ z=9$ $ (-5,11,9)$

Se dice, entonces, que la solución al sistema homogéneo es la recta que pasa por el origen y contiene al vector $ (-5,11,9)$ (ó $ (\frac{-5}{9},\frac{11}{9},1)$, o cualquier otro vector no nulo que se obtenga como solución particular).


El último caso, el de un sistema homogéneo de 2 ecuaciones y 3 incógnitas cuya solución es un plano que pasa por el origen, es muy sencillo. Ese caso se da cuando una fila de la matriz asociada es múltiplo de la otra. Cuando eso ocurre, las dos ecuaciones son equivalentes y cualquiera de las dos representa el plano que es la solución del sistema.

Por ejemplo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}-x+2-3z=0\\ 3x-6y+9z=0\end{array}\right.$

Las dos ecuaciones de este sistema son equivalentes (la segunda es igual a la primera multiplicada por $ -3$) y ambas representan el mismo plano en $ \mathbb{R}^3$ que pasa por el origen.



Si has respondido correctamente, continúa con tu lectura; si no ha sido así, estudia de nuevo los ejemplos anteriores y descubre la causa de tu error, antes de continuar.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: Un sistema de ecuaciones como el siguiente:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c} 2x+3y+5z=1\\ x+2y-z=0\\ -x+5y+2z=-2\end{array}\right.$


Plantea, en términos de las transformaciones lineales, la búsqueda del vector o los vectores $ \stackrel{\longrightarrow}{{v}}=(x,y,z)$ de $ \mathbb{R}^3$ que son preimágenes del vector $ (1,0,-2)$ mediante la transformación lineal definida por

$\displaystyle T(x,y,z)=(2x+3y+5z,x+2y-z,-x+5y+2z)$

Para resolver estos sistemas de de ecuaciones, es muy útil el cálculo del determinante de la matriz asociada a la transformación lineal $ T$:

$\displaystyle \Delta=\left\vert\begin{array}{rrr}2&3&5\\ 1&2&-1\\ -1&5&2\end{array}\right\vert=8+3+25-(-10-10+6)=50$


El hecho de ser no nulo el determinante, como en este caso, significa que el sistema es compatible determinado. Para encontrar la única solución del sistema, se puede usar la llamada 'Regla de Cramer', la cual se usará a continuación con el ejemplo dado.

Se calculan los 3 determinantes que resultan al sustituir respectivamente la primera, segunda y tercera columna de $ \Delta$ por la columna de los términos independientes del sistema. Se suele denotar estos determinantes por $ \Delta x$, $ \Delta y$ y $ \Delta z$:

$\displaystyle \Delta x=\left\vert\begin{array}{rrr}{\stackrel{\downarrow}{{1}}}&3&5\\ 0&2&-1\\ -2&5&2\end{array}\right\vert=4+6-(-20-5)=35$
$\displaystyle \Delta y=\left\vert\begin{array}{rrr}2&{\stackrel{\downarrow}{{1}}}&5\\ 1&0&-1\\ -1&-2&2\end{array}\right\vert=1+(-10)-(4+2)=-15$
$\displaystyle \Delta z=\left\vert\begin{array}{rrr}2&3&{\stackrel{\downarrow}{{1}}}\\ 1&2&0\\ -1&5&-2\end{array}\right\vert=-8+5-(-2-6)=5$

Ahora, se calculan los cocientes:

$\displaystyle x=\frac{\Delta x}{\Delta}\quad\quad y=\frac{\Delta y}{\Delta}\quad\quad z=\frac{\Delta z}{\Delta}$

Es decir,
$\displaystyle x=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$
 $\displaystyle y=\frac{-15}{50}=\frac{-3}{10}$ $\displaystyle z=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$


El vector $ (x,y,z)=(\frac{7}{10},\frac{-3}{10},\frac{1}{10})$ es, entonces, la única preimagen del vector $ (1,0,-2)$ según la transformación lineal dada. En otras palabras, la solución al sistema planteado es la terna ´

$\displaystyle x=\frac{35}{50}=\frac{7}{10}$
 $\displaystyle y=\frac{-15}{50}=\frac{-3}{10}$ $\displaystyle z=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$

 


Una interpretación geométrica para el sistema de ecuaciones compatible determinado es la siguiente:
Cada una de las tres ecuaciones representa un plano en el espacio $ \mathbb{R}^3$.

Si el término independiente de una ecuación no es nulo, el plano correspondiente no pasa por el origen. La intersección de los tres planos es un punto $ (x,y,z)$ del espacio, y las coordenadas de ese punto constituyen la solución al sistema.

Por ejemplo, en el caso del sistema planteado en la interactividad anterior:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c} 3x-4y+z=-17\\ 5x+y+6z=-1\\ -3x+4y-8z=10\end{array}\right.$

La intersección de los tres planos es el punto $ (-2,3,1)$.

Cuando se plantea un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, homogéneo, la información que provee el determinante del sistema es valiosa:
  1. Si el determinante es no nulo, como hay una única solución, eso significa que la única solución es el vector $ (0,0,0)$, ya que este vector es solución de todo sistema homogéneo.
  2. Si el determinante es igual a cero, el sistema es compatible indeterminado y el conjunto solución, que puede ser una recta o un plano, se determina con los procedimientos explicados para el caso de 2 ecuaciones homogéneas con tres incógnitas.

Ejemplos:

1. $\displaystyle \left\{\begin{array}{c} 3x-y+z=0\\ -x+2y-4z=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.$

$\displaystyle \Delta=\left\vert\begin{array}{rrr}3&-1&1\\ -1&2&-4\\ 1&1&-1\end{array}\right\vert=-6+4-1-(2-1-12)=8$

Como $ \Delta\neq 0$, el sistema tiene como única solución al vector $ (0,0,0)$, llamado frecuentemente la solución trivial del sistema homogéneo.

2. $\displaystyle \left\{\begin{array}{c} 2x+y+z=0\\ -x-2y+3z=0\\ x-y+4z=0\end{array}\right.$

$\displaystyle \Delta=\left\vert\begin{array}{rrr}2&1&1\\ -1&-2&3\\ 1&-1&4\end{array}\right\vert=-16+3+1-(-2-6-4)=0$


Aquí $ \Delta=0$, y por lo tanto, sistema es compatible indeterminado. En este caso la tercera ecuación es igual a la suma de las dos primeras, y por lo tanto, se puede prescindir de ella. Tomando las dos primeras ecuaciones:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{c} 2x+y+z=0\\ -x-2y+3z=0\end{array}\right.$

Se expresan las incógnitas $ y$, $ z$ en función de $ x$, y para lograrlo, se puede comenzar por eliminar la $ z$ del sistema por sustitución: Se despeja $ z$ de la primera ecuación: $\displaystyle z=-2x-y\quad\quad\quad(1)$ y se sustituye ese valor por $ z$ en la segunda:

$\displaystyle -x-2y+3(-2x-y)=0$

$\displaystyle -x-2y-6x-3y=0$

$\displaystyle -7x-5y=0$

$\displaystyle y=\frac{-7x}{5}$


Ahora, se sustituye $ y$ por $ \frac{-7x}{5}$ en (1):

$\displaystyle z=-2x-\left(\frac{-7x}{5}\right)=-2x+\frac{7x}{5}=\frac{-3x}{5}$

Así, la solución del sistema tiene la forma $ \left(x,\frac{-7x}{5},\frac{-3x}{5}\right)$, donde $ x$ puede tomar el valor de cualquier número real.


Si en un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas ocurriera que $ \Delta=0$ y además se observara que 2 de las ecuaciones son núltiplos de la restante, entonces la solución del sistema sería un plano en $ \mathbb{R}^3$, representado por cualquiera de las tres ecuaciones, ya que éstas serían ecuaciones equivalentes.


Referencias:
 Giménez, J. (2001). Matemática V . Caracas, Ediciones Eneva.
 
 
 
 
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