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Probabilidad y Estadística


La Teoría de Probabilidades es actualmente una rama muy desarrollada de las Matemáticas. Los primeros matemáticos que se ocuparon de estudiar algunas leyes que gobiernan los sucesos azarosos o aleatorios (sucesos como el lanzamiento de dados, cuyo resultado no es predecible con exactitud), lo hicieron motivados por la práctica de juegos de azar. Entre los más importantes matemáticos que iniciaron el estudio de la Teoría de Probabilidades están Cardano (s.XVI, Italia), Fermat y Pascal (s.XVII,Francia).


Conceptos Básicos.

Cuando se realiza un experimento aleatorio, como el lanzamiento de una moneda al aire, para luego observar cuál superficie muestra la moneda al caer al suelo, se deben precisar ciertas características del experimento, si se desea aplicar la Teoría de Probabilidades a su estudio. La primera de estas características que debe conocerse es el conjunto de todos los resultados posibles. Este conjunto se llama ``Espacio Muestral'', y en el caso del lanzamiento de la moneda, está constituido por dos resultados: cara y sello. Si se tratase del experimento de lanzar un dado para observar el número obtenido, el espacio muestral sería:

$\displaystyle E=\{1,2,3,4,5,6\}$

Cada elemento del espacio muestral es llamado ``punto muestral''. En otras palabras, cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio se denomina punto muestral. En el experimento de lanzar el dado, cada número del 1 al 6 es un punto muestral. Se denomina ``evento'' a cualquier colección de puntos muestrales. Por ejemplo, el conjunto $ \{1,5,6\}$ es un evento del experimento de lanzamiento del dado. Con frecuencia se desea conocer la probabilidad de que un cierto evento ocurra; por ejemplo, si se quiere saber la probabilidad de que en un lanzamiento de dados se obtenga un número menor que 4, se está preguntando por la probabilidad de que el evento $ \{1,2,3\}$ ocurra (es decir, que salga 1, 2 ó 3).

Con frecuencia se escucha hablar de probabilidades de ciertos eventos en la vida pública. Algunas veces se dicen frases como: ``La probabilidad de que mañana llueva es de 80%.''

Otras veces la probabilidad se expresa como una fracción menor o igual que la unidad:

``La probabilidad de obtener un número mayor que 4 al lanzar el dado es de $ \frac{1}{3}$.'' En ambos casos, la probabilidad se expresa como una proporción (proporciones). El porcentaje es una proporción que se puede expresar como una fracción en la cual el denominador es 100: $ \frac{80}{100}$ equivale a $ 80\%$. El número 100, en este caso, representa lo que es seguro (hay personas que usan la expresión ``estoy $ 100\%$ seguro''). Así, decir que la probabilidad de que mañana llueva es de 80%, significa que es altamente probable que llueva.
Se podría expresar también así: la probabilidad es de $ \frac{4}{5}$, ya que $ \frac{80}{100}=\frac{4}{5}$. Cuando se expresa una probabilidad en forma de fracción, ésta siempre está entre 0 y 1, donde probabilidad 0 significa que el nuevo evento es imposible que ocurra, y se denomina ``evento imposible'', y probabilidad 1 se le asigna al ``evento seguro.''

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el evento: ``Sacar un número mayor que 6'' es un evento imposible y su probabilidad es 0. El evento: ``sacar un número mayor que 0'' es el evento seguro, pues cualquier número que salga será mayor que 0. El evento seguro está constituido por todo el espacio muestral. En este caso, el evento ``sacar un número mayor que 0'' está representado por el conjunto

$\displaystyle E=\{1,2,3,4,5,6\}$

y se escribe $ {\cal P}(E)=1$ para denotar que su probabilidad es igual a 1. Por otra parte, el evento ``sacar un número mayor que 4'' está representado por el conjunto: $\displaystyle A=\{5,6\}$


Si has acertado en tus respuestas, estás preparado para aprender mucho más sobre probabilidades. Si has cometido errores, es preferible detenerte ahora y encontrar las causas de esos errores, para que los superes antes de proseguir con tu lectura.

En el ejercicio 1 de la interactividad anterior, se observa lo siguiente: La suma de las probabilidades obtenidas en a) y b) es igual a 1.

Supóngase que se denomina $ E$ el espacio muestral del experimento aleatorio de seleccionar a un individuo de un grupo de 7 personas, y se busca conocer la probabilidad de que sea hombre o mujer. Si se denota por $ H$ el evento: ``el individuo seleccionado es un hombre'' y $ M$ el evento: ``el individuo seleccionado es una mujer'',. se tiene lo siguiente:

$\displaystyle {\cal P}(H)+{\cal P}(M)=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}=\frac{7}{7}=1$
 
 
 
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