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Ángulos medidos en Radianes

Además de la medida en grados para los ángulos, se usa la medida en radianes. Un radián equivale a $ \frac{180}{\pi}$ grados; y es la medida del ángulo al centro de una circunferencia de radio 1, que produce un arco de longitud 1 sobre esa circunferencia:

 figura 7
Así, el ángulo recto $ (90^\circ)$ tiene medida igual a $ \frac{\pi}{2}$ en radianes, pues

1 radian equivale a$\displaystyle \quad \frac{180}{\pi}$   grados

luego $ \pi$ radianes equivalen a 180 grados

y$\displaystyle \quad \frac{\pi}{2}$   radianes equivalen a 90 grados

La conversión de la medida de un ángulo de radianes a grados o viceversa se efectúa sencillamente usando una regla de tres, sabiendo que $ \pi$ radianes equivalen a 180 grados.

Ejercicio: Determine la medida en radianes de los siguientes ángulos:
a)
$ 30^\circ$
b)
$ 60^\circ$
c)
$ 270^\circ$
d)
$ 360^\circ$
Respuestas:  a) $ \frac{\pi}{6}$; b) $ \frac{\pi}{3}$; c) $ \frac{3\pi}{2}$; d)$ 2\pi$
Si has acertado en tus respuestas, ¡excelente! Si no ha sido así, revisa la definición de radián y su equivalencia con el grado, pues será necesario tener esto muy claro para poder continuar con éxito en tu estudio de la Trigonometría.


En lo sucesivo, se utilizarán los radianes para medir ángulos en el círculo trigonométrico, como se suele llamar al círculo de radio unitario con centro en el origen de coordenadas del plano cartesiano. A continuación, se muestra un tabla que contiene algunos de los ángulos llamados notables, con los respectivos valores de seno y coseno:

Ángulo en radianes Seno Coseno
0 0 1
$ \frac{\pi}{6}$ $ \frac{1}{2}$ $ \frac{\sqrt{3}}{2}$
$ \frac{\pi}{4}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
$ \frac{\pi}{3}$ $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ $ \frac{1}{2}$
$ \frac{\pi}{2}$ 1 0



Todos los ángulos de la tabla anterior están en el primer cuadrante (o en las fronteras con el $ 2^o$ y el $ 4^o$ cuadrantes):

figura 8

Se puede observar que los ángulos notables de los demás cuadrantes se obtienen por simetrías con respecto a los ejes de coordenadas:

 ( Al programador: se pueden dibujar los ángulos simétricos de manera que aparezca uno y luego el simétrico. Por ejemplo, $ \frac{\pi}{6}$ y $ \frac{5\pi}{6}$).
figura 9 (a)
$ \pi$ es simétrico a 0 con respecto al eje de las ordenadas $ \sen \pi=0=\sen 0$y $ \cos\pi=-1=-\cos0$

 figura 9 (b)
  $ \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ es simétrico a $ \frac{\pi}{6}$

$ \sen\frac{5\pi}{6}=\sen\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ y $ \cos\frac{5\pi}{6}=-\cos\frac{\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
al programador: Aquí pueden aparecer
$ \frac{\pi}{4}$ y $ \frac{3\pi}{4}$alternándose.

 figura 10

$\displaystyle \sen \frac{3\pi}{4}=\sen \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle \cos \frac{3\pi}{4}=-\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

En todos estos ejemplos se observa la siguiente regla general: si $ \alpha$ y $ \beta$ son ángulos simétricos con respecto al eje de las ordenadas, entonces $ \sen\alpha=\sen\beta$ y $ \cos\alpha=-\cos\beta$

Interactividad: En base a las observaciones anteriores, calcula:
a)
$ \sen\frac{2\pi}{3}$
b)
$ \cos\frac{2\pi}{3}$
 repuestas: a) $ \frac{\sqrt{3}}{2}$ y b) $ \frac{-1}{2}$
Se obtienen otros ángulos notables cuando se buscan simetrías con respecto al eje de las abscisas. Por ejemplo: El simétrico del ángulo $ \alpha=\frac{\pi}{2}$ con respecto al eje de las abscisas es $ \frac{3\pi}{2}$:
 al programador: igual que arriba, primero
$ \frac{\pi}{2}$ y luego $ \frac{3\pi}{2}$.

 figura 11

$\displaystyle \sen\frac{3\pi}{2}=-1=-\sen\frac{\pi}{2}$

$\displaystyle \cos\frac{3\pi}{2}=0=\cos\frac{\pi}{2}$

El simétrico a $ \frac{2\pi}{3}$ con respecto al eje de las abscisas es $ \frac{4\pi}{3}$:
 en verde: al programador: igual que arriba

 en rojo: figura 12

$\displaystyle \sen\frac{4\pi}{3}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\sen\frac{2\pi}{3}$

$\displaystyle \cos\frac{4\pi}{3}=\frac{-1}{2}=\cos\frac{4\pi}{3}$


Para Reflexionar:

¿Puedes establecer alguna relación general entre $ \sen\alpha$ y $ \sen\beta$ cuando $ \alpha$y $ \beta$son ángulos simétricos con respecto al eje de las abscisas?
¿Y entre $ \cos\alpha$ y $ \cos\beta$?
 Respuesta: Si $ \alpha$ y $ \beta$son simétricos con respecto al eje de las abscisas, $ \sen\alpha=-\sen\beta$ y $ \cos\alpha=\cos\beta)$

Ejercicio:

Selecciona el ángulo simétrico a cada uno de los ángulos siguientes, con respecto al eje de las abscisas:
  1. $ \frac{7\pi}{4}$

    Opciones:
    a)
    $ \frac{-\pi}{4}$
    b)
    $ \frac{\pi}{4}$
    c)
    $ \frac{3\pi}{4}$
  2. $ \frac{3\pi}{4}$

    Opciones:
    a)
    $ \frac{5\pi}{4}$
    b)
    $ \frac{\pi}{4}$
    c)
    $ \frac{7\pi}{4}$
  3. $ \frac{5\pi}{6}$

    Opciones:
    a)
    $ \pi$
    b)
    $ \frac{-\pi}{3}$
    c)
    $ \frac{7\pi}{6}$
respuestas: 1) b); 2) a); 3) c)

Si has tenido éxito en la resolución de estos ejercicios, has asimilado muy bien las ideas presentadas. Si has encontrado dificultades , será necesario revisar la noción de simetría con respecto a un eje, y observar con cuidado los ejemplos mostrados.

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Ramon Pino 2004-05-20