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Vectores en el plano


El plano cartesiano permite asociar a cada punto $ P$ del plano, un par ordenado $ (a,b)$ de números reales, que son sus coordenadas rectangulares, como en la figura de la derecha.


Ahora bien, si se considera el segmento de recta que une el origen de coordenadas (el punto $ O$) con el punto $ P$ y se supone que representa el desplazamiento de un objeto cualquiera desde $ O$ hasta $ P$, puede también representarse gráficamente este desplazamiento en el plano cartesiano. (Observa la figura de la izquierda)

El segmento de recta $ OP$ tiene una magnitud (la medida del segmento $ OP$), una dirección (la inclinación del segmento con respecto al eje de las abscisas) y tiene un sentido u orientación (desde $ O$ hacia $ P$).
Estas tres cualidades: magnitud, dirección y sentido definen lo que es un vector en el plano. En el caso del vector de la figura anterior, el cual se denota $ \stackrel{\longrightarrow}{{OP}}$, se denomina 'origen' al punto $ O$ y 'extremo' al punto $ P$.

Por lo pronto, se considerarán sólo vectores con origen en el punto $ (0,0)$ del plano cartesiano. Así, por ejemplo, si el punto $ P$ tiene coordenadas (1,4), estas coordenadas definen al vector $ \stackrel{\longrightarrow}{{OQ}}$ que se muestra en la figura de la derecha.

También se usan letras para denotar vectores, cuando no es preciso especificar cuál es el origen (como es el caso ahora).
 El vector $ \vec{v}=(-1,-4)$ se representa en la figura siguiente con el objeto de resaltar el hecho siguiente: $ \vec{v}=(-1,-4)$ tiene la misma dirección que $ \stackrel{\longrightarrow}{{OQ}}$ y la misma magnitud, pero sentido opuesto. (Observa la figura de la izquierda)

(-1,-4) son las coordenadas del vector $ \vec{v}$. En la Física son usados con frecuencia los vectores para representar fuerzas aplicadas a objetos, pues el resultado de aplicar una fuerza determinada depende de la magnitud, la dirección y el sentido con que es aplicada. Por ejemplo, si los vectores $ \vec{v}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{OQ}}$ de la figura anterior representan dos fuerzas aplicadas a un objeto ubicado en $ O$, simultáneamente, entonces el objeto no se movería en absoluto, porque el resultado de aplicar fuerzas iguales en magnitud y dirección pero sentido opuesto es la anulación de una fuerza por la otra. En términos algebraicos, también se anulan:

$\displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{{OQ}}+\vec{v}=(1,4)+(-1,-4)=(1+(-1),4+(-4))=(0,0)$

 

Esto es lo que ocurre cuando dos personas juegan a 'hacer pulso' y ambas ejercen idéntica fuerza en magnitud y dirección, pero en sentido contrario: las manos agarradas de los contrincantes no se mueven, a pesar de que hay fuerzas intentando moverlas.



 
 
 
 
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