RENa - Cuarta etapa - Matemática- La circunferencia y la elipse

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La circunferencia y la elipse

La circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola son figuras planas denominadas secciones cónicas o simplemente cónicas, porque se generan al intersectar un plano con un cono. Dependiendo de la posición relativa del plano y el cono, se origina cada una de las cónicas:

Plano	Cónica
Perpendicular al eje	Circunferencia
No perpendicular al eje y no paralelo a generatriz	Elipse
Paralelo a la generatriz	Parábola
Paralelo al eje (cono doble)	Hipérbola

Se comenzará el estudio de las cónicas con la circunferencia, figura que tiene muchas aplicaciones prácticas en nuestro mundo; siendo algunas de ellas las ruedas de carros y bicicletas, las poleas, los discos compactos y ¡las arepas!

Definición: Una circunferencia es una figura plana cuya característica esencial es la siguiente: sus puntos son todos aquellos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. La distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro se denomina radio de la circunferencia.

Es bueno notar que cualquier punto del plano que se encuentre a una distancia

del punto

, está en la circunferencia. Para estudiar con detalle las propiedades de la circunferencia, es conveniente considerar circunferencias en el plano cartesiano.
Por ejemplo, la circunferencia con centro en el punto

y radio igual a 2 es la que se muestra en la figura de la izquierda.

Aún sin observar la figura, se puede deducir de la definición de circunferencia, que los puntos (2,0), (0,2), (-2,0), (0,-2), todos pertenecen a la circunferencia, pues la distancia de todos estos puntos al punto (0,0) es igual a 2.

Si se considera de nuevo la circunferencia con centro en el punto (0,0) y radio igual a 2, y se quiere saber cuáles son las ordenadas de los dos puntos

de la circunferencia con abscisa igual a 1, geométricamente se trataría de detectar qué números corresponden a

Para determinar con precisión esos números

, es necesario conocer la ecuación de la circunferencia. Es decir, la expresión algebraica que deben satisfacer todos los puntos

del plano que están en la circunferencia. La condición que cumplen todos los puntos

de la circunferencia es: $\displaystyle d((x,y),(0,0))=2$ Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$\displaystyle \sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=2$

$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=2$

$\displaystyle x^2+y^2=2^2$

Esta es la forma más simple de la ecuación de esa circunferencia. Se llama forma canónica. Ahora, si se quiere responder la pregunta acerca de las ordenadas de los puntos

de la circunferencia, se sustituye

por 1 en la ecuación (porque la abscisa de

es igual a :

$\displaystyle 1^2+y^2=2^2$

(1)

Se despeja

$\displaystyle y^2=2^2-1^2$
$\displaystyle y^2=3$
$\displaystyle y=\pm \sqrt{3}$

Así, los dos valores buscados de

son: $y_1=\sqrt{3}$ y $y_2=-\sqrt{3}$ . Es decir: $P_1=(1,\sqrt{3})$ , $P_2=(1,-\sqrt{3})$
En general, la ecuación canónica de cualquier circunferencia con centro en el punto (0,0), tiene la forma: $\displaystyle x^2+y^2=r^2$ donde

es el radio de la circunferencia.

Si acertaste en tu respuesta, ¡muy bien! Si no, recuerda que para encontrar la ecuación pedida, debes determinar primero el radio de la circunferencia, y ese número es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.

Cuando una circunferencia tiene su centro en un punto

del plano, distinto de (0,0), y su radio es

, su ecuación canónica es:

$\displaystyle (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

Por ejemplo, la ecuación:

$\displaystyle (x-1)^2+(y-6)^2=16$

corresponde a la circunferencia de radio igual a 4 con centro en el punto (1,6), como se observa en la figura de la derecha.

En algunas oportunidades, la ecuación de la circunferencia no está dada en su forma canónica, sino en la llamada forma general. Esta es la forma que adquiere la ecuación canónica cuando se desarrollan los cuadrados y se hace uno de los miembros de la ecuación igual a cero. Por ejemplo, la ecuación:

$\displaystyle (x-1)^2+(y-5)^2=25\quad \quad \quad(1)$

es equivalente a:

$\displaystyle x^2-2x+1+y^2-10y+25=25$

$\displaystyle x^2+y^2-2x-10y+26-25=0$

$\displaystyle x^2+y^2-2x-10y+1=0$

Esta es la forma general de la ecuación (1). Mientras que al sólo ver la ecuación (1) es posible saber que su centro es el punto (1,5) y su radio es 5, si se presenta sólo la ecuación general, no es tan inmediato el detectar su centro y su radio. En ese caso, hay que buscar primero la forma canónica de la ecuación. Por ejemplo, dada la ecuación general:

$\displaystyle x^2+y^2+4x-6y+12=0$