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Parábolas
Cuando se tiene una cuerda con sus dos extremos fijados a dos puntos distintos de una pared, situados a la misma altura, la curva que describe la cuerda es parte de una curva llamada parábola.

Esto es válido también para el caso de los puentes colgantes: la curva que describe la estructura de la cual cuelga el puente es una parábola:


Para estudiar las características de esta curva, es conveniente ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas. La parábola de la figura siguiente tiene 2 elementos distinguidos que son: el eje y el vértice, que coincide en este caso con el origen de coordenadas.

Pero los elementos que definen a esta parábola, es decir, los elementos de los cuales depende la forma específica de la parábola son: el foco y la recta directriz.
La propiedad que debe cumplir cualquier punto $ P$ de la parábola es la siguiente:

Distancia de $ P$ al foco = Distancia de $ P$ a la recta directriz.

Por ejemplo, si la ecuación de la recta directriz de una parábola es $ y=-2$ y el foco tiene coordenadas (0,2), cualquier punto $ (x,y)$ del plano cartesiano que pertenezca a la parábola, debe cumplir lo siguiente:

Distancia de $ (x,y)$ a (0,2) = Distancia de $ (x,y)$ a la recta $ y=-2$

Si se escribe esta igualdad en términos algebraicos, se obtiene:

$\displaystyle \sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}=\vert y+2\vert$

Elevando al cuadrado ambos miembros:
$\displaystyle x^2+(y-2)^2=(y+2)^2$
$\displaystyle x^2+y^2-4y+4=y^2+4y+4$
$\displaystyle x^2=8y$


Esta última expresión algebraica es la ecuación canónica de la parábola con foco en el punto (0,2) y recta directriz $ y=-2$.
Es decir, si $ (a,b)$ es un punto del plano tal que:
$\displaystyle a^2=8b$
entonces $ (a,b)$ es un punto de esa parábola, mientras que si $ a^2\neq 8b$, no lo es.


En general, cualquier parábola con vértice en el punto $ (0,0)$ y recta directriz dada por la ecuación $ y=p$ tiene la siguiente ecuación canónica:
$\displaystyle x^2=-4py$
Las coordenadas del foco, en este caso, son: $ (0,-p)$.
Por ejemplo, la parábola con foco en el punto $ (0,-3)$ y vértice en el origen de coordenadas, debe tener como recta directriz a la recta cuya ecuación es $ y=3$.

La ecuación canónica de esta parábola es, entonces:

$\displaystyle x^2=(-4)(3)y$  ó$\displaystyle \quad x^2=-12y$

Es bueno observar que cualquier ecuación equivalente a la anterior es también una ecuación de la parábola mencionada.

 Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones de la misma parábola:
$\displaystyle x^2+12y=0$
$\displaystyle y=\frac{-x^2}{12}$

Pero la ecuación canónica es $ x^2=-12y$. Si una parábola tiene su vértice en el punto $ (0,0)$ pero su foco sobre el eje de las abscisas, entonces su ecuación canónica es:
$\displaystyle y^2=-4px$
Aquí, se tiene:
Foco:
 $ (-p,0)$
Directriz: $ x=p$

Si has acertado tus respuestas, las ideas básicas involucradas en las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen de coordenadas ya están claras para tí, y será muy fácil comprender lo que sigue. Si no ha sido así, detecta ahora las causas de tus errores para que puedas avanzar sin problemas en tu lectura.

Parábolas con vértice en un punto distinto del origen.

Se estudiarán a continuación las ecuaciones canónicas de parábolas cuyo eje es paralelo a alguno de los ejes de coordenadas, y cuyo vértice es un punto $ (h,k)\neq (0,0)$.
 Si una parábola tiene su eje paralelo al eje de las abscisas y su vértice es el punto $ (h,k)$ , su ecuación canónica es:
$\displaystyle (y-k)^2=-4p(x-h)$

donde la recta directriz es $ x=h+p$ y las coordenadas del foco son $ (h-p,k)$.

 En este caso, $ p<0$ cuando la parábola abre hacia la derecha y $ p>0$ cuando la parábola abre hacia la izquierda.

Ejemplos:
$ p=1$
Ecuación canónica: $ (y-1)^2=4(x-2)$
Directriz: $ x=1$
Foco: $ (3,1)$
 


$ p=1$
Ecuación canónica: $ (y+3)^2=-4(x-2)$
Directriz: $ x=3$
Foco: $ (1,-3)$



Las parábolas con eje paralelo al eje de las ordenadas tienen una ecuación canónica de la forma: $\displaystyle (x-h)^2=-4p(y-k)$Aquí, el vértice está en el punto $ (h,k)$ y la recta directriz es la recta $ y=k+p$.


La ecuación general de una parábola, tiene la forma:
$\displaystyle Ay^2+By+Cx+D=0$
ó
$\displaystyle Ax^2+Bx+Cy+D=0$
(El primero de los casos ocurre cuando se trata de una parábola con eje paralelo al eje de las abscisas, y el segundo, cuando el eje es paralelo al eje de las ordenadas).
 Es muy útil encontrar la ecuación canónica de una parábola, a partir de su ecuación general, para determinar las coordenadas de su vértice y su foco, y las ecuaciones de la recta directriz y del eje. Por ejemplo, dada la ecuación:
$\displaystyle 4y^2+32y-32x+192=0$
Se comienza por completar el cuadrado en la variable $ y$ .
$\displaystyle 4(y^2+8y)-32x+192=0$
$\displaystyle 4(y^2+8y+16)-32x+192-4(16)=0$
$\displaystyle 4(y+4)^2-32x+128=0$
$\displaystyle (y+4)^2=8x-32$

$\displaystyle (y+4)^2=8(x-4)$
Al obtener la ecuación canónica, se puede deducir la información siguiente: Como$ -4p=8$, se tiene que:
$ p=-2$
Vértice: $ (4,-4)$
Foco: $ (4+2,-4)=(6,-4)$
Eje: $ y=-4$
.



Hay una propiedad óptica muy interesante en las parábolas; es la siguiente:


 Si en el foco de la parábola se coloca una fuente de luz, ésta incide en las paredes de la parábola y se refracta en forma de rayos paralelos al eje. Este fenómeno es aprovechado en el diseño de focos luminosos, donde la pantalla es un paraboloide de revolución (figura tridimensional que se genera al rotar una parábola sobre su eje), y la fuente de luz se coloca en el foco del paraboloide.
Las antenas parabólicas, por otra parte, tienen la función de captar señales de televisión, por lo general, lo cual se optimiza gracias a la propiedad de la parábola que es 'recíproca' a la mencionada antes:

Las señales que llegan a la pared interna del paraboloide "rebotan" de tal manera que inciden luego sobre el foco. En el caso de las antenas parabólicas, en el lugar que ocupa el foco, se coloca un receptor de la señal, en el cual se concentra la información recibida.

Esta fue probablemente la propiedad del paraboloide que permitó a Arquímedes la utilización de los 'espejos incendiarios': el espejo recibía los rayos del sol y luego éstos al refractarse se concentraban en un mismo punto (el foco del paraboloide) haciendo arder en fuego a cualquier navío que pasara por ese punto.


 
 
 
 
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