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Hipérbolas
Una hipérbola es una cónica caracterizada por la propiedad siguiente:

Dados dos puntos fijos del plano llamados focos de la hipérbola, la diferencia de las distancias de cualquier punto de ésta a los focos, en valor absoluto, es constante.
 En la figura, $ V_1$ y $ V_2$ son los vértices, $ F_1$ y $ F_2$ los focos, $ P$ y $ Q$ son puntos de la hipérbola y se cumple:
$\displaystyle \vert d_1-d_2\vert=\vert d_1'-d_2'\vert$
El eje focal de la hipérbola es la recta que contiene a los dos focos. (En la figura, el eje focal es el eje de las abscisas). El centro es el punto medio del segmento cuyos extremos son los focos. (en la figura, es el punto $ (0,0)$).
Los vértices son los puntos de la hipérbola más cercanos al centro, y son las intersecciones entre ésta y el eje focal. ($ V_1$ y $ V_2$ en la figura).
Si $ V_1=(a,0)$, $ V_2=(-a,0)$, $ F_1(s,0)$ y $ F_2=(-s,0)$, entonces,

$\displaystyle \vert d(V_1,F_1)-d(V_1,F_2)\vert=\vert d(V_2,F_1)-d(V_2,F_2)\vert=d(V_1,V_2)$

Pues $ d(V_2,F_2)=d(V_1, F_1)$ y así, $\displaystyle \vert d(V_2,F_1)-d(V_1,F_1)\vert=d(V_1,V_2)$

Como $ d(V_1,V_2)=\sqrt{(a-(-a))^2+(0-0)^2}=\sqrt{(2a)^2}=2a$, entonces la constante a la cual se refiere la definición es igual a $ 2a$.  Es decir, si el punto P está en la hipérbola,

$\displaystyle \vert d(P,F_1)-d(P,F_2)\vert=2a$
Ejemplo:

En la figura siguiente se observa la hipérbola con eje focal sobre el eje de las abscisas, vértices en los puntos (1,0) y (-1,0), focos en los puntos (2,0) y (-2,0).
El centro de la hipérbola es el punto $ (0,0)$.
En este caso, $ 2a=2$, por lo tanto $ a=1$. Si se denota  por$ 2c$ a la longitud del segmento $ \overline{F_1F_2}$, en este caso, se tiene que $ 2c=4$, por lo tanto, $ c=2$.
 En toda hipérbola, se cumple que $ c>a$, y si se denomina $ b$ al número positivo que satisface:


$\displaystyle b^2=c^2-a^2$
entonces la ecuación canónica de una hipérbola con centro en el punto (0, 0) y eje focal igual al eje de las abscisas, es:
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$


En este caso, la ecuación canónica de la hipérbola de la figura anterior es:

$\displaystyle \frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ ó$\displaystyle \quad x^2-\frac{y^2}{3}=1$

pues $ a=1$, $ a^2=1$, $ c=2$, $ b^2=c^2-a^2=4-1=3$.
Si una hipérbola tiene centro en el origen y eje focal igual al eje de las ordenadas, su ecuación canónica es:
$\displaystyle \frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$

donde $ 2a=d(V_1,V_2)$, $ 2c=d(F_1,F_2)$ y $ b^2=c^2-a^2$.



Si una hipérbola tiene centro en el punto $ (h,k)$, su eje focal es paralelo al eje $ x$; sus vértices son $ (-a+h,k)$ y $ (a+h,k)$; sus focos son $ (-c+h,k)$ y $ (c+h,k)$, entonces su ecuación es

$\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$

donde $ b^2=c^2-a^2$
Si el eje focal de una hipérbola es paralelo al eje de las ordenadas, y tiene centro en el punto $ (h,k)$, sus focos en los puntos $ (h,k+c)$, $ (h,k-c)$ y los vértices en $ (h,k+a)$, $ (h,k-a)$ entonces su ecuación canónica es
$\displaystyle \frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

donde $ b^2=c^2-a^2$


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