Tema: Parábolas e Hipérbolas

Palabras claves: parábola, hipérbola, focos, directriz.

Un poco de Historia.

En el siglo III a.C. vivió en Alejandría uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad: Apolonio. Fue llamado 'el Gran Geómetra' por su dedicación al estudio de la Geometría, pero especialmente de las cónicas. Muchos trabajos que escribió Apolonio se perdieron, pero fueron comentados por escritores posteriores.
 Uno de estos es el llamado 'Los Espejos Incendiarios', donde Apolonio estudia problemas relacionados con la óptica. Algunos de éstos se refieren a las propiedades de los espejos parabólicos.
 Arquímedes, quien fue contemporáneo de Apolonio, aunque un poco mayor que éste, utilizó las propiedades de los espejos parabólicos para incendiar las naves romanas que se aproximaban a Siracusa con el fin de invadirla. Se dice que durante dos años logró Siracusa resistir al ataque romano, gracias al ingenio de los grandes geómetras: Arquímedes y Apolonio.

Parábolas

Cuando se tiene una cuerda con sus dos extremos fijados a dos puntos distintos de una pared, situados a la misma altura, la curva que describe la cuerda es parte de una curva llamada parábola:

 Figura 1

Esto es válido también para el caso de los puentes colgantes: la curva que describe la estructura de la cual cuelga el puente es una parábola:

 Un puente colgante.

Para estudiar las características de esta curva, es conveniente ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas. La parábola de la figura siguiente tiene 2 elementos distinguidos que son: el eje y el vértice, que coincide en este caso con el origen de coordenadas.

Figura 2

 Pero los elementos que definen a esta parábola, es decir, los elementos de los cuales depende la forma específica de la parábola son: el foco y la recta directriz:

Figura 3

 La propiedad que debe cumplir cualquier punto $P$ de la parábola es la siguiente:

Distancia de $P$ al foco = Distancia de $P$ a la recta directriz.

Figura 4
 Sale primero el punto $P_1$ y luego se dibujan las líneas punteadas $d_1$ y $d_2$ y aparece '$d_1=d_2$'. luego sale $P_2$ y después $d_3$ y $d_4$ y '$d_3=d_4$.

 Por ejemplo, si la ecuación de la recta directriz de una parábola es $y=-2$ y el foco tiene coordenadas (0,2), cualquier punto $(x,y)$ del plano cartesiano que pertenezca a la parábola, debe cumplir lo siguiente:

Distancia de $(x,y)$ a (0,2) = Distancia de $(x,y)$ a la recta $y=-2$

Si se escribe esta igualdad en términos algebraicos, se obtiene:

$$\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}=\vert y+2\vert$$

Elevando al cuadrado ambos miembros:

$$x^2+(y-2)^2=(y+2)^2$$

$$x^2+y^2-4y+4=y^2+4y+4$$

$$x^2=8y$$

Esta última expresión algebraica es la ecuación canónica de la parábola con foco en el punto (0,2) y recta directriz $y=-2$.
Es decir, si $(a,b)$ es un punto del plano tal que

$$a^2=8b$$

entonces $(a,b)$ es un punto de esa parábola, mientras que si $a^2\neq 8b$, no lo es.

Interactividad: Si el punto $(3,m)$ está en la parábola cuya ecuación es $x^2=8y$, entonces $m$ es igual a:

a)

$\frac{3}{8}$

b)

$\frac{9}{8}$

c)

24

Respuesta: b)

En general, cualquier parábola con vértice en elpunto $(0,0)$ y recta directriz dada por la ecuación $y=p$ tiene la siguiente ecuación canónica:

$$x^2=-4py$$

Las coordenadas del foco, en este caso, son: $(0,-p)$.
Por ejemplo, la parábola con foco en el punto $(0,-3)$ y vértice en el origen de coordenadas, debe tener como recta directriz a la recta cuya ecuación es $y=3$.

Para reflexionar:¿Por qué debe ser $y=3$ la ecuación de la recta directriz?

 Respuesta: porque el foco y la recta directriz están en lados opuestos del vértice y equidistantes del mismo


La ecuación canónica de esta parábola es, entonces:

$$x^2=(-4)(3)y$$

ó$$\quad x^2=-12y$$

Es bueno observar que cualquier ecuación equivalente a la anterior es también una ecuación de la parábola mencionada.

 Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones de la misma parábola:

$$x^2+12y=0$$

$$y=\frac{-x^2}{12}$$

Pero la ecuación canónica es $x^2=-12y$. Si una parábola tiene su vértice en el punto $(0,0)$ pero su foco sobre el eje de las abscisas, entonces su ecuación canónica es:

$$y^2=-4px$$

Aquí, se tiene:
Foco:$(-p,0)$
Directriz: $x=p$

Interactividad: Dada la siguiente figura,
 Figura 5

1. La ecuación canónica de la parábola de la figura es:

   a)

   $y^2=24x$

   b)

   $y^2=-24x$

   c)

   $x^2=-24y$

    Respuesta: b).
2. Las coordenadas del foco son:

   a)

   $(0,6)$

   b)

   $(0,-6)$

   c)

   $(-6,0)$

   Respuesta: c)

Si has acertado tus respuestas, las ideas básicas involucradas en las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen de coordenadas ya están claras para tí, y será muy fácil comprender lo que sigue. Si no ha sido así, detecta ahora las causas de tus errores para que puedas avanzar sin problemas en tu lectura.

Parábolas con vértice en un punto distinto del origen.

Se estudiarán a continuación las ecuaciones canónicas de parábolas cuyo eje es paralelo a alguno de los ejes de coordenadas, y cuyo vértice es un punto $(h,k)\neq (0,0)$.
 Si una parábola tiene su eje paralelo al eje de las abscisas y su vértice es el punto $(h,k)$, su ecuación canónica es:

$$(y-k)^2=-4p(x-h)$$

donde la recta directriz es $x=h+p$ y las coordenadas del foco son $(h-p,k)$.

 En este caso, $p<0$ cuando la parábola abre hacia la derecha y $p>0$ cuando la parábola abre hacia la izquierda.

Ejemplos:

 Figura 6
 $p=1$
Ecuación canónica: $(y-1)^2=4(x-2)$
Directriz: $x=1$
Foco: $(3,1)$
 Figura 7
 $p=1$
Ecuación canónica: $(y+3)^2=-4(x-2)$
Directriz: $x=3$
Foco: $(1,-3)$

Interactividad: Selecciona la ecuación que corresponde a la parábola de la figura, sabiendo que el punto $F$ es el foco:
 Figura 8

a)

$(y-2)^2=4(x-3)$

b)

$(y-2)^2=-4(x-5)$

c)

$(y-2)^2=8(x-3)$

 Respuesta correcta: c).


Las parábolas con eje paralelo al eje de las ordenadas tienen una ecuación canónica de la forma:

$$(x-h)^2=-4p(y-k)$$

Aquí, el vértice está en el punto $(h,k)$ y la recta directriz es la recta $y=k+p$.

Para reflexionar:

a)

¿Cuáles serían las coordenadas del foco, en este caso?

b)

Si la parábola abre hacia arriba, ¿$p>0$ ó $p<0$?

 Respuestas: a) $(h,k-p)$; b)$p<0$


La ecuación general de una parábola, tiene la forma:

$$Ay^2+By+Cx+D=0$$

ó

$$Ax^2+Bx+Cy+D=0$$

(El primero de los casos ocurre cuando se trata de una parábola con eje paralelo al eje de las abscisas, y el segundo, cuando el eje es paralelo al eje de las ordenadas).
 Es muy útil encontrar la ecuación canónica de una parábola, a partir de su ecuación general, para determinar las coordenadas de su vértice y su foco, y las ecuaciones de la recta directriz y del eje. Por ejemplo, dada la ecuación:

$$4y^2+32y-32x+192=0$$

Se comienza por completar el cuadrado en la variable $y$.  link con EcuacionCuadratica.html

$$4(y^2+8y)-32x+192=0$$

$$4(y^2+8y+16)-32x+192-4(16)=0$$

$$4(y+4)^2-32x+128=0$$

$$(y+4)^2=8x-32$$

$$(y+4)^2=8(x-4)$$

Al obtener la ecuación canónica, se puede deducir la información siguiente:
Como$-4p=8$, se tiene que $p=-2$.
Además:
 Vértice: $(4,-4)$
Foco: $(4+2,-4)=(6,-4)$
Eje: $y=-4$
Representación gráfica:
Figura 9

Interactividad:

1. Deduce la ecuación canónica de la parábola cuya ecuación general es: $x^2-6x+12y+51=0$, y selecciona la ecuación correspondiente:

   a)

   $(x-)^2=12(y-5)$

   b)

   $(y+5)^2=6(x+3)$

   c)

   $(x-3)^2=-12(y+5)$

    Respuesta: c).
2. A partir de la ecuación canónica seleccionada, determina: Vértice: ( , ) Respuesta: (3,-5) Foco: ( , ) Respuesta: (3,-8) Directriz: Respuesta : $y=-2$ Eje: Respuesta: $x=3$

Hay una propiedad óptica muy interesante en las parábolas; es la siguiente:
 Figura 10

 Si en el foco de la parábola se coloca una fuente de luz, ésta incide en las paredes de la parábola y se refracta en forma de rayos paralelos al eje. Este fenómeno es aprovechado en el diseño de focos luminosos, donde la pantalla es un paraboloide de revolución (figura tridimensional que se genera al rotar una parábola sobre su eje), y la fuente de luz se coloca en el foco del paraboloide.

 un reflector de luz.

Las antenas parabólicas, por otra parte, tienen la función de captar señales de televisión, por lo general, lo cual se optimiza gracias a la propiedad de la parábola que es 'recíproca' a la mencionada antes:

Figura 11

 Las señales que llegan a la pared interna del paraboloide "rebotan" de tal manera que inciden luego sobre el foco. En el caso de las antenas parabólicas, en el lugar que ocupa el foco, se coloca un receptor de la señal, en el cual se concentra la información recibida.

Esta fue probablemente la propiedad del paraboloide que permitó a Arquímedes la utilización de los 'espejos incendiarios': el espejo recibía los rayos del sol y luego éstos al refractarse se concentraban en un mismo punto (el foco del paraboloide) haciendo arder en fuego a cualquier navío que pasara por ese punto.