La Hipérbola

Una hipérbola es una cónica caracterizada por la propiedad siguiente:
Dados dos puntos fijos del plano llamados focos de la hipérbola, la diferencia de las distancias de cualquier punto de ésta a los focos, en valor absoluto, es constante.

 Figura 12

 En la figura, $V_1$ y $V_2$ son los vértices, $F_1$ y $F_2$ los focos, $P$ y $Q$ son puntos de la hipérbola y se cumple:

$$\vert d_1-d_2\vert=\vert d_1'-d_2'\vert$$

El eje focal de la hipérbola es la recta que contiene a los dos focos. (En la figura, el eje focal es el eje de las abscisas).
El centro es el punto medio del segmento cuyos extremos son los focos. (en la figura, es el punto $(0,0)$).
Los vértices son los puntos de la hipérbola más cercanos al centro, y son las intersecciones entre ésta y el eje focal. ($V_1$ y $V_2$ en la figura).
Si $V_1=(a,0)$, $V_2=(-a,0)$, $F_1(s,0)$ y $F_2=(-s,0)$, entonces,

$$\vert d(V_1,F_1)-d(V_1,F_2)\vert=\vert d(V_2,F_1)-d(V_2,F_2)\vert=d(V_1,V_2)$$

Pues $d(V_2,F_2)=d(V_1, F_1)$ y así,

$$\vert d(V_2,F_1)-d(V_1,F_1)\vert=d(V_1,V_2)$$

Como $d(V_1,V_2)=\sqrt{(a-(-a))^2+(0-0)^2}=\sqrt{(2a)^2}=2a$, entonces la constante a la cual se refiere la definición es igual a $2a$.
 Es decir, si el punto P está en la hipérbola,

$$\vert d(P,F_1)-d(P,F_2)\vert=2a$$

Ejemplo:

En la figura siguiente se observa la hipérbola con eje focal sobre el eje de las abscisas, vértices en los puntos (1,0) y (-1,0), focos en los puntos (2,0) y (-2,0).
 El centro de la hipérbola es el punto $(0,0)$.
 Figura 13
En este caso, $2a=2$, por lo tanto $a=1$. Si se denota  por$2c$ a la longitud del segmento $\overline{F_1F_2}$, en este caso, se tiene que $2c=4$, por lo tanto, $c=2$.
 En toda hipérbola, se cumple que $c>a$, y si se denomina $b$ al número positivo que satisface:

$$b^2=c^2-a^2$$

entonces la ecuación canónica de una hipérbola con centro en el punto (0, 0) y eje focal igual al eje de las abscisas, es:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

En este caso, la ecuación canónica de la hipérbola de la figura anterior es:

$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$$

ó$$\quad x^2-\frac{y^2}{3}=1$$

pues $a=1$, $a^2=1$, $c=2$, $b^2=c^2-a^2=4-1=3$.
 Si una hipérbola tiene centro en el origen y eje focal igual al eje de las ordenadas, su ecuación canónica es:

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

donde $2a=d(V_1,V_2)$, $2c=d(F_1,F_2)$ y $b^2=c^2-a^2$.
Figura 14

Interactividad:
1.Encuentra la ecuación canónica de la hipérbola de la figura.

 Figura 15
a)

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$$

b)

$$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$$

c)

$$\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1$$

d) ((y2)/5 - (x2)/4) = 1

Respuesta: c).

2. Determina, usando la definición de hipérbola, si el punto (3,4) está o no en la hipérbola de la figura.
 Respuesta: no está.


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Si una hipérbola tiene centro en el punto $(h,k)$, su eje focal es paralelo al eje $x$; sus vértices son $(-a+h,k)$ y $(a+h,k)$; sus focos son $(-c+h,k)$ y $(c+h,k)$, entonces su ecuación es

$$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$

donde $b^2=c^2-a^2$

Figura 16

 Si el eje focal de una hipérbola es paralelo al eje de las ordenadas, y tiene centro en el punto $(h,k)$, sus focos en los puntos $(h,k+c)$, $(h,k-c)$ y los vértices en $(h,k+a)$, $(h,k-a)$ entonces su ecuación canónica es

$$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$$

donde $b^2=c^2-a^2$

Interactividad:

1. Determina las coordenadas del centro, los vértices y la ecuación del eje focal de las hipérbolas dadas por las ecuaciones siguientes:

   a)

   $$\frac{(x-1)^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$$

    Respuesta: Centro: (1,0); Vértices (7,0), (-5,0); Eje focal $y=0$.

   
   

   b)

   $$\frac{(y+2)^2}{64}-\frac{(x-4)^2}{49}=1$$

   Respuesta: Centro $(4,-2)$; Vértices: (4,6), $(4,-10)$: Eje focal: $x=4$

2. Selecciona la ecuación canónica de la hipérbola con focos en $(0,-3)$ y $(0,5)$ y vértices en $(0,-1)$ y $(0,3)$.

   a)

   $$\frac{(y-1)^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$$

   b)

   $$\frac{(y-1)^2}{4}-\frac{x^2}{8}=1$$

   c)

   $$\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{16}=1$$

   Respuesta correcta: a)

Si has respondido correctamente, has hecho un buen progreso. ¡Felicitaciones! Si has cometido errores, no pierdas la oportunidad de descubrir la causa de esos errores; si fueron producto de errores de cálculo, significa que debes concentrarte mejor al trabajar los detalles, que, en Matemáticas, son todos importantes. Si, por otra parte, hubo errores por causa de una interpretación equivocada de los conceptos e ideas generales expuestos, recurre a una nueva lectura del texto para que aclares las posibles dudas al respecto.

Referencias: Bárcenas, D., Gonzales, M. (2003). Rectas y Cónicas. Mérida: Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática.