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Los números complejos


Un poco de Historia:
La resolución de ecuaciones algebraicas ocupó a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos egipcios y babilónicos, quienes desarrollaron métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Estas ecuaciones, formuladas verbalmente en aquel entonces y no a través de los símbolos que hoy utilizamos, surgieron de las necesidades prácticas propias de actividades como el comercio y las finanzas por un lado y la agricultura y la medición de terrenos por el otro. El estudio de las ecuaciones lineales del tipo:

$\displaystyle x+a=b$

donde $ a$ y $ b$ son números naturales, reveló la necesidad de considerar a los números enteros negativos para poder asegurar la existencia de una solución en cualquier caso. Por ejemplo, la ecuación:

$\displaystyle x+10=1$
exige, para su solución, que se consideren los números negativos. Estos números fueron utilizados en India y China varios siglos antes que en Europa.


Análogamente, las ecuaciones del tipo:

$\displaystyle ax+b=c$
donde $ a$,$ b$ y $ c$ son números enteros, muchas veces no tienen solución entera, sino racional; por ejemplo:
$\displaystyle 3x+1=0$
Solución: $ x=\frac{-1}{3}$

El conjunto de los números naturales se va ampliando así, de manera que, para diferentes tipos de ecuaciones se pueda garantizar la existencia de una solución dentro de los conjuntos 'ampliados':

Si $ \mathbb{N}$ denota el conjunto de los números naturales, $ \mathbb{Z}$ denota el conjunto de los números enteros y $ \mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales, se tiene:

$\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$

donde el símbolo $ \subset$ significa 'esta contenido en'.
Ya desde los tiempos de los pitagóricos se reconoció la existencia de números no racionales; cuando se intentó calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, con el uso del Teorema de Pitágoras.

se concluyó que $ 1^2+1^2=x^2$, es decir, $ 2=x^2$ . Para la gran sorpresa y angustia de muchos, no se pudo encontrar un número de la forma $ \frac{a}{b}$, con $ a$ y $ b$ enteros, y $ b\neq 0$ , tal que $ \frac{a}{b}$ fuese solución de la ecuación:
$\displaystyle x^2=2$

La solución, que hoy denotamos por $ \sqrt{2}$, es un número irracional, como lo son una infinidad de números que son soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 2. Se reúnen todos los números racionales y todos los irracionales para construir el conjunto $ \mathbb{R}$ de todos los números reales, y se cumple que
$\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Ahora bien, en la resolución de ecuaciones cuadráticas, durante la Edad Media y antes, se ignoraban los casos como el siguiente:
$\displaystyle x^2+3x+10=0$

Al intentar usar la fórmula:
$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Se obtiene:
$\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{9-40}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{-31}}{2}$
Sabiendo que ningún número elevado al cuadrado es igual a $ -31$, pues todo número elevado al cuadrado es positivo, algunos autores, como el famoso algebrista árabe Al-Khowarizmi, afirmaban que, en semejante situación, lo que se tenía ¡no era una ecuación!
Sin embargo, muchos años más tarde, en el siglo XVI, en pleno Renacimiento europeo, el matemático italiano Girolamo Cardano, haciendo grades esfuerzos por encontrar fórmulas para la resolución de las ecuaciones de grado 3 y de grado 4, descubrió que era útil considerar las raíces cuadradas de números negativos 'como si fueran números', y operar con ellas tal y como lo haría con números verdaderos, a pesar de que, según propias palabras, había que ser capaz de 'soportar la tortura mental' que esto significaba.

Es así como se inicia el tratamiento de los números que ahora llamamos 'complejos': como una especie de 'truco' para resolver un problema algebraico, truco que para su propio creador resultaba ser una tortura mental. Han pasado varios siglos desde entonces, y ya los números complejos no deberían representar una tortura para nadie. Han sido aceptados y debidamente estudiadas sus propiedades. Se han encontrado mútiples aplicaciones o usos de los números complejos, especialmente en la Física y particularmente en la Electricidad.





Referencias:
Van der Waerden B.(1985). A History of Algebra . New York: Springer-Verlag.
 Amelii, Rita.( 2001) .  Matemática, Primero de Diversificado. Caracas: Editorial Salesiana.

Fuentes fotográficas:
http://www.stetson.edu/~efriedma/periodictable/jpg/Cardano.jpg

 
 
 
 
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